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摘 要：概念同化是概念获得的基本方式，引导学生关注所学前后知识的整体性与系统性有利于学生突破学习中的障碍与瓶颈，从已有认知中寻找解决认知冲突的突破口，在经历概念的“再发现与再发明”过程中形成知识架构的体系，在应用与实践中完善知识的整体架构，本文强调从整体与系统高度进行数学概念教学.
关键词：整体；系统；概念；再发现与再发明
“数学概念是数学理论的核心和精华，理解和掌握数学概念是提高教学质量和教学水平的关键”“理解基本数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想方法，以及它们在后继学习中的作用”是数学课堂教学的重要目标之一. 奥苏伯尔认为概念同化是概念获得的最基本方式，概念同化就是教师在教学中利用学生已有的知识经验，以定义的方式直接提出概念，并揭示其本质属性，由学生主动地与原有认知结构中的有关概念相联系去学习和掌握新概念的方式. 从而新概念与学生原认知结构中的相关概念就形成这一部分知识的前后逻辑关系，它们必然是一个有机的整体. 但学生的学习是循序渐进、逐步深入的，学生对数学概念的学习与掌握是根据学生的认知水平逐个有梯度进行的，知识结构的整体性与学习时间间隔的离散性是一对矛盾，如何处理好这种矛盾，是数学课堂教学要关注的一个核心问题. 本文以“数系的扩充”一课为例，谈谈从整体与系统的高度实现概念同化以突破概念生成瓶颈的一些做法，敬请批评指正.
[?] 创设“数学自身需求”的问题情境，引发认知冲突
有生机的数学课堂往往源于“问题”. 创设一个“客观现实需求”或“数学自身需求”的问题情境，给学生提供具体的可感知、可挑战的或能引发学生认知上的冲突的数学活动素材，激活并驱动学生探究与解决问题的冲动，以促进学生主动积极的思考，让学生在已有认知结构中寻找关联知识与关联思维，并通过自己的思维活动获得新的知识.
情景问题：1545年，意大利数学家卡尔丹（G.Cardano，1501—1576）在《重要的艺术》一书中提出了一个问题：“将10分成两部分，使两者的乘积等于40.” 这么一个简单的看似是小学的问题却把这位大数学家难倒了，你觉得你能解吗？先请同学们试试.
不妨设其中一数为x，则另一数为10-x，得到方程x（10-x）=40，即x2-10x 40=0，可是在我们的认知中都知道这个方程无解. 很多时候我们碰到这种无实数解的方程就扔下不理它了，但当年的卡尔丹却不这么想：这么漂亮的一个方程怎么就无解呢？难道真的就找不到满足它的数吗？是不是还存在我们还没认知到的数满足它呢？他认为这种数应该是存在的，并且他认为这两个数就是“5 ”和“5-”. 因为这两个数能满足问题的要求：5 5-=10，（5 ）×（5-）=25-（-15）=40.
你认可卡尔丹上述的两个想法（一是认为存在这样的数，二是认为这种数可写成上述形式）吗？
设计意图：真实的历史故事首先能引起学生极大的探究兴趣，让学生自己尝试无解的情况下，给出卡尔丹的答案，这个怪异的数会与学生已有认知结构产生强烈的认知冲突. 学生能马上指出这个结果形式与原有的认知有相悖之处：表示的是一个非负数的算术根，负数是没有算术根的，也就是一个数的平方不可能是负数.
[?] 重温“数系发展”的整体历程，从已有认知中寻找突破口
面对这样的认知冲突，我们的解决之道在哪呢？引导学生学会运用数学的思维方式思考、分析新问题是培养学生数学学习能力的首要环节，这就是学生的“问题解决能力”的培养，也就是培养学生运用已学到的知识与方法用到新的和不熟悉的问题情境中的能力，数学课堂教学的一个重要目的就在于培养学生解决问题的能力. “以前见过类似问题吗？当时我们用了什么方法解决问题的？”
让我们一起回忆一下：我们学了哪些数？这些数集是一次性学会的吗？我们经历了怎样的过程？
数的概念的出现与发展主要源于两个需求：一是社会生活的需求，二是数学自身发展的需求.
从社会生活需求的角度，首先为了生活中计数的需要，出现了自然数集N；然后为了刻画具有相反意义的量，我们发明了负数，数集扩充到了整数集Z；又为了测量、分配等需要，发明了分数，数集就扩充到了有理数集Q；再为了度量正方形等图形的对角线长，发明了无理数，数集就扩充到了实数集R.
