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摘要：抛硬币是许多数学家都做过的试验。本着弗赖登塔尔让学生“再创造”数学的思想，设计和实施了“抛硬币”教学活动。采用合作学习的方式，通过个人、小组、全班三次统计，鲜明地体现了在大量重复的试验中，随机事件呈现出规律性。整个教学过程让学生亲自操作、记录、统计、观察、发现、交流、探讨，经历了“再创造”的全过程。学生对随机事件的规律性有了切身体验，兴趣强烈，印象深刻。
关键词：可能性；抛硬币；教学实录
说明：概率论的教科书一般都把抛硬币作为一个例子，以说明在大量重复的试验中，随机事件呈现出规律性，并介绍历史上几个著名的抛币试验。最有名的是蒲丰和皮尔逊的试验。蒲丰抛硬币4040次；之后，皮尔逊进行了两次试验，分别抛了12000次和24000次。当然，没有记录的试验还有很多。数学家们为什么非要亲自试验呢？应该说是强烈的探索精神和严谨的科学态度促使他们这样做的。这正是进行数学研究所需要具备的素养。弗赖登塔尔主张让学生“再创造”数学，即重新发现数学家已经发现的东西，那么我们也应该让学生重做这个试验。为此，我们设计和实施了“抛硬币”活动，取得了良好的教学效果。
教學准备：每个同学准备一枚1元硬币、一个鞋盒盖；教师发给每个同学三张表。
一、导入问题，引出猜想
师：同学们都看过足球比赛。比赛前首先要做什么？（选边）
（教师播放足球比赛的录像：比赛即将开始时，裁判员拿出一枚硬币来，抛向空中，然后伸手接住，捂在手里不让人看见，让双方的队长猜是正面向上还是反面向上。猜对的一方就可以先选边。）刚才大家看了选边情况的录像。现在老师有一个问题：为什么要用抛硬币的方式选边呢？
生：因为这种方式是公平的。
师：为什么是公平的？
生1：硬币可能正面朝上也可能反面朝上，你不能控制它。
生2：硬币正面朝上和反面朝上的可能性是同样大的。
师：同意吗？对了，因为可能性同样大，猜正面或反面都占不了便宜。
那么，我们怎么知道硬币正面朝上和反面朝上的可能性是同样大的呢？
生：因为整个硬币的厚薄是一样。
师：硬币上不是有一些突起的花纹吗？
生：花纹两面都有，就平均了。
师：嗯，那就是说，你们提出了一个假设：抛一枚均匀的硬币，掉下后，正面朝上和反面朝上的可能性是相同的。但是，这只是一个假设。怎么证明你们的假设是正确的呢？
二、提出方法，说明道理
生：可以拿一个硬币来抛。如果正面朝上和反面朝上的次数相同或者很接近，就说明猜想是正确的。
师：对，可以用试验来验证。要抛多少次呢？次数少了行吗？
生：不行。
师：对。次数少了就会有偶然性。比如可能接连几次都出现正面朝上。但是要抛很多次一节课又做不到。老师想了一个办法：全班同学合作进行。首先各组每人用一枚硬币抛10次，统计正面朝上的次数；然后统计全组人抛硬币正面朝上的次数；最后统计全班人抛硬币正面朝上的次数。（教师摘要板书。）
像这样统计三次，统计的样本一次比一次多，结果会出现什么情况？
生：正面朝上的次数会越来越接近一半。
师：如果出现这种情况，那说明什么？
生：说明我们的猜想是正确的。
三、个人抛币，列表统计
师：现在我们来进行验证活动的第一步：个人抛硬币。抛的方法是：拿出各人准备的鞋盒盖，用拇指和食指捏住硬币，停在盒盖上方半米左右的地方，然后松手，让硬币掉进鞋盒盖（教师示范）。用写“正”字的方法记下正面出现多少次。
学生拿出鞋盒盖和一元硬币，抛币并在纸上作记录。教师巡视、观察、指导。然后学生填本组的表。先填出抛币次数（N）和正面朝上次数（Z），再计算正面朝上次数除以抛币次数所得的商（Z/N），填在最后一列，得到表1：
