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[摘 要]
本研究以《角平分线》一课为研究载体，探索了几何画板在数学教学、特别是新知拓展环节中应用的具体操作性的策略，并揭示了几何画板在学生数学思维的培养、数学的严谨性、以及教学效率等方面的重要的作用。
[关键词]
几何画板；新知拓展；课例研究
一、问题的提出
2011版义务教育数学课程标准指出：“数学课程的设计与实施要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解決问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。”[1]几何画板以它的功能强大，动态表现对象之间的关系等优点，已经广泛地应用在数学教学中。从数学知识呈现的角度来看，几何画板可使抽象的概念具体化、形象化，充分揭示数学概念的形成与发展，数学思维的发展过程和数学实质，展示数学思维的形成过程，使数学教学收到事半功倍的效果。从学生的能力培养来看，几何画板的使用能够开阔解决数学问题的思路，培养思维能力改善课堂教学方式、学生参与和认知方式等。
数学课堂教学通常由情境导入环节、新知讲授环节、新知拓展环节、小结环节和布置作业构成。新知拓展环节是课堂教学效果的升华部分，在本环节中教师对本节知识进行变式训练，意在促进学生对知识更加全面、深入地理解，是学生思维水平和数学能力提升的阶段。可见，新知拓展环节在学生能力培养中的重要作用，但是，对于几何画板在数学教学中的应用，大多数的教师更愿意关注情境导入和新知讲授环节中几何画板的应用，而对于新知拓展环节通常是做点练习练练就结束了。这种做法对于几何画板与数学教学的深度融合是不利的，对于学生的能力培养也是不利的。因此，该研究以“角平分线”为例，通过课例研究的方式，揭示了几何画板在新知拓展环节中的具体操作性策略，以及其在学生数学思维的培养、数学的严谨性和教学效率等方面的重要的作用。
二、课例的选择
该研究选择的是北京师范大学出版义务教育教科书八年级下册第一章第四节第二课时——角平分线这一课的内容。本课内容是在学习角平分线性质及其逆定理后的第二课时，新知拓展环节所选习题，目的是让学生明确“到角两边距离相等的点”和“到两条相交直线距离相等的点”的区别，和三角形内角平分线与三角形外角平分线交点问题。授课教师是研究者本人授课。
三、课例研究的过程
（一）第一次教学过程及专家评价
1.常规教学过程描述
教师：请同学们完成如下习题。
习题内容：三条交叉的公路a，b，c。现要建一个加油站P，使点P到直线a，b，c的距离相等，那么，点P有几个位置可供选择？你是如何发现的？（图见5-1）
（学生利用已经学过的知识思考、交流）
学生1：有一处可选，在直线a，b，c围成的三角形中，做△ABC三条角平分线，交点即为点P所在。根据“三角形三条角平分线交于一点，且这点到三条边距离相等”可知，点P到直线a，b，c距离相等，刚好符合题目要求。
学生2：有四处可选（同学们都非常吃惊）。除三角形的内角外，我在三角形外部还找到三点，分别是△ABC外角平分线的交点。点P、P1、P2、P3为所求。
教师：哪位同学可以说明到角两边距离相等的点集中在哪里？到两条相交直线距离相等的点集中在哪里？
学生3：到角两边距离相等的点集中在这个角的平分线上；到两条相交直线距离相等的点……
（学生心中认为两个问题的答案是一样的，但又感觉不对。）
学生4：两条相交直线形成四个角，所以到两条相交直线距离相等的点在四个角的平分线上。
（有些学生恍然大悟，有些学生仍然没有理解。）
教师：那么如图所示到三条相交的公路距离相等的点在什么位置呢？
学生5：应该在3个内角，6个外角和3个内角的对顶角的平分线上。
（少数学生经过思考，认同学生5的观点，其余学生显然没有参与题目的思考。）
教师：哪位同学可以帮老师画出来？
学生6：在黑板上利用尺规作图，画出学生5的猜想。
（学生6绘制结果见图5-2）