从数学自身发展需求的角度，主要是为了实现方程解的问题，在自然数集范围内解方程x 2=0是无解的，为确保方程有解就需要有负数；在整数集范围内解方程3x-2=0无解，为使方程有解就需要有分数；在有理数集范围内解方程x2-2=0无解，为使方程有解就发明了无理数.
同时在数的每一次扩充过程中，还需确保运算律在新数与旧数间的融通，也就是在原来范围内成立的规律在更大范围内仍然成立.
通过对数的整体发展历程的回顾我们可以发现，从数学内部发展的需要来看，每一次认知冲突的出现就带来了一次新的数系扩充. 你能结合这一整体发展历程总结一下数系扩充需要遵循哪些原则吗？面对卡尔丹的解释与我们的认知上的冲突，你有什么想法与思考？是不是我们应该发明一种新数？数系是否再一次面临着扩充的必要？
设计意图：通过对实数系发展的整体回顾，在师生的讨论与分析中，从整体与全局的高度对数系扩充的缘由与历程以及需要确保的原则有了清晰的认识与把握，并自然引申到前面的认识冲突上，激发学生积极思考寻求解决冲突的方法，学生在思想上对是否应发明一种新数、数系有必要再次进行扩充就有了高度的统一，在这种氛围下，新数就如雨后春笋，即将破土而出.
[?] 追溯前人曾经的足迹，经历概念的“再发现与再发明”
经过上述师生共同对数的起源与发展历程的整体性回顾，学生就能发现数系的每一次扩充都有社会生活与生产的需要或数学自身发展的需要，自然地认知并猜想到伴随着新的认知冲突的出现数系就有必要进行进一步的扩充. 剩下的问题就是如何发明一个符合要求的新数了. 面对卡尔丹的解释与我们认知上的冲突，解决问题的途径就自然浮现：发明一种新的数，使这类数能成为像x2-10x 40=0这类判别式小于0的方程的根. 当学生有了这种扩充的思路后，老师及时作适当的引导：数学上把这类数叫做虚数，实数集扩充了虚数以后得到的数集叫复数集，就像负数用“-m”表示，分数用“”表示，无理数用“”表示一样，虚数也必须发明一种形式来表示.
用什么形式（符号）表示虚数呢？数学的思维方式告诉我们：凡事从简单特殊入手. 我们首先感知到的虚数是负数开平方，而最简单的负数是-1，于是我们只要发明一个数使它的平方等于-1，其他负数的开方结果就都可以用这个符号来表示了. 数学上把这个数记作“i”，即“i2=-1”. 伴随着新数“i”的出现，它与其他实数及自身就会有运算产生，这就需要对运算律作规范. 根据经验，我们希望新的数与原有数的家庭是相融相通的，于是就有了以下的规定：
①i2=-1；
②实数可以与其进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.
进而引导学生探究，新数“i”与实数a进行四则运算后，可能得到哪些形式的数？哪些数的形式是新的，需要加入到新数系中的？所有新数与旧数融通后的一般形式是什么样的，即实数集经扩充后的新数集中的数有怎样的形式？
这就得到了复数的定义与分类：
形如a bi（a，b∈R）的数称为复数，通常用字母z表示，其中a与b叫复数的实部和虚部. 全体复数组成的集合叫复数集，用C表示，C={a bi
a，b∈R}.
设计意图：沿着数系发展与扩充的轨迹，学生在研讨中从整体与系统的高度理解并解决认知冲突，并在追溯前人足迹的过程中经历一次虚数单位“i”的“再发明”，在师生共同研讨中“再创造”出一般形式的复数a bi（a，b∈R），虽然这其中有前人的痕迹在，但这种亲历的“再发明”与“再建构”会给学生留下深刻的印记.
[?] 完善知识的整体架构，并在应用中形成融会贯通的认知体系
通过上述的扩充，数系就形成了一个完整的架构体系，让学生完善上述数系发展结构图，并尝试画出数的“家族”成员关系图（如图2）：
例1 当实数m分别取什么值时，复数z=m 1 （m-1）i是：
（1） 实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
例2 已知复数z1=（x y） （x-2y）i，z2=（2x-5） （3x y）i，问：z1，z2会相等吗？若z1=z2，求x，y的值.