师（出示一张表）： Z/N这列数表示什么？或者说，从其中的数可以看出什么？
生：这个数越大，表示出现正面的次数越多。
师：就是说，这个数表示出现正面朝上的可能性的大小。
三、全班统计，完成表格
各组将填好的表交给老师，老师根据各组的表填出下表（表2）中各组的正面朝上次数。然后各组同学分别计算本组的Z/N和全班的Z/N（每个同学都计算。可以使用计算器，结果统一保留三位小数），得到下表：
四、讨论、质疑，发现规律
师：现在每个同学都有一张表，观察你的表，你有什么发现？
生：这三个数据一个比一个接近0.5。
师：这说明了什么？
生：说明投币的次数越多，正面朝上的次数越接近一半。
师：也就是验证了我们开始提出的猜想：抛一枚均匀的硬币，掉下后，正面朝上和反面朝上的可能性是相同的。
生：老师，我的第一个数据就恰好是0.5，比后两个数据还好。
师：大家怎么看这个结果？
生：他的运气太好了！
师：是的，老师告诉你们：抛10次硬币，恰好有5次正面朝上的可能性还不到0.1。
师：美国数学家维尼也做了抛硬币的试验，他抛了10组，每组抛了2000次，厉害吧？得到的数据如下表：
师：观察这张表，你有什么发现？
生：每一组的结果都比我们全班的结果更接近0.5。
师：这说明了什么？
生：抛的次数越多，正面朝上的次数越接近一半。
师：有恰好等于0.5的吗？（没有。）
师：这说明，抛的次数越多，正面朝上的次数恰好是一半的可能性就越小。
生：我发现第八组的结果比总计的结果更接近0.5，这是怎么回事呢？
师：这是一种偶然现象。就像张丹丹同学恰好抛出一半正面一样。
师：看了这张表，大家还有什么感想？
生1：数学家能抛这么多次，真是想不到！
生2：数学家太认真了！太有毅力了！
师：我们要向数学家学习，把这种精神用到学习上。
参考文献：
[1]齐民友.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2002.
作者简介：许建刚，国防科技大学附属小学教导主任，本科学历，小学高级教师，在《小学教学》等杂志发表论文多篇。
关键词：可能性；抛硬币；教学实录
说明：概率论的教科书一般都把抛硬币作为一个例子，以说明在大量重复的试验中，随机事件呈现出规律性，并介绍历史上几个著名的抛币试验。最有名的是蒲丰和皮尔逊的试验。蒲丰抛硬币4040次；之后，皮尔逊进行了两次试验，分别抛了12000次和24000次。当然，没有记录的试验还有很多。数学家们为什么非要亲自试验呢？应该说是强烈的探索精神和严谨的科学态度促使他们这样做的。这正是进行数学研究所需要具备的素养。弗赖登塔尔主张让学生“再创造”数学，即重新发现数学家已经发现的东西，那么我们也应该让学生重做这个试验。为此，我们设计和实施了“抛硬币”活动，取得了良好的教学效果。
教學准备：每个同学准备一枚1元硬币、一个鞋盒盖；教师发给每个同学三张表。
一、导入问题，引出猜想
师：同学们都看过足球比赛。比赛前首先要做什么？（选边）
（教师播放足球比赛的录像：比赛即将开始时，裁判员拿出一枚硬币来，抛向空中，然后伸手接住，捂在手里不让人看见，让双方的队长猜是正面向上还是反面向上。猜对的一方就可以先选边。）刚才大家看了选边情况的录像。现在老师有一个问题：为什么要用抛硬币的方式选边呢？
生：因为这种方式是公平的。
师：为什么是公平的？
生1：硬币可能正面朝上也可能反面朝上，你不能控制它。
生2：硬币正面朝上和反面朝上的可能性是同样大的。
师：同意吗？对了，因为可能性同样大，猜正面或反面都占不了便宜。
那么，我们怎么知道硬币正面朝上和反面朝上的可能性是同样大的呢？