（在作角平分线时，无论怎样准确都或多或少存在误差。因此总是不能得到学生2的结论，思维就更加混乱。学生开始怀疑自己的猜想，脑中原本形成的大致思路已经被打乱。最后，学生无措地注视着老师。）
教师：在黑板上画图
（即使稍有误差，有教师的权威也可以将问题讲述清楚。）
学生：只能就题论题，无法全面准确地认识问题的本质，在图形都不准确的情况下，更无法自行探究并独立证明。
（直到题目讲解结束，学生没有完全领会新知拓展环节的目的。）
【设计意图】在新知拓展环节选择此题意在将“到角两边距离相等的点”这一定理拓展到“到两条相交直线距离相等的点”的层面上来，同时考察学生对新知讲授环节中例题的理解和掌握程度。教师首先引导学生辨析“到角两边距离相等的点”这一定理拓展到“到两条相交直线距离相等的点”的不同，再用习题将知识迁移到到三条相交之间距离相等的点上，要求学生动手绘制图形，可以增强学生的课堂参与程度加深印象。
2.专家评价
在常规的新知拓展环节中，教师用言语启发学生的想象能力，可以明确“到角两边距离相等的点”与“到两条相交直线距离相等的点”的区别，但是当涉及到交点数量时，课堂上就会出现许多的质疑，究其原因有以下几个：
其一，学生思维局限性。八年级的学生所接触的几何知识较为简单具体，面对复杂的、需要在思维层面上高度想象的学习任务，学生的能力就略显不足。这一点从回答教师提问的学生数学变少可以得到验证。 其二，误差问题。通过课堂观察，可以看到学生要在短时间内完成6条角平分线的绘制，在作图过程中不可避免地会存在一定的误差，这样交点数量就会发生变化。学生的注意力被绘图吸引，耗时耗力，最后无法或无时间独立完成对结论的证明。
其三，课堂进度。本环节为新知拓展环节，课堂时间应控制在10～15分钟。学生在绘图环节若花费较长时间，那么后续的猜想、证明及验证过程就无法正常完成，学生对本题的结论存在质疑，本题的条件认识不清，那么新知拓展环节的教学任务就没有完成。在规定的教學时间内，没有取得最优的教学效果。
在专家的建议之下，上课教师将几何画板应用到新知拓展环节中，并进行了第二次教学。
（二）第二次教学过程及专家评价
在第二次教学中，教师在新知拓展环节利用几何画板，与学生一同深化“三角形三个内角的平分线交于一点”这一性质的理解。具体的教学过程如下文所描述。
1.几何画板整合的教学过程描述
教师：请同学们完成如下习题。
习题如内容：三条交叉的公路a，b，c。现要建一个加油站P，使点P到直线a，b，c的距离相等，那么，点P有几个位置可供选择？你是如何发现的？（见图5-3）
（学生利用已学过的知识思考、交流。）
学生1：有一处可选，在直线a，b，c围成的三角形中，做△ABC三条角平分线，交点即为点P所在。根据”三角形三条角平分线交于一点，且这点到三条边距离相等“可知，点P到直线a，b，c距离相等，刚好符合题目要求。
学生2：有四处可选（同学们都非常吃惊）。除三角形的内角外，我在三角形外部还找到三点，分别是△ABC外角平分线的交点。如图，点P、P1、P2、P3为所求。
教师：哪位同学可以说明到角两边距离相等的点集中在哪里？到两条相交直线距离相等的点集中在哪里？
学生3：到角两边距离相等的点集中在这个角的平分线上；到两条相交直线距离相等的点……（学生心中认为两个问题的答案是一样的，但又感觉不对。）
学生4：两条相交直线形成四个角，所以到两条相交直线距离相等的点在四个角的平分线上。
教师：那么如图所示到三条相交的公路距离相等的点在什么位置呢？
学生5：应该在3个内角，6个外角和3个内角的对顶角的平分线上。
教师：哪位同学可以帮老师画出来？
学生6：利用几何画板在屏幕上完成图形的绘制（学生6绘制图形见图5-4），并明确地发现这些角平分线的交点只有4个。
（没有机会利用几何画板的学生在完成自己的图形绘制后，观察屏幕上已有的图形，可以对自己的图形进行检查和修改。）
学生6：老师我觉得屏幕上的图形绘制是具有特殊性的，如果改变三角形ABC的形状，那么交点的数量会发生改变的。
教师：利用几何画板改变三角形的形状（变形后三角形见图5-5），请学生观察、讨论。3个内角，6个外角和3个内角的对顶角的平分线所在的直线共有几条？这些直线共有几个交点？哪位同学可以证明你的结论？