两个待定的复数会相等吗？复数有相等的概念吗？你认为合理的情况下复数相等需要什么条件？师生共同研讨从而归纳得到：
复数相等的充要条件：如果两个复数的实部与虚部分别相等，则称两个复数相等，即a bi=c di?a=c，
b=d（a，b，c，d∈R）.
课后思考问题：两个复数有相等关系，你认为两个复数有大小关系吗？
设计意图：例1是为了进一步巩固理解什么是实数，什么是虚数，什么是纯虚数. 例2设计成一个探索性问题，让学生自己感知、领悟复数能不能相等、什么条件下相等的合理性，避免把复数相等作为知识点强加于学生. 通过对例2的解答，学生可感知到所使用的充要条件的本质是把复数问题转化为实数问题，体现了数学的化归的思想方法.留的思考问题给学生一点拓展思维的空间，也为后续学习几何意义埋下伏笔.
深入探究：下列结论从实数集扩充到复数集是否仍然成立？
①若a∈R，则a2≥0.若z∈C，则z2≥0.
②若a，b∈R，a2 b2=0，则a=b=0. 若z1，z2∈C，z z=0，则z1=z2=0.
③实数可以用数轴上的点来表示；复数可以用数轴上的点来表示.
设计意图：本课的第一环节回顾展示了从实数扩充到复数的过程，本探究回到本节课的起点，进一步说明了从实数集扩充到复数集后，解决了认知上的冲突，证实了扩充的合理性，并为下节课（研究复数的几何意义与复数运算）打下基础.
本节课力图从数的源头上去感知、领悟，从数的整体发展上去把握如滔滔江水般的数究竟是从何而来，每一次支流的汇入都有它的理由与追求，“欲穷千里目，更上一层楼”，只有站于高处，才能看清历史的“滔滔江水从哪里来，奔何方去”，才能看清它是如何突破一道道崇山的阻隔、一个个关隘的阻挡. 其实对其他数学知识的学习何尝不是如此，我们只有站在知识的发生与发展的整体与系统的高度观察把握知识族群的结构形态，才能看清楚它的完整架构；才能更好地领会知识的发生起源点在哪，知识发展的经络走向如何；才能在当下及以后的学习中知道如何快速而准确地找到方向；才能在遇到知识发展的瓶颈时能找到突破的方法与途径，这就是本文强调从整体与系统高度进行教学的目的所在.
关键词：整体；系统；概念；再发现与再发明
“数学概念是数学理论的核心和精华，理解和掌握数学概念是提高教学质量和教学水平的关键”“理解基本数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想方法，以及它们在后继学习中的作用”是数学课堂教学的重要目标之一. 奥苏伯尔认为概念同化是概念获得的最基本方式，概念同化就是教师在教学中利用学生已有的知识经验，以定义的方式直接提出概念，并揭示其本质属性，由学生主动地与原有认知结构中的有关概念相联系去学习和掌握新概念的方式. 从而新概念与学生原认知结构中的相关概念就形成这一部分知识的前后逻辑关系，它们必然是一个有机的整体. 但学生的学习是循序渐进、逐步深入的，学生对数学概念的学习与掌握是根据学生的认知水平逐个有梯度进行的，知识结构的整体性与学习时间间隔的离散性是一对矛盾，如何处理好这种矛盾，是数学课堂教学要关注的一个核心问题. 本文以“数系的扩充”一课为例，谈谈从整体与系统的高度实现概念同化以突破概念生成瓶颈的一些做法，敬请批评指正.
[?] 创设“数学自身需求”的问题情境，引发认知冲突
有生机的数学课堂往往源于“问题”. 创设一个“客观现实需求”或“数学自身需求”的问题情境，给学生提供具体的可感知、可挑战的或能引发学生认知上的冲突的数学活动素材，激活并驱动学生探究与解决问题的冲动，以促进学生主动积极的思考，让学生在已有认知结构中寻找关联知识与关联思维，并通过自己的思维活动获得新的知识.
情景问题：1545年，意大利数学家卡尔丹（G.Cardano，1501—1576）在《重要的艺术》一书中提出了一个问题：“将10分成两部分，使两者的乘积等于40.” 这么一个简单的看似是小学的问题却把这位大数学家难倒了，你觉得你能解吗？先请同学们试试.
