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无论是同一现场的“同课异构”，还是跨越时空的“十年一课”，都是力图通过对同一教学内容的不同实施来进行教育教学研究。理论上讲，教学没有固定模式，而是存在多种姿态和不同形态。但同时，教学又必须遵循着它固有的原理，追求着共同的价值。这种原理和价值是一切教育的根基与灵魂，对任何教育教学行为的考量只有回到这些“原点”来思考，我们才能正确判断，并清楚地看到前行的路。
作为数学老师，我们教的是数学，面对的是儿童，教学就是在数学和儿童之间搭起一座有意义的学习之桥。因而，评价一节数学课，离不开三个基点：第一，学科理解，即对教学内容及数学学科本质等有深刻的认识。第二，儿童立场，即对学生的知识基础、生活经验、思维水平、兴趣喜好、学习特点等有全面的把握，坚持儿童优先。第三，教学艺术，即用艺术的教学方式引导学生在自主、合作、探究的氛围中完成学习任务，实现育人目标。
从这三个视角来看杨惠娟老师前后两次执教的《平移和旋转》，可以寻找到她在数学课堂上的改革和进步。
一、内容理解，更加突出概念本质
“平移”和“旋转”是常见的两种运动方式，反映在义务教育阶段的数学课程中，主要是研究平面图形的平移和旋转。在小学阶段，初步感知平移和旋转现象，能在方格纸上按照一定要求将一个图形平移和旋转。初中将进一步掌握平面图形平移和旋转运动中的一些基本特性。
“平移”和“旋转”作为两个基础性的数学概念，依照张奠宙教授对概念的划分类型，它们属于“可以严格定义，但是在小学里不宜实行”，“对小学生只能用实际例子做一些描述，以求大体上理解”的概念。事实上，小学数学教材对“平移”和“旋转”的编排也确实没有给出任何定义，都是从现实生活中的平移、旋转实例出发，引出“平移”和“旋转”。教学中，最常见的是老师带领学生通过做手势等来演示“平移”和“旋转”，让学生获得“初步理解”。
然而，我们需要思考的是，对数学概念“不作定义”并非说教学就可以停留在表层，不需要触及概念的本质。那“平移”和“旋转”的本质是什么，或者说数学课程中的“平移”和“旋转”到底要让孩子们学点什么呢？回答这样的问题，我们不妨来看一看它们在初中教材（第三学段）中的编排：
人教版义务教育课程标准实验教科书七年级下册第五章第四节“平移”教材编排如下：观察平移形成的美丽图案，并用一张半透明的纸上画出一排形状和大小相同的雪人。指出：图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。并由此归纳出：1.把一个图形整体沿某一直线方向移动，就得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；2.新图形中的每一点，都是原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等。
人教版义务教育课程标准实验教科书九年级下册第23章“图形的旋转”编排如下：观察钟面上指针的转动、风车风轮叶片的转动。指出：我们可以把指针、叶片等看作平面图形，像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。并由此归纳出：1.对应点到旋转心中的距离相等；2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3.旋转前后的图形全等。