学生7：利用平角知识证明三点共线，得出所有角平分线所在的直线共有6条；利用角平分线逆定理证明6条角平分线交点有4个。
【设计意图】在新知拓展环节选择此题意在将“到角两边距离相等的点”这一定理拓展到“到两条相交直线距离相等的点”的层面上来，同时考察学生对新知讲授环节中例题的理解和掌握程度。教师选择利用几何画板引领学生绘制图形，其目的在于提高课堂效率，有效降低不必要误差率，把更多的课堂时间留给学生思考，验证，证明。而选择利用几何画板引领学生绘制图形，并不是用几何画板替代学生绘制图形，是由于几何画板可以提升学生的思维品质，却不能也不应该用其来代替学生的思考。
2.专家评价
在几何画板优化新知拓展环节中，教师安排一名学生使用几何画板完成作图，其余学生动手绘制。在大屏幕上正确范例的影响下，手绘的同学可以及时发现些问题的关键点：角平分线交点的数量。
在正确的图形影响下，学生们先自己动手作图验证，即使所作图形与大屏幕不同，学生们也不会将精力全部集中在作图上，有些同学会改变方式，借鉴上例的经验用几何推理来证明交点的个数。这样做即解决了学生思维局限性问题，又解决了误差问题。还提高了课堂的效率。在课堂时间不变的情况下，留给学生更多的思考时间，也可以改变三条路的相对位置，交点数量是否发生改变，加深学生对知识理解的深度。在科学规定的课堂教学时间内，在学生思维水平不变的情况下，能够取得最优的教学效果。
在新知拓展环节引入几何画板的目的是为了优化几何课堂教学，而不是为了炫耀几何画板的功能。因此，在利用几何画板前，应客观判断其使用的必要性。针对本节课教师可以利用几何画板提高学生作图效率和准确率，但是不能忽视交点数量的证明过程。
四、结束语
通过几何画板在数学新知拓展环节应用的课例研究，研究者探索了几何画板在数学教学、特别是新知拓展环节中应用的具体操作性的策略，并揭示了几何画板在学生数学思维的培养、数学的严谨性、以及教学效率等方面的重要的作用。
[参 考 文 献]
[1]义务教育数学课程标准（2011年版）.中华人民共和国教育部[S].北京师范大学出版社，2012.
（责任编辑：张华伟）
本研究以《角平分线》一课为研究载体，探索了几何画板在数学教学、特别是新知拓展环节中应用的具体操作性的策略，并揭示了几何画板在学生数学思维的培养、数学的严谨性、以及教学效率等方面的重要的作用。
[关键词]
几何画板；新知拓展；课例研究
一、问题的提出
2011版义务教育数学课程标准指出：“数学课程的设计与实施要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解決问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。”[1]几何画板以它的功能强大，动态表现对象之间的关系等优点，已经广泛地应用在数学教学中。从数学知识呈现的角度来看，几何画板可使抽象的概念具体化、形象化，充分揭示数学概念的形成与发展，数学思维的发展过程和数学实质，展示数学思维的形成过程，使数学教学收到事半功倍的效果。从学生的能力培养来看，几何画板的使用能够开阔解决数学问题的思路，培养思维能力改善课堂教学方式、学生参与和认知方式等。
数学课堂教学通常由情境导入环节、新知讲授环节、新知拓展环节、小结环节和布置作业构成。新知拓展环节是课堂教学效果的升华部分，在本环节中教师对本节知识进行变式训练，意在促进学生对知识更加全面、深入地理解，是学生思维水平和数学能力提升的阶段。可见，新知拓展环节在学生能力培养中的重要作用，但是，对于几何画板在数学教学中的应用，大多数的教师更愿意关注情境导入和新知讲授环节中几何画板的应用，而对于新知拓展环节通常是做点练习练练就结束了。这种做法对于几何画板与数学教学的深度融合是不利的，对于学生的能力培养也是不利的。因此，该研究以“角平分线”为例，通过课例研究的方式，揭示了几何画板在新知拓展环节中的具体操作性策略，以及其在学生数学思维的培养、数学的严谨性和教学效率等方面的重要的作用。
二、课例的选择