不妨设其中一数为x，则另一数为10-x，得到方程x（10-x）=40，即x2-10x 40=0，可是在我们的认知中都知道这个方程无解. 很多时候我们碰到这种无实数解的方程就扔下不理它了，但当年的卡尔丹却不这么想：这么漂亮的一个方程怎么就无解呢？难道真的就找不到满足它的数吗？是不是还存在我们还没认知到的数满足它呢？他认为这种数应该是存在的，并且他认为这两个数就是“5 ”和“5-”. 因为这两个数能满足问题的要求：5 5-=10，（5 ）×（5-）=25-（-15）=40.
你认可卡尔丹上述的两个想法（一是认为存在这样的数，二是认为这种数可写成上述形式）吗？
设计意图：真实的历史故事首先能引起学生极大的探究兴趣，让学生自己尝试无解的情况下，给出卡尔丹的答案，这个怪异的数会与学生已有认知结构产生强烈的认知冲突. 学生能马上指出这个结果形式与原有的认知有相悖之处：表示的是一个非负数的算术根，负数是没有算术根的，也就是一个数的平方不可能是负数.
[?] 重温“数系发展”的整体历程，从已有认知中寻找突破口
面对这样的认知冲突，我们的解决之道在哪呢？引导学生学会运用数学的思维方式思考、分析新问题是培养学生数学学习能力的首要环节，这就是学生的“问题解决能力”的培养，也就是培养学生运用已学到的知识与方法用到新的和不熟悉的问题情境中的能力，数学课堂教学的一个重要目的就在于培养学生解决问题的能力. “以前见过类似问题吗？当时我们用了什么方法解决问题的？”
让我们一起回忆一下：我们学了哪些数？这些数集是一次性学会的吗？我们经历了怎样的过程？
数的概念的出现与发展主要源于两个需求：一是社会生活的需求，二是数学自身发展的需求.
从社会生活需求的角度，首先为了生活中计数的需要，出现了自然数集N；然后为了刻画具有相反意义的量，我们发明了负数，数集扩充到了整数集Z；又为了测量、分配等需要，发明了分数，数集就扩充到了有理数集Q；再为了度量正方形等图形的对角线长，发明了无理数，数集就扩充到了实数集R.
从数学自身发展需求的角度，主要是为了实现方程解的问题，在自然数集范围内解方程x 2=0是无解的，为确保方程有解就需要有负数；在整数集范围内解方程3x-2=0无解，为使方程有解就需要有分数；在有理数集范围内解方程x2-2=0无解，为使方程有解就发明了无理数.
同时在数的每一次扩充过程中，还需确保运算律在新数与旧数间的融通，也就是在原来范围内成立的规律在更大范围内仍然成立.
通过对数的整体发展历程的回顾我们可以发现，从数学内部发展的需要来看，每一次认知冲突的出现就带来了一次新的数系扩充. 你能结合这一整体发展历程总结一下数系扩充需要遵循哪些原则吗？面对卡尔丹的解释与我们的认知上的冲突，你有什么想法与思考？是不是我们应该发明一种新数？数系是否再一次面临着扩充的必要？
设计意图：通过对实数系发展的整体回顾，在师生的讨论与分析中，从整体与全局的高度对数系扩充的缘由与历程以及需要确保的原则有了清晰的认识与把握，并自然引申到前面的认识冲突上，激发学生积极思考寻求解决冲突的方法，学生在思想上对是否应发明一种新数、数系有必要再次进行扩充就有了高度的统一，在这种氛围下，新数就如雨后春笋，即将破土而出.
[?] 追溯前人曾经的足迹，经历概念的“再发现与再发明”
经过上述师生共同对数的起源与发展历程的整体性回顾，学生就能发现数系的每一次扩充都有社会生活与生产的需要或数学自身发展的需要，自然地认知并猜想到伴随着新的认知冲突的出现数系就有必要进行进一步的扩充. 剩下的问题就是如何发明一个符合要求的新数了. 面对卡尔丹的解释与我们认知上的冲突，解决问题的途径就自然浮现：发明一种新的数，使这类数能成为像x2-10x 40=0这类判别式小于0的方程的根. 当学生有了这种扩充的思路后，老师及时作适当的引导：数学上把这类数叫做虚数，实数集扩充了虚数以后得到的数集叫复数集，就像负数用“-m”表示，分数用“”表示，无理数用“”表示一样，虚数也必须发明一种形式来表示.
