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电磁感应现象及其应用,是历来高考的重点、热点。将力学、电磁学等知识溶于一体,能很好地考查学生的理解、推理、分析综合及应用数学处理物理问题的能力。在“单棒切割”模型中,单棒沿平行导轨做切割磁感线运动,是将电磁感应现象与电路、力学、能量等综合应用的重要体现,单棒在运动过程中的位移求解方法既是难点,也在解决方法上容易引起争议。请看问题:
两个水平放置的长直金属导轨MM'、NN'相互平行,间距为L,在导轨右端接一阻值为R的电阻,空间存在方向竖直向下的匀强磁场,磁感应强度大小为B,如图所示。一质量为m的金属棒ab以初速度v0开始从导轨左端向右运动,经过一段时间后,速度减为v。忽略金属棒与导轨的电阻,不计一切摩擦,运动中金属棒始终与导轨垂直。试确定上述运动过程中金属棒的位移x大小。
1.受力分析
导体运动因切割磁感线而产生感应电流,在水平方向上只受安培力 作用,安培力为变力。
2.运动分析
导体棒做速度逐渐减小的减速运动。
3.规律选择
导体棒在变力作用下做非匀变速运动,无法应用一般动力学公式求解。
对某一运动过程,其平均作用力与初、末速度的关系,既满足动量定理,也满足动能定理。
[方法1]在某一极短时间△t内,应用动量定理 ,其中v是极短时间△t内的速度大小
4.问题思考
上述三种方法所得结果一致,是否都合理呢?
方法1中将导体棒的变速运动视为无数个微小时间内的匀速运动,然后再累计求和,这是高中教学中普遍采用并得到认可的,此处不再讨论;
方法2与方法3都涉及到平均电流,但在处理方法上明显不同。方法2中电量 , 是对时间的平均值,是合理的;方法3中平均速度 ,此公式只有匀变速直线运动才成立,即速度与时间成线性关系,此处显然不是!是否合理呢?
5.难点突破
值得注意,方法2中 是对时间的平均值;方法3中 为位移的平均值,即 。为使问题讨论更直观形象,我们从速度图像入手进行分析
(1)速度-时间(v-t)图像: 导体棒运动过程中只受安培力作用。
安培力 ,加速度a = ,故
导体棒在安培力F作用下做减速运动,加速度a减小(斜率减小)。
即速度v与时间t呈非线性关系,如图甲所示。
(2)速度-位移(v-x)图像:
由方法1知 ,斜率绝对值 为常数,
即速度v与位移x呈线性关系,如图乙所示。
可见感应电流 ,方法3中 是对位移的平均值
故电流I与位移x呈线性关系。可见方法3是合理的!
值得注意的是,方法3的合理依据是“ 为电流对位移的平均值”,学生很难想到,即便是应用此方法得出结论,也可能无法解释原因,而图像法有助于我们突破这一难点。
近年来,类似题目在高考题或模拟题中多次出现。
例.(2016西城一模)如图1所示,固定于水平面的U形导线框处于竖直向下、磁感应强度为B0的匀强磁场中,导线框两平行导轨间距为l,左端接一電动势为E0、内阻不计的电源。一质量为m、电阻为r的导体棒MN垂直导线框放置并接触良好。闭合开关S,导体棒从静止开始运动。忽略摩擦阻力和导线框的电阻,平行轨道足够长。请分析说明导体棒MN的运动情况,在图2中画出速度v随时间t变化的示意图;并推导证明导体棒达到的最大速度为 。
解析:闭合开关S,导体棒在安培力F=B0Il的作用下开始做加速运动,加速度 ;导体棒切割磁感线产生反电动势,电流 ,当速度v增大,电流I减小,安培力F减小,加速度a减小,导体棒做加速度减小的加速运动;当E0 =B0lvm时,电流为零,导体棒速度达到最大,最大速度 ;
此后棒以最大速度vm做匀速运动;v-t示意图如图所示。
综上所述,在电磁感应问题中,若运动导体或运动线圈如果只受安培力作用,针对“单棒切割”运动过程,可采用的分析方法有:
(1)某一过程的平均力与初、末速度的关系,既满足动量定理,也满足动能定理。
动量定理 ,其中 是对时间的平均值
动能定理 ,其中 是对位移的平均值
(2)在常见的图像中,应用“坐标类比变换”思想,简化问题、突破难点。
由速度v类比变换为其他物理量,如动生电动势E、感应电流I、安培力F、加速度a等。而利用图像分析可使过程更简单、更形象,此处我们可以简称“坐标类比变换”。
即,纵坐标 ,应用这一思想方法,可以解决多方面问题。例如
a. 由安培力 知,F-t图线同甲图类似,斜率 ,面积为F的冲量大小 ;
b. 由安培力 知,F-x图线同乙图类似,斜率 为恒量,面积为F的功大小 ;
c. 由感应电流 知, I-x图线同乙图类似……
可见,在坐标类比变换中,使单棒切割中的难点问题得到解释和突破,看起来方便简捷!上述图像类比可简单归纳为以下两类:
(1)v-t图像:类比可得E-t、I-t、F-t、a-t图像,均为非线性关系,即图甲所示曲线;
(2)v-x图像:类比可得E-x、I-x、F -x、a-x图像,均为线性关系,即图乙所示直线。
对应物理量的意义在类比变换中越来越灵活,对应图线中“点之截距、线之斜率、面之面积”的意义也在类比变换过程中越来越形象。
由此可见,电磁感应现象现象中,单棒切割磁感线运动,位移求解过程中方法很多,值得讨论更希望在教学中引起关注。
两个水平放置的长直金属导轨MM'、NN'相互平行,间距为L,在导轨右端接一阻值为R的电阻,空间存在方向竖直向下的匀强磁场,磁感应强度大小为B,如图所示。一质量为m的金属棒ab以初速度v0开始从导轨左端向右运动,经过一段时间后,速度减为v。忽略金属棒与导轨的电阻,不计一切摩擦,运动中金属棒始终与导轨垂直。试确定上述运动过程中金属棒的位移x大小。
1.受力分析
导体运动因切割磁感线而产生感应电流,在水平方向上只受安培力 作用,安培力为变力。
2.运动分析
导体棒做速度逐渐减小的减速运动。
3.规律选择
导体棒在变力作用下做非匀变速运动,无法应用一般动力学公式求解。
对某一运动过程,其平均作用力与初、末速度的关系,既满足动量定理,也满足动能定理。
[方法1]在某一极短时间△t内,应用动量定理 ,其中v是极短时间△t内的速度大小
4.问题思考
上述三种方法所得结果一致,是否都合理呢?