可以看出，上述教材对“平移”和“旋转”所作的定义，依然是结合具体运动事例提出来的，但在文字表述上更加严谨、逻辑、数学化，特别是“旋转”的定义“把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转”，完全属于数学语言表述。不过，在此之外，教材更加突出了“平移”、“旋转”运动过程中的点、线段、角、图形等对应关系及其在运动中的不变性。站在这样的“高点”再回望小学数学教学，在学生初步认识“平移”和“旋转”的过程中，要是能恰到好处地触及到这些“本质要素”，我们就说这样的教学是指向概念本质的教学，是具有贯通性和穿透力的教学。稍作对比可以看出，杨老师两次执教《平移和旋转》，都非常突出了平移中的“对应点”（如2003年中的“小鸟”位置变化，2012年中的“房顶上的点”），但相对而言，2012年的教学在提取“方向”和“距离”两个核心要素的基础上（即“沿着某个方向移动一定的距离”），“对应线段”的教学体现得更加充分，“对应点”的教学也实现了从观察“两点”到探究“多点”的飞跃。同时，从教学录像可以看到，在学生列举自己熟悉的各种“旋转”运动时，课件里相应的图片上均用红色标记显示出了“旋转中心”，以突出“绕某一点转动”的特征。这些，都体现了教者对教学内容的理解触及到了概念的本质，实现着小学和初中数学课程体系的融合，而这也正体现了《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调数学教学要更加突出向数学学科本身回归的要求。
二、儿童把握，更加关注学习现实
钟启泉教授在回顾十年课改时说：“促进儿童的发展是现代教育核心价值的定位，儿童立场应该是现代教育的根本立场。好的教育一定是符合儿童身心发展规律的。无论何种教育，归根结底只有通过儿童自身的选择与建构，才有可能真正形成儿童发展的现实。”教学活动不能是教师的一厢情愿，恰恰相反，只有真正从儿童的学习现实出发，充分考虑到学生的喜好是什么，学生的需求是什么，学生真实的状态是什么，学习的难点是什么等等，教学才是贴切的，有意义的。
应该说，杨惠娟老师两次执教《平移和旋转》时都对学生做了充分的研究。一是在学习素材选择上都尽可能生动、形象，贴近生活实际，能唤起学生的先前经验。二是在学习方式上，力求自主、合作、探究。三是清楚地认识到三年级孩子因为初入中年级，思维水平正处在形象思维向逻辑思维、一步思维向两步思维过渡的阶段，他们在解决实际问题时通常要经过“先……再……”的思考过程（表现在“图形的平移”上，就是“先进行对应点的移动，再确定图形的移动”）。但相比而言，2003年的教学对学生的定位高，要求高，步子迈得快，学习难度大；2012年的教学采用了“小步快走”、“导、学联动”的方式，比较贴近三年级学生的学习现实，突出了学习过程的动态呈现，也体现了“苏派”小学数学教学的特色。 十分难得的是，在秉持儿童立场的基础上，杨惠娟老师2012年《平移和旋转》一课的教学视角较大幅度地从群体儿童转向对学习个体的关注，并在此基础上一定程度实现了学生间的互学、助学、共学。毋庸置疑，现今的教师在组织教学时大多都会将学生放在首位，且充分考虑学生的认知基础和生活经验。但坦率地讲，在很多情况下，我们考虑的其实只是“泛儿童”，即三年级的儿童、四年级的儿童或8岁的儿童、10岁的儿童等，将这个“群体儿童”所具有的发展水平常态视作教学的基本出发点。这是必须的，但又是不够的。因为教学活动一旦开始，我们就必须去面对课堂中的每一个儿童个体的学习表现：张三、李四、王五、赵六……各具形态，各具个性。只有将特定教学情境中每个学生最真实的状态呈现出来并据此进行教学，每一节课才变得唯一而不可复制，每一个学生的学习才是有意义的自我建构。事实上，只有从当下的、现实的课堂教学情景出发，我们才能感受到一种强烈的“生命在场”，我们就会在课堂上找到“差异”，并能将差异作为资源，让生成缔造精彩。
三、教学实施，更加追求灵动多变
教学作为艺术，恐怕还真的难有一个十分确定的标准。但如果整节课都能抓住学生的心，吸引着学生的眼球，让学生享受到数学学习的趣味，这是一种高境界。要达到这一境界，让课堂充满“动感”和“变化”是非常重要的，至少杨惠娟老师《平移和旋转》的教学给了我这样的启示。
