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【摘 要】本文根据高考实测试题的特点，在二轮复习中，采用试题问题化、问题模型化、解模套路化、套路技能化的“四化策略”进行磨题研究，以期提炼形成二轮复习微专题，提高复习备考的针对性与实效性。
【关键词】“四化策略”;二轮复习;微专题;磨题
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2020）28-0089-02
全国卷的试题具有题型稳定、考向明确的特点。因此，教师在指导备战全国卷高考时，可以从已有的实测试题中梳理题型，并针对题型提炼出解决问题的数学模型，接着归纳每个模型相应的套路，最后再结合实测试题训练应试技能（计算、作图、规范）。二轮复习的最终目标就是通过更为精准的专题复习，让学生实现题型快速识别、模型灵活提取、套路熟練掌握、技能规范操作[1]。
从已有的实测试题中梳理题型，即“试题问题化”;针对题型提炼出解决问题的数学模型，即“问题模型化”;归纳每个模型相应的套路，即“解模套路化”;结合实测试题训练应试技能，即“套路技能化”。可将上述过程概括为“二轮复习微专题四化策略”[2]。
数学磨题指的是，教师有意识地琢磨、分析具体或一般的数学问题，或集体切磋、讨论，以提升数学解题技能、探索常见命题技术、熟悉学生数学现实、提高教育教学质量、领悟教学知识本质的行动研究模式。基于“磨题工作坊”的区域学科教研，是一种创新性的区域教研形式，是追求区域教研实效性的有益探索。将其结合到具体的数学学科教学，是一次有开创性的尝试。其作为一个数学教研创新模式的探究课题，对改善区域学科教研有较强的实践价值，对促进区域数学教师专业成长也有较高的实践意义。下面笔者结合翻折问题展开具体的
说明[3]。
1 试题问题化
纵观历年的全国卷立体几何考题，我们可以发现绝大部分的试题都是以“翻折”的手法进行命制，因而提炼“立体几何中的翻折问题”，我们可以将其提炼为以下
三类。
1.1 线面位置关系的判定
涉及翻折中线面位置关系的判定，根据翻折前后所对应的平面图形与空间图形的位置关系，判定线线、线面、面面的平行、垂直等位置关系。
1.2 数量关系的证明与计算
在解决翻折中的数量计算问题时，一定要先准确判定翻折前后哪些数量发生了变化、哪些数量没有发生变化，以及翻折后的数量关系，再结合空间线面的位置关系处理有关空间角、空间距离以及几何体的表面积或体积等的计算问题。
1.3 几何量的最值问题
针对平面图形翻折变化中一些相关量的变化，如空间几何体中长度、角度等的最值，如何从动态过程中找出此时的最值是解决问题的关键。可通过翻折使得动态问题静态化，进而求解翻折中的最值问题。
2 问题模型化
问题情境：（菱形的翻折）已知菱形边长为1，且，将菱形沿翻折后。①当面面时;②当面与面所成角为时。
探究问题：①与所成角的余弦;②与面所成角的正弦;③求二面角的大小。
问题情境：（矩形的翻折）已知矩形中，，，是的中点，沿直线将翻折。①当面面时;②当面与面所成角为时。
探究问题：①与所成角的余弦;②与面所成角的正弦;③求二面角的大小。
问题情境：（梯形的翻折）已知等腰梯形中，，，，沿直线将翻折。①当面面时;②当面与面所成角为时。
探究问题：①与所成角的余弦;②与面所成角的正弦;③四面体中是否存在直二面角，请写出并证明。
3 解模套路化
翻折问题有一些解题的套路，可以通过提炼，让学生形成相应的解题技巧。翻折模型如图（如图1），在平面图形（如四边形）中，于点，将平面图形沿折起，则在翻折过程中，，。探究下列结论，并给于证明。
探究1：平面与两个翻折半平面，位置关系。
探究2：二面角的平面角。
探究3：点在平面的射影位置。
探究4：若在翻折后的半平面内任取一点，过作，过在半平面内作，在翻折前平面中，三点位置关系。
探究5：翻折过程中，动点的轨迹;（）的轨迹，在任何位置到（或、）距离。
探究6：动点的任意两个位置的连线与翻折线位置关系。
4 套路技能化
套路的技能化训练是教学中常用的，也是实践证明有实效的方法，就是变式题组补偿性训练，如①针对某一题型（翻折过程中，计算取值范围问题），设计“一题多解”训练;②针对某一模型（矩形的翻折模型），设计“一题多变”训练;③针对某一套路（翻折过程中，动点与动线轨迹特点），设计“多题一解”训练。
根据本微专题的教学目标和检测提分效果的需要，下面提供一组三道与典型题例同类型的习题，以供学生强化训练。
技能提升变式训练题组：如图2，在矩形中，，为中点，将沿直线翻折成。若为中点，则在翻转过程中，下列说法中正确是____。（写出所有的正确说法对应的序号）
①点在圆上运动;②一定存在某个位置，使面;③一定存在某个位置，使。
技能提升变式训练题组2。如图3（a），在直角梯形中，，，，是的中点，是与的
交点。将沿折起到的位置，如
图3（b）。若平面平面时，四棱锥的体积为，求。
技能提升变式训练题组3。已知平面四边形，
，，，。沿直线将翻折成，直线与所成角的余弦的最大值是____。
总之，采用“二轮复习微专题四化策略”进行二轮复习，实践证明是一种针对性强、操作性好、实用性强的磨题复习策略。
【参考文献】
[1]王竹平.如何提高区域教研活动时效性[J].上海教育科研，
2013（12）.
[2]顾荣.“磨题”：走向共生的数学教师校本研修方式[J].江苏教育，2007（12）.