该研究选择的是北京师范大学出版义务教育教科书八年级下册第一章第四节第二课时——角平分线这一课的内容。本课内容是在学习角平分线性质及其逆定理后的第二课时，新知拓展环节所选习题，目的是让学生明确“到角两边距离相等的点”和“到两条相交直线距离相等的点”的区别，和三角形内角平分线与三角形外角平分线交点问题。授课教师是研究者本人授课。
三、课例研究的过程
（一）第一次教学过程及专家评价
1.常规教学过程描述
教师：请同学们完成如下习题。
习题内容：三条交叉的公路a，b，c。现要建一个加油站P，使点P到直线a，b，c的距离相等，那么，点P有几个位置可供选择？你是如何发现的？（图见5-1）
（学生利用已经学过的知识思考、交流）
学生1：有一处可选，在直线a，b，c围成的三角形中，做△ABC三条角平分线，交点即为点P所在。根据“三角形三条角平分线交于一点，且这点到三条边距离相等”可知，点P到直线a，b，c距离相等，刚好符合题目要求。
学生2：有四处可选（同学们都非常吃惊）。除三角形的内角外，我在三角形外部还找到三点，分别是△ABC外角平分线的交点。点P、P1、P2、P3为所求。
教师：哪位同学可以说明到角两边距离相等的点集中在哪里？到两条相交直线距离相等的点集中在哪里？
学生3：到角两边距离相等的点集中在这个角的平分线上；到两条相交直线距离相等的点……
（学生心中认为两个问题的答案是一样的，但又感觉不对。）
学生4：两条相交直线形成四个角，所以到两条相交直线距离相等的点在四个角的平分线上。
（有些学生恍然大悟，有些学生仍然没有理解。）
教师：那么如图所示到三条相交的公路距离相等的点在什么位置呢？
学生5：应该在3个内角，6个外角和3个内角的对顶角的平分线上。
（少数学生经过思考，认同学生5的观点，其余学生显然没有参与题目的思考。）
教师：哪位同学可以帮老师画出来？
学生6：在黑板上利用尺规作图，画出学生5的猜想。
（学生6绘制结果见图5-2）
（在作角平分线时，无论怎样准确都或多或少存在误差。因此总是不能得到学生2的结论，思维就更加混乱。学生开始怀疑自己的猜想，脑中原本形成的大致思路已经被打乱。最后，学生无措地注视着老师。）
教师：在黑板上画图
（即使稍有误差，有教师的权威也可以将问题讲述清楚。）
学生：只能就题论题，无法全面准确地认识问题的本质，在图形都不准确的情况下，更无法自行探究并独立证明。
（直到题目讲解结束，学生没有完全领会新知拓展环节的目的。）
【设计意图】在新知拓展环节选择此题意在将“到角两边距离相等的点”这一定理拓展到“到两条相交直线距离相等的点”的层面上来，同时考察学生对新知讲授环节中例题的理解和掌握程度。教师首先引导学生辨析“到角两边距离相等的点”这一定理拓展到“到两条相交直线距离相等的点”的不同，再用习题将知识迁移到到三条相交之间距离相等的点上，要求学生动手绘制图形，可以增强学生的课堂参与程度加深印象。
2.专家评价
在常规的新知拓展环节中，教师用言语启发学生的想象能力，可以明确“到角两边距离相等的点”与“到两条相交直线距离相等的点”的区别，但是当涉及到交点数量时，课堂上就会出现许多的质疑，究其原因有以下几个：
其一，学生思维局限性。八年级的学生所接触的几何知识较为简单具体，面对复杂的、需要在思维层面上高度想象的学习任务，学生的能力就略显不足。这一点从回答教师提问的学生数学变少可以得到验证。 其二，误差问题。通过课堂观察，可以看到学生要在短时间内完成6条角平分线的绘制，在作图过程中不可避免地会存在一定的误差，这样交点数量就会发生变化。学生的注意力被绘图吸引，耗时耗力，最后无法或无时间独立完成对结论的证明。
其三，课堂进度。本环节为新知拓展环节，课堂时间应控制在10～15分钟。学生在绘图环节若花费较长时间，那么后续的猜想、证明及验证过程就无法正常完成，学生对本题的结论存在质疑，本题的条件认识不清，那么新知拓展环节的教学任务就没有完成。在规定的教學时间内，没有取得最优的教学效果。
在专家的建议之下，上课教师将几何画板应用到新知拓展环节中，并进行了第二次教学。
（二）第二次教学过程及专家评价
在第二次教学中，教师在新知拓展环节利用几何画板，与学生一同深化“三角形三个内角的平分线交于一点”这一性质的理解。具体的教学过程如下文所描述。