方法1中将导体棒的变速运动视为无数个微小时间内的匀速运动,然后再累计求和,这是高中教学中普遍采用并得到认可的,此处不再讨论;
方法2与方法3都涉及到平均电流,但在处理方法上明显不同。方法2中电量 , 是对时间的平均值,是合理的;方法3中平均速度 ,此公式只有匀变速直线运动才成立,即速度与时间成线性关系,此处显然不是!是否合理呢?
5.难点突破
值得注意,方法2中 是对时间的平均值;方法3中 为位移的平均值,即 。为使问题讨论更直观形象,我们从速度图像入手进行分析
(1)速度-时间(v-t)图像: 导体棒运动过程中只受安培力作用。
安培力 ,加速度a = ,故
导体棒在安培力F作用下做减速运动,加速度a减小(斜率减小)。
即速度v与时间t呈非线性关系,如图甲所示。
(2)速度-位移(v-x)图像:
由方法1知 ,斜率绝对值 为常数,
即速度v与位移x呈线性关系,如图乙所示。
可见感应电流 ,方法3中 是对位移的平均值
故电流I与位移x呈线性关系。可见方法3是合理的!
值得注意的是,方法3的合理依据是“ 为电流对位移的平均值”,学生很难想到,即便是应用此方法得出结论,也可能无法解释原因,而图像法有助于我们突破这一难点。
近年来,类似题目在高考题或模拟题中多次出现。
例.(2016西城一模)如图1所示,固定于水平面的U形导线框处于竖直向下、磁感应强度为B0的匀强磁场中,导线框两平行导轨间距为l,左端接一電动势为E0、内阻不计的电源。一质量为m、电阻为r的导体棒MN垂直导线框放置并接触良好。闭合开关S,导体棒从静止开始运动。忽略摩擦阻力和导线框的电阻,平行轨道足够长。请分析说明导体棒MN的运动情况,在图2中画出速度v随时间t变化的示意图;并推导证明导体棒达到的最大速度为 。
解析:闭合开关S,导体棒在安培力F=B0Il的作用下开始做加速运动,加速度 ;导体棒切割磁感线产生反电动势,电流 ,当速度v增大,电流I减小,安培力F减小,加速度a减小,导体棒做加速度减小的加速运动;当E0 =B0lvm时,电流为零,导体棒速度达到最大,最大速度 ;
此后棒以最大速度vm做匀速运动;v-t示意图如图所示。
综上所述,在电磁感应问题中,若运动导体或运动线圈如果只受安培力作用,针对“单棒切割”运动过程,可采用的分析方法有:
(1)某一过程的平均力与初、末速度的关系,既满足动量定理,也满足动能定理。
动量定理 ,其中 是对时间的平均值
动能定理 ,其中 是对位移的平均值
(2)在常见的图像中,应用“坐标类比变换”思想,简化问题、突破难点。
由速度v类比变换为其他物理量,如动生电动势E、感应电流I、安培力F、加速度a等。而利用图像分析可使过程更简单、更形象,此处我们可以简称“坐标类比变换”。
即,纵坐标 ,应用这一思想方法,可以解决多方面问题。例如
a. 由安培力 知,F-t图线同甲图类似,斜率 ,面积为F的冲量大小 ;
b. 由安培力 知,F-x图线同乙图类似,斜率 为恒量,面积为F的功大小 ;
c. 由感应电流 知, I-x图线同乙图类似……
可见,在坐标类比变换中,使单棒切割中的难点问题得到解释和突破,看起来方便简捷!上述图像类比可简单归纳为以下两类:
(1)v-t图像:类比可得E-t、I-t、F-t、a-t图像,均为非线性关系,即图甲所示曲线;
(2)v-x图像:类比可得E-x、I-x、F -x、a-x图像,均为线性关系,即图乙所示直线。
对应物理量的意义在类比变换中越来越灵活,对应图线中“点之截距、线之斜率、面之面积”的意义也在类比变换过程中越来越形象。
由此可见,电磁感应现象现象中,单棒切割磁感线运动,位移求解过程中方法很多,值得讨论更希望在教学中引起关注。