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空间图形的位置关系是立体几何的重要内容，解决立体几何问题的关键在于三定：定性分析→定位作图→定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量是定位、定性的深化，在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般来说，对其平面角的定位是问题解决的先决一步，可是，从以往的教学中发现，学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定其位，使问题的解决徒劳无益，本文就是针对这一点，来谈一谈平日教学中体会。
一、 重温二面角的平面角的定义
如图（1），α、β是由l出发的两个平面,O是l上任意一点,O∈α，且OC⊥l；CD∈β，且OD⊥l。这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α—l—β的平面角，从中不难得到下列特征：
⑴过棱上任意一点，其平面角是唯一的。
⑵其平面角所在平面与其两个半平面均垂直。
另外，如果在OC上任取上一点A，作AB⊥OD垂足为B,那么由特征⑵可知AB⊥β.突出L、OC、OD、AB，这便是另一特征。
⑶体现出一完整的垂线定理（或逆定理）的环境背景。
对以上特征进行剖析：
由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成的，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。
特征⑴表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”，耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。
例1：已知正三棱锥V—ABC侧棱长为a，高为b，求侧面与底面所成的角的大小。
由于正三棱锥的顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角如图（2）。正因为正三棱锥的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使背景突出在面VOC上，给进一步定量创造得天独厚的条件。
特征⑵指出：如果二面角α—l—β的棱l垂直某一平面γ与α、β的交线，而交线所成的角就是α—l—β的平面角，如图。
由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。
例2： 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A—BC-—C的大小。
这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA、OE与BD的垂直关系不变。但OA与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。由特征（2）可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角。另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上,所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了优质服务。事实上，AO=AB·AD/BD=3×4/5=12/5，OA′=OE=BO·tg∠CBD，而BO=AB2/BD=9/5, tg∠CBD，故OA′=27/20。在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，所以cos∠AOA′=A′O/AO=9/16，即所求的二面角为arccos9/16。
通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征（2）从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量。
特征（3）显示，如果二面角α—l—β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作l的垂线交l于O，连结AO，由三垂线定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂线交l于O，连结OB，由三垂线定理逆定理可知OB⊥l，此时，∠AOB就是二面角α—l—β的平面角，如图。
由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”。
由此可见，要作二面角的平面角，最好考虑作“垂线段”。
综上所述，二面角的平面角正确而合理的定位，要在明确其三要素——棱上、面内、垂直的基础上，掌握其三个基本特征，并灵活运用它们，考察问题的环境背景，建立良好的主观心理空间和客观心理空间，以不变应万变。
（作者单位；423000湖南省郴州市万华岩菁华园学校）
一、 重温二面角的平面角的定义
如图（1），α、β是由l出发的两个平面,O是l上任意一点,O∈α，且OC⊥l；CD∈β，且OD⊥l。这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α—l—β的平面角，从中不难得到下列特征：
⑴过棱上任意一点，其平面角是唯一的。
⑵其平面角所在平面与其两个半平面均垂直。
另外，如果在OC上任取上一点A，作AB⊥OD垂足为B,那么由特征⑵可知AB⊥β.突出L、OC、OD、AB，这便是另一特征。
⑶体现出一完整的垂线定理（或逆定理）的环境背景。
对以上特征进行剖析：
由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成的，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。
特征⑴表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”，耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。
例1：已知正三棱锥V—ABC侧棱长为a，高为b，求侧面与底面所成的角的大小。
由于正三棱锥的顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角如图（2）。正因为正三棱锥的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使背景突出在面VOC上，给进一步定量创造得天独厚的条件。
特征⑵指出：如果二面角α—l—β的棱l垂直某一平面γ与α、β的交线，而交线所成的角就是α—l—β的平面角，如图。
由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。
例2： 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A—BC-—C的大小。
这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA、OE与BD的垂直关系不变。但OA与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。由特征（2）可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角。另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上,所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了优质服务。事实上，AO=AB·AD/BD=3×4/5=12/5，OA′=OE=BO·tg∠CBD，而BO=AB2/BD=9/5, tg∠CBD，故OA′=27/20。在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，所以cos∠AOA′=A′O/AO=9/16，即所求的二面角为arccos9/16。
通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征（2）从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量。
特征（3）显示，如果二面角α—l—β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作l的垂线交l于O，连结AO，由三垂线定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂线交l于O，连结OB，由三垂线定理逆定理可知OB⊥l，此时，∠AOB就是二面角α—l—β的平面角，如图。
由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”。
由此可见，要作二面角的平面角，最好考虑作“垂线段”。
综上所述，二面角的平面角正确而合理的定位，要在明确其三要素——棱上、面内、垂直的基础上，掌握其三个基本特征，并灵活运用它们，考察问题的环境背景，建立良好的主观心理空间和客观心理空间，以不变应万变。
（作者单位；423000湖南省郴州市万华岩菁华园学校）