1.几何画板整合的教学过程描述
教师：请同学们完成如下习题。
习题如内容：三条交叉的公路a，b，c。现要建一个加油站P，使点P到直线a，b，c的距离相等，那么，点P有几个位置可供选择？你是如何发现的？（见图5-3）
（学生利用已学过的知识思考、交流。）
学生1：有一处可选，在直线a，b，c围成的三角形中，做△ABC三条角平分线，交点即为点P所在。根据”三角形三条角平分线交于一点，且这点到三条边距离相等“可知，点P到直线a，b，c距离相等，刚好符合题目要求。
学生2：有四处可选（同学们都非常吃惊）。除三角形的内角外，我在三角形外部还找到三点，分别是△ABC外角平分线的交点。如图，点P、P1、P2、P3为所求。
教师：哪位同学可以说明到角两边距离相等的点集中在哪里？到两条相交直线距离相等的点集中在哪里？
学生3：到角两边距离相等的点集中在这个角的平分线上；到两条相交直线距离相等的点……（学生心中认为两个问题的答案是一样的，但又感觉不对。）
学生4：两条相交直线形成四个角，所以到两条相交直线距离相等的点在四个角的平分线上。
教师：那么如图所示到三条相交的公路距离相等的点在什么位置呢？
学生5：应该在3个内角，6个外角和3个内角的对顶角的平分线上。
教师：哪位同学可以帮老师画出来？
学生6：利用几何画板在屏幕上完成图形的绘制（学生6绘制图形见图5-4），并明确地发现这些角平分线的交点只有4个。
（没有机会利用几何画板的学生在完成自己的图形绘制后，观察屏幕上已有的图形，可以对自己的图形进行检查和修改。）
学生6：老师我觉得屏幕上的图形绘制是具有特殊性的，如果改变三角形ABC的形状，那么交点的数量会发生改变的。
教师：利用几何画板改变三角形的形状（变形后三角形见图5-5），请学生观察、讨论。3个内角，6个外角和3个内角的对顶角的平分线所在的直线共有几条？这些直线共有几个交点？哪位同学可以证明你的结论？
学生7：利用平角知识证明三点共线，得出所有角平分线所在的直线共有6条；利用角平分线逆定理证明6条角平分线交点有4个。
【设计意图】在新知拓展环节选择此题意在将“到角两边距离相等的点”这一定理拓展到“到两条相交直线距离相等的点”的层面上来，同时考察学生对新知讲授环节中例题的理解和掌握程度。教师选择利用几何画板引领学生绘制图形，其目的在于提高课堂效率，有效降低不必要误差率，把更多的课堂时间留给学生思考，验证，证明。而选择利用几何画板引领学生绘制图形，并不是用几何画板替代学生绘制图形，是由于几何画板可以提升学生的思维品质，却不能也不应该用其来代替学生的思考。
2.专家评价
在几何画板优化新知拓展环节中，教师安排一名学生使用几何画板完成作图，其余学生动手绘制。在大屏幕上正确范例的影响下，手绘的同学可以及时发现些问题的关键点：角平分线交点的数量。
在正确的图形影响下，学生们先自己动手作图验证，即使所作图形与大屏幕不同，学生们也不会将精力全部集中在作图上，有些同学会改变方式，借鉴上例的经验用几何推理来证明交点的个数。这样做即解决了学生思维局限性问题，又解决了误差问题。还提高了课堂的效率。在课堂时间不变的情况下，留给学生更多的思考时间，也可以改变三条路的相对位置，交点数量是否发生改变，加深学生对知识理解的深度。在科学规定的课堂教学时间内，在学生思维水平不变的情况下，能够取得最优的教学效果。
在新知拓展环节引入几何画板的目的是为了优化几何课堂教学，而不是为了炫耀几何画板的功能。因此，在利用几何画板前，应客观判断其使用的必要性。针对本节课教师可以利用几何画板提高学生作图效率和准确率，但是不能忽视交点数量的证明过程。
四、结束语
通过几何画板在数学新知拓展环节应用的课例研究，研究者探索了几何画板在数学教学、特别是新知拓展环节中应用的具体操作性的策略，并揭示了几何画板在学生数学思维的培养、数学的严谨性、以及教学效率等方面的重要的作用。
[参 考 文 献]
[1]义务教育数学课程标准（2011年版）.中华人民共和国教育部[S].北京师范大学出版社，2012.
（责任编辑：张华伟）