中图分类号:G633.6 文献标识码:A文章编号: 1673-1875(2008)10-129-01
　　
　　椭圆的第一定义是研究椭圆问题的基本方法,利用第一定义,可以解决许多与椭圆焦点有关的问题。
　　一、求三角形的周长
　　例1、过椭圆的左焦点F1作一直线与椭圆交于A、B两点,F2为右焦点,
　　(1)求△ABF2的周长;（2）若AB垂直于x轴,且△ABF2是正三角形,求椭圆的离心率。
　　分析:将AB分成AF1与BF1两段,利用椭圆第一定义求解。
　　解答:（1）△ABF2的周长=AB+AF2+BF2=AF1+BF1+ AF2+BF2= AF1+ AF2+ BF1+BF2=4a=8
　　（2）由于△ABF2是正三角形,周长为8,则AF2=8/3,AF1=4/3,F1F2=,因此离心率e= 。
　　评注:在椭圆中这一三角形周长为定值,与直线AB斜率无关。
　　二、与椭圆性质综合考查
　　例2、如图把椭圆 的长轴AB分成8分,过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于
　　
　　P1,P2,……P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则
　　 ____________．
　　分析:考虑到第一定义,因此可以找到另一焦点,根据椭圆的对称性求解。
　　解答:如上图,把椭圆 的长轴AB分成8等份,过每个分点作X轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F2是椭圆的另一个焦点,则根据椭圆的对称性知,|P1F|+|P7F|=|P1F|+|P1F2|=2a,同理其余两对的和也是2a,又|P4F|=a,
　　∴7a=35
　　评注:本题还可利用焦半径公式求解,但都没有利用对称性简单。
　　三、与最值结合
　　例3、已知椭圆 内一点P(1,-1),F是椭圆的右焦点,在椭圆上求一点M,使得|MP|+|MF|最小。
　　分析:利用第一定义将|MF|转化为到左焦点的距离。
　　解答:设F1是椭圆的左焦点,由第一定义可知|MF|=4-|MF1|,则|MP|+|MF|=|MP|+4-|MF1|=4-（|MF1|-|MP|）,当|MF1|-|MP|最大时,|MP|+|MF|最小;此时点M即射线F1M与椭圆的交点,最小值为4-|PF1|=4-.
　　评注:通过第一定义转化,使得容易求出最值。
　　四、与均值不等式综合
　　例4、F1与F2是椭圆 的焦点,若在椭圆上永远存在点P,使得PF1⊥PF2,求椭圆离心率e的取值范围。
　　分析:利用第一定义将PF12+ PF22转化为PF1+ PF2求解。
　　解答:由于PF1⊥PF2,因此PF12+ PF22=F1F22=4c2,而根据均值不等式PF12+ PF22≥ =2a2,因此
　　评注:涉及到PF1与 PF2及其夹角 的问题往往利用均值不等式、余弦定理（勾股定理）等知识解答。
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文