用什么形式（符号）表示虚数呢？数学的思维方式告诉我们：凡事从简单特殊入手. 我们首先感知到的虚数是负数开平方，而最简单的负数是-1，于是我们只要发明一个数使它的平方等于-1，其他负数的开方结果就都可以用这个符号来表示了. 数学上把这个数记作“i”，即“i2=-1”. 伴随着新数“i”的出现，它与其他实数及自身就会有运算产生，这就需要对运算律作规范. 根据经验，我们希望新的数与原有数的家庭是相融相通的，于是就有了以下的规定：
①i2=-1；
②实数可以与其进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.
进而引导学生探究，新数“i”与实数a进行四则运算后，可能得到哪些形式的数？哪些数的形式是新的，需要加入到新数系中的？所有新数与旧数融通后的一般形式是什么样的，即实数集经扩充后的新数集中的数有怎样的形式？
这就得到了复数的定义与分类：
形如a bi（a，b∈R）的数称为复数，通常用字母z表示，其中a与b叫复数的实部和虚部. 全体复数组成的集合叫复数集，用C表示，C={a bi
a，b∈R}.
设计意图：沿着数系发展与扩充的轨迹，学生在研讨中从整体与系统的高度理解并解决认知冲突，并在追溯前人足迹的过程中经历一次虚数单位“i”的“再发明”，在师生共同研讨中“再创造”出一般形式的复数a bi（a，b∈R），虽然这其中有前人的痕迹在，但这种亲历的“再发明”与“再建构”会给学生留下深刻的印记.
[?] 完善知识的整体架构，并在应用中形成融会贯通的认知体系
通过上述的扩充，数系就形成了一个完整的架构体系，让学生完善上述数系发展结构图，并尝试画出数的“家族”成员关系图（如图2）：
例1 当实数m分别取什么值时，复数z=m 1 （m-1）i是：
（1） 实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
例2 已知复数z1=（x y） （x-2y）i，z2=（2x-5） （3x y）i，问：z1，z2会相等吗？若z1=z2，求x，y的值.
两个待定的复数会相等吗？复数有相等的概念吗？你认为合理的情况下复数相等需要什么条件？师生共同研讨从而归纳得到：
复数相等的充要条件：如果两个复数的实部与虚部分别相等，则称两个复数相等，即a bi=c di?a=c，
b=d（a，b，c，d∈R）.
课后思考问题：两个复数有相等关系，你认为两个复数有大小关系吗？
设计意图：例1是为了进一步巩固理解什么是实数，什么是虚数，什么是纯虚数. 例2设计成一个探索性问题，让学生自己感知、领悟复数能不能相等、什么条件下相等的合理性，避免把复数相等作为知识点强加于学生. 通过对例2的解答，学生可感知到所使用的充要条件的本质是把复数问题转化为实数问题，体现了数学的化归的思想方法.留的思考问题给学生一点拓展思维的空间，也为后续学习几何意义埋下伏笔.
深入探究：下列结论从实数集扩充到复数集是否仍然成立？
①若a∈R，则a2≥0.若z∈C，则z2≥0.
②若a，b∈R，a2 b2=0，则a=b=0. 若z1，z2∈C，z z=0，则z1=z2=0.
③实数可以用数轴上的点来表示；复数可以用数轴上的点来表示.
设计意图：本课的第一环节回顾展示了从实数扩充到复数的过程，本探究回到本节课的起点，进一步说明了从实数集扩充到复数集后，解决了认知上的冲突，证实了扩充的合理性，并为下节课（研究复数的几何意义与复数运算）打下基础.
本节课力图从数的源头上去感知、领悟，从数的整体发展上去把握如滔滔江水般的数究竟是从何而来，每一次支流的汇入都有它的理由与追求，“欲穷千里目，更上一层楼”，只有站于高处，才能看清历史的“滔滔江水从哪里来，奔何方去”，才能看清它是如何突破一道道崇山的阻隔、一个个关隘的阻挡. 其实对其他数学知识的学习何尝不是如此，我们只有站在知识的发生与发展的整体与系统的高度观察把握知识族群的结构形态，才能看清楚它的完整架构；才能更好地领会知识的发生起源点在哪，知识发展的经络走向如何；才能在当下及以后的学习中知道如何快速而准确地找到方向；才能在遇到知识发展的瓶颈时能找到突破的方法与途径，这就是本文强调从整体与系统高度进行教学的目的所在.