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数学思维问题是数学教学中的核心问题,培养数学思维是开发学生思维能力的一个突破点,是提高教学质量的重要途径之一。因此,数学教学不能仅仅停留在知识的传授上,还必须注重培养学生的数学思维能力。近年来,学生的数学思维能力已成为中考试题重要的考查目标之一,这类题目往往“给出图像,以数学概念为出发点,让学生通过观察、阅读、归纳、分析,获取有用的信息,再进行验算和推理”,既考查了基础知识和基本技能,又考查了数学思想和创新能力。
一、试题呈现
例1(2016年广东省中考试题第10题):如图1,在正方形ABCD中,点P从点A出发,沿着正方形的边顺时针方向运动一周,则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系的图像大致是( )
例2(2018年广东省中考试题第10题):如图2,点P是菱形ABCD边上的一动点,它从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D,设△PAD的面积为y,P点的运动时间为x,则y关于x的函数图像大致为( )
二、试题分析
解析:这两道试题都涉及动点在特殊四边形的背景下,运动的路程和相关三角形面积的关系,在分析、解决此类问题时,关键是要抓住动点在运动过程中一些数量“变”与“不变”的关系。在例1中,点P沿着正方形的边顺时针方向运动时,△APC的底边是变化的,设正方形的边长为a,当点P在AB上时,△APC的底边长度为x;当点P在BC上(不包括点B)时,△APC的底边长度为2a-x;当点P在CD上(不包括点C和点D)时,△APC的底边长度为x-2a;当点P在DA上时,△APC的底边长度为4a-x。而它的高的值是不变的,都等于正方形的边长,根据三角形面积的计算公式就可以得出相应的函数解析式,从而判断出它们的图像形状。在例2中,点P沿A→B→C→D路径匀速运动过程中,当点P在AB上移动时,△PAD的高不变,它的面积随着底边AP的增大而增大;当点P在BC上移动时,△PAD的面积是不变的,它是一个定值;当点P在CD上移动时,△PAD的高不变,它的面积随着底边DP的减小而减小;当点P 在DA上移动时,P、A、D三点共线,它们无法组成三角形,△PAD的面积不存在。
例1的解答:设正方形的边长为a,以四边形的四个顶点为动点的临界点分四种情况进行分段解答:
(1)当点P在AB上時,底边的长度不断增大,y=ax;
(2)当点P在BC上(不包括点B)时,y=a(2a-x)=-ax a2;
(3)当点P在CD上(不包括点C和点D)时,y=a(x-2a)=ax-a2;
(4)当点P在DA上时,y=a(4a-x)=-ax 2a2。
由此得到四个一次函数,找出各个函数对应的k值:(1)k
一、试题呈现
例1(2016年广东省中考试题第10题):如图1,在正方形ABCD中,点P从点A出发,沿着正方形的边顺时针方向运动一周,则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系的图像大致是( )
例2(2018年广东省中考试题第10题):如图2,点P是菱形ABCD边上的一动点,它从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D,设△PAD的面积为y,P点的运动时间为x,则y关于x的函数图像大致为( )
二、试题分析
解析:这两道试题都涉及动点在特殊四边形的背景下,运动的路程和相关三角形面积的关系,在分析、解决此类问题时,关键是要抓住动点在运动过程中一些数量“变”与“不变”的关系。在例1中,点P沿着正方形的边顺时针方向运动时,△APC的底边是变化的,设正方形的边长为a,当点P在AB上时,△APC的底边长度为x;当点P在BC上(不包括点B)时,△APC的底边长度为2a-x;当点P在CD上(不包括点C和点D)时,△APC的底边长度为x-2a;当点P在DA上时,△APC的底边长度为4a-x。而它的高的值是不变的,都等于正方形的边长,根据三角形面积的计算公式就可以得出相应的函数解析式,从而判断出它们的图像形状。在例2中,点P沿A→B→C→D路径匀速运动过程中,当点P在AB上移动时,△PAD的高不变,它的面积随着底边AP的增大而增大;当点P在BC上移动时,△PAD的面积是不变的,它是一个定值;当点P在CD上移动时,△PAD的高不变,它的面积随着底边DP的减小而减小;当点P 在DA上移动时,P、A、D三点共线,它们无法组成三角形,△PAD的面积不存在。
例1的解答:设正方形的边长为a,以四边形的四个顶点为动点的临界点分四种情况进行分段解答:
(1)当点P在AB上時,底边的长度不断增大,y=ax;
(2)当点P在BC上(不包括点B)时,y=a(2a-x)=-ax a2;
(3)当点P在CD上(不包括点C和点D)时,y=a(x-2a)=ax-a2;
(4)当点P在DA上时,y=a(4a-x)=-ax 2a2。
由此得到四个一次函数,找出各个函数对应的k值:(1)k