【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】2236-1879（2018）01-0139-01
　　通常，我们所接触到的椭圆的定义是它的第一定义，即到两定点距离之和等于定长（大于两点间距离）的所有点的集合。这一定义体现了椭圆的一个非常重要的代数特征——数量关系。很多时候，我们可以利用这一关系列出方程来求解。
　　例1 椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），F1，F2为椭圆的焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，PF1⊥PQ，且PF1=PQ，求椭圆离心率。
　　分析：已知条件是线段PF1，PQ的兩种关系，这两条线段分别过椭圆焦点F1，F2，因此可从椭圆定义的角度来构建等量关系，其中PF1⊥PQ这个条件可产生两个直角三角形，即直角△PF1F2和直角△PF1Q，从而可以两次利用勾股定理得到等量关系。
　　解：如图1，设PF1=t，
　　由已知得PQ=PF1=t，
　　因为PF1⊥PQ，所以 F1Q=2t，
　　由椭圆的定义可知：t+t+2t=4a，
　　所以 t=（4-22）a，
　　又因为 PF12+PF2=F1F22， 即t2+（2a-t）2=4c2，
　　将t（4-22）a代入可得： e=ca=6-3
　　小结：当椭圆中谈论的问题与过焦点的两条线段有关时，应先考虑椭圆的定义，找等量关系。
　　除此之外，椭圆还有另一种定义方式，即椭圆的第二定义：点M到定点F（c，0）（焦点）的距离与它到定直线l ∶x=a2c（准线）的距离之比是常数e=ca时，这个点的轨迹是椭圆。
　　相比于第一定义，第二定义更能体现椭圆几何方面的性质。如果能巧用椭圆的第二定义，发掘其几何性质，计算量爆炸的解析几何可以简单许多。
　　例2 设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F，过F的直线L与椭圆C交于A，B两点，直线L的倾斜角为60°，AF=2FB。
　　（1）求椭圆离心率（2）如果AB=154，求椭圆C的标准方程。
　　分析：题中的过焦点的直线L的倾斜角为60°，这是几何特征如何转化为代数条件是本题的关键。它可以转化为直线L的斜率为k=3，进而写出直线L的方程，联立直线和椭圆方程，找关系，这条路显然运算量较大。如果考虑椭圆的第二定义，可以构造直角三角形，得到系列几何特征，在考虑代数条件，设而不求，会更加简单。
　　解：（1）如图2，由A，B，两点向椭圆准线l引垂线，垂足为分别为C，D。设准线l交x轴于E。作BM垂直AD交AD于点M。易知AD//BC
　　因为直线L的倾斜角为60°，即∠BFE=60°.
　　因为AD//BC，所以∠BAD=60°.
　　设BC=x，因为AF=2FB，
　　由椭圆的第二定义可知e=BFBC=AFAD，
　　所以BCAD=FBAF=12，因此AD=2x，又因为BC=MD，所以AM=x
　　因为∠BAD=60°且BM⊥AD，所以.AB=2AM=2x
　　再由椭圆的第二定义及合比性质可知：
　　（2）因为AF=2FB，由（1）可知AB=2x=154，
　　又因为EF=a2c-c，e=ca=23，所以EF=5c4=52，故c=2，b=5，.
　　所以椭圆C的标准方程为 x29 +y25 =1
　　小结：对于某些题目而言，题目中的条件比较特殊，如60°之类的，可以较方便用于几何转化，如果利用好椭圆的第二定义，通过适当的图形构造，可以找到许多几何关系，将其应用于解题当中，会极大的减少运算量，提高解题速度，让我们跟“计算量”说再见。
　　椭圆的两种定义，各有千秋，它的第一定义侧重于代数条件，第二定义侧重于几何关系，我们平时要注意观察已知条件的形式，积累经验，灵活应用。用好它们，可以极大的帮助我们减少解析几何问题中的运算量。