[3]崔益祥.教师脱产培训有效形式之一：磨题[J].中小学教师
培训，2010（8）.
【关键词】“四化策略”;二轮复习;微专题;磨题
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2020）28-0089-02
全国卷的试题具有题型稳定、考向明确的特点。因此，教师在指导备战全国卷高考时，可以从已有的实测试题中梳理题型，并针对题型提炼出解决问题的数学模型，接着归纳每个模型相应的套路，最后再结合实测试题训练应试技能（计算、作图、规范）。二轮复习的最终目标就是通过更为精准的专题复习，让学生实现题型快速识别、模型灵活提取、套路熟練掌握、技能规范操作[1]。
从已有的实测试题中梳理题型，即“试题问题化”;针对题型提炼出解决问题的数学模型，即“问题模型化”;归纳每个模型相应的套路，即“解模套路化”;结合实测试题训练应试技能，即“套路技能化”。可将上述过程概括为“二轮复习微专题四化策略”[2]。
数学磨题指的是，教师有意识地琢磨、分析具体或一般的数学问题，或集体切磋、讨论，以提升数学解题技能、探索常见命题技术、熟悉学生数学现实、提高教育教学质量、领悟教学知识本质的行动研究模式。基于“磨题工作坊”的区域学科教研，是一种创新性的区域教研形式，是追求区域教研实效性的有益探索。将其结合到具体的数学学科教学，是一次有开创性的尝试。其作为一个数学教研创新模式的探究课题，对改善区域学科教研有较强的实践价值，对促进区域数学教师专业成长也有较高的实践意义。下面笔者结合翻折问题展开具体的
说明[3]。
1 试题问题化
纵观历年的全国卷立体几何考题，我们可以发现绝大部分的试题都是以“翻折”的手法进行命制，因而提炼“立体几何中的翻折问题”，我们可以将其提炼为以下
三类。
1.1 线面位置关系的判定
涉及翻折中线面位置关系的判定，根据翻折前后所对应的平面图形与空间图形的位置关系，判定线线、线面、面面的平行、垂直等位置关系。
1.2 数量关系的证明与计算
在解决翻折中的数量计算问题时，一定要先准确判定翻折前后哪些数量发生了变化、哪些数量没有发生变化，以及翻折后的数量关系，再结合空间线面的位置关系处理有关空间角、空间距离以及几何体的表面积或体积等的计算问题。
1.3 几何量的最值问题
针对平面图形翻折变化中一些相关量的变化，如空间几何体中长度、角度等的最值，如何从动态过程中找出此时的最值是解决问题的关键。可通过翻折使得动态问题静态化，进而求解翻折中的最值问题。
2 问题模型化
问题情境：（菱形的翻折）已知菱形边长为1，且，将菱形沿翻折后。①当面面时;②当面与面所成角为时。
探究问题：①与所成角的余弦;②与面所成角的正弦;③求二面角的大小。
问题情境：（矩形的翻折）已知矩形中，，，是的中点，沿直线将翻折。①当面面时;②当面与面所成角为时。
探究问题：①与所成角的余弦;②与面所成角的正弦;③求二面角的大小。
问题情境：（梯形的翻折）已知等腰梯形中，，，，沿直线将翻折。①当面面时;②当面与面所成角为时。
探究问题：①与所成角的余弦;②与面所成角的正弦;③四面体中是否存在直二面角，请写出并证明。
3 解模套路化
翻折问题有一些解题的套路，可以通过提炼，让学生形成相应的解题技巧。翻折模型如图（如图1），在平面图形（如四边形）中，于点，将平面图形沿折起，则在翻折过程中，，。探究下列结论，并给于证明。
探究1：平面与两个翻折半平面，位置关系。
探究2：二面角的平面角。
探究3：点在平面的射影位置。
探究4：若在翻折后的半平面内任取一点，过作，过在半平面内作，在翻折前平面中，三点位置关系。
探究5：翻折过程中，动点的轨迹;（）的轨迹，在任何位置到（或、）距离。
探究6：动点的任意两个位置的连线与翻折线位置关系。
4 套路技能化
套路的技能化训练是教学中常用的，也是实践证明有实效的方法，就是变式题组补偿性训练，如①针对某一题型（翻折过程中，计算取值范围问题），设计“一题多解”训练;②针对某一模型（矩形的翻折模型），设计“一题多变”训练;③针对某一套路（翻折过程中，动点与动线轨迹特点），设计“多题一解”训练。
根据本微专题的教学目标和检测提分效果的需要，下面提供一组三道与典型题例同类型的习题，以供学生强化训练。
技能提升变式训练题组：如图2，在矩形中，，为中点，将沿直线翻折成。若为中点，则在翻转过程中，下列说法中正确是____。（写出所有的正确说法对应的序号）
①点在圆上运动;②一定存在某个位置，使面;③一定存在某个位置，使。
技能提升变式训练题组2。如图3（a），在直角梯形中，，，，是的中点，是与的
交点。将沿折起到的位置，如
图3（b）。若平面平面时，四棱锥的体积为，求。
技能提升变式训练题组3。已知平面四边形，
，，，。沿直线将翻折成，直线与所成角的余弦的最大值是____。
总之，采用“二轮复习微专题四化策略”进行二轮复习，实践证明是一种针对性强、操作性好、实用性强的磨题复习策略。
【参考文献】
[1]王竹平.如何提高区域教研活动时效性[J].上海教育科研，
2013（12）.
[2]顾荣.“磨题”：走向共生的数学教师校本研修方式[J].江苏教育，2007（12）.
[3]崔益祥.教师脱产培训有效形式之一：磨题[J].中小学教师
培训，2010（8）.