生：因为整个硬币的厚薄是一样。
师：硬币上不是有一些突起的花纹吗？
生：花纹两面都有，就平均了。
师：嗯，那就是说，你们提出了一个假设：抛一枚均匀的硬币，掉下后，正面朝上和反面朝上的可能性是相同的。但是，这只是一个假设。怎么证明你们的假设是正确的呢？
二、提出方法，说明道理
生：可以拿一个硬币来抛。如果正面朝上和反面朝上的次数相同或者很接近，就说明猜想是正确的。
师：对，可以用试验来验证。要抛多少次呢？次数少了行吗？
生：不行。
师：对。次数少了就会有偶然性。比如可能接连几次都出现正面朝上。但是要抛很多次一节课又做不到。老师想了一个办法：全班同学合作进行。首先各组每人用一枚硬币抛10次，统计正面朝上的次数；然后统计全组人抛硬币正面朝上的次数；最后统计全班人抛硬币正面朝上的次数。（教师摘要板书。）
像这样统计三次，统计的样本一次比一次多，结果会出现什么情况？
生：正面朝上的次数会越来越接近一半。
师：如果出现这种情况，那说明什么？
生：说明我们的猜想是正确的。
三、个人抛币，列表统计
师：现在我们来进行验证活动的第一步：个人抛硬币。抛的方法是：拿出各人准备的鞋盒盖，用拇指和食指捏住硬币，停在盒盖上方半米左右的地方，然后松手，让硬币掉进鞋盒盖（教师示范）。用写“正”字的方法记下正面出现多少次。
学生拿出鞋盒盖和一元硬币，抛币并在纸上作记录。教师巡视、观察、指导。然后学生填本组的表。先填出抛币次数（N）和正面朝上次数（Z），再计算正面朝上次数除以抛币次数所得的商（Z/N），填在最后一列，得到表1：
师（出示一张表）： Z/N这列数表示什么？或者说，从其中的数可以看出什么？
生：这个数越大，表示出现正面的次数越多。
师：就是说，这个数表示出现正面朝上的可能性的大小。
三、全班统计，完成表格
各组将填好的表交给老师，老师根据各组的表填出下表（表2）中各组的正面朝上次数。然后各组同学分别计算本组的Z/N和全班的Z/N（每个同学都计算。可以使用计算器，结果统一保留三位小数），得到下表：
四、讨论、质疑，发现规律
师：现在每个同学都有一张表，观察你的表，你有什么发现？
生：这三个数据一个比一个接近0.5。
师：这说明了什么？
生：说明投币的次数越多，正面朝上的次数越接近一半。
师：也就是验证了我们开始提出的猜想：抛一枚均匀的硬币，掉下后，正面朝上和反面朝上的可能性是相同的。
生：老师，我的第一个数据就恰好是0.5，比后两个数据还好。
师：大家怎么看这个结果？
生：他的运气太好了！
师：是的，老师告诉你们：抛10次硬币，恰好有5次正面朝上的可能性还不到0.1。
师：美国数学家维尼也做了抛硬币的试验，他抛了10组，每组抛了2000次，厉害吧？得到的数据如下表：
师：观察这张表，你有什么发现？
生：每一组的结果都比我们全班的结果更接近0.5。
师：这说明了什么？
生：抛的次数越多，正面朝上的次数越接近一半。
师：有恰好等于0.5的吗？（没有。）
师：这说明，抛的次数越多，正面朝上的次数恰好是一半的可能性就越小。
生：我发现第八组的结果比总计的结果更接近0.5，这是怎么回事呢？
师：这是一种偶然现象。就像张丹丹同学恰好抛出一半正面一样。
师：看了这张表，大家还有什么感想？
生1：数学家能抛这么多次，真是想不到！
生2：数学家太认真了！太有毅力了！
师：我们要向数学家学习，把这种精神用到学习上。
参考文献：
[1]齐民友.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2002.
作者简介：许建刚，国防科技大学附属小学教导主任，本科学历，小学高级教师，在《小学教学》等杂志发表论文多篇。