课前的华容道、魔方游戏，虽然只是几分钟的“暖场”，却改变了只让学生用眼欣赏屏幕上的各种运动，而不让学生动手活动的常见做法。“平移”和“旋转”本就属于运动方式，和“动”结缘。尽管学生在日常生活中已经拥有了“平移”和“旋转”的直观感受，但是，真真切切、实实在在的操作活动对聚焦主题、激活经验、增强体验、活跃气氛等具有“视觉”所难以替代的作用。数学学习既是基于学生已有的经验又是对数学活动经验的不断改组与完善。布鲁纳认为：教学过程首先应从直接经验入手（动作表征），然后是经验的映像性表象（表象表征），再过渡到经验的符号性表象（符号表征）。故而，杨老师看似轻松随意的课前游戏活动，变“静”为“动”，立意不凡。
“根据要求正确画出平移后的图形”是本课的教学重点，也是教学的难点。从2003年“船上两只小鸟同向等距运动”到2012年“两枝铅笔反向距离不等运动”的变化，删繁就简，突出主题，简洁、清晰地揭示出“平移”的两个关键要素：方向和距离，为进一步研究图形平移奠定了坚实的基础。而学习“一个图形平移了几格”或“画出平移后的图形”的关键，是理解图形平移过程中“点”、“线”、“面”的同一性，即图形中任意一点或一条线段的移动情况（方向、距离）与整个图形的移动情况是吻合的，反之亦然。在这方面，两节课对“小房图”的处理由原先的“快节奏”变为现今的“慢镜头”，通过独立思考露差异、合作交流求正解、集体深究抓本质、即时练习促内化、学以致用显本领等“组合拳”，让学生自主研究出“数对应点、对应线段的方法”，并发现“图形的位置变了，图形的大小和形状是不变”的“平移”特质。教学需要“慢镜头”，我以为，这种“慢镜头”最要用在概念、方法、原理的最初认识和形成阶段。杨老师在2012年的设计中变“快”为“慢”，可谓是恰到好处，效果不凡。
诚然，无论教学技术、教学流程、教学处理、教学细节上做怎样的改进和优化，数学教学的核心价值在于培养人——学生在学习数学、理解数学、爱上数学的过程中学会思维，学会思考，学会做人。《义务教育数学课程标准（2011年版）》鲜明地提出：数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。以此来观照杨惠娟老师2012年的教学，不难看出最后的闯关游戏在这些方面所隐含的价值——通过生动、丰富、刺激、立体的游戏，寓情于学，寓学于乐，情理交融，彰显优秀的教学品质。这，也是超越原先教学的一大亮点。
涓涓细流，终归大海。无论是备课、上课还是评课，一切教学问题都可以也应该归结到对学科本质的把握、对儿童的全面了解、对教学艺术的精通这三个根本点上。回到原点来思考，将会有更好的出发。
（许卫兵，海安县实验小学，江苏省小学数学特级教师，江苏省人民教育家培养工程培养对象，226600）
作为数学老师，我们教的是数学，面对的是儿童，教学就是在数学和儿童之间搭起一座有意义的学习之桥。因而，评价一节数学课，离不开三个基点：第一，学科理解，即对教学内容及数学学科本质等有深刻的认识。第二，儿童立场，即对学生的知识基础、生活经验、思维水平、兴趣喜好、学习特点等有全面的把握，坚持儿童优先。第三，教学艺术，即用艺术的教学方式引导学生在自主、合作、探究的氛围中完成学习任务，实现育人目标。
从这三个视角来看杨惠娟老师前后两次执教的《平移和旋转》，可以寻找到她在数学课堂上的改革和进步。
一、内容理解，更加突出概念本质
“平移”和“旋转”是常见的两种运动方式，反映在义务教育阶段的数学课程中，主要是研究平面图形的平移和旋转。在小学阶段，初步感知平移和旋转现象，能在方格纸上按照一定要求将一个图形平移和旋转。初中将进一步掌握平面图形平移和旋转运动中的一些基本特性。
“平移”和“旋转”作为两个基础性的数学概念，依照张奠宙教授对概念的划分类型，它们属于“可以严格定义，但是在小学里不宜实行”，“对小学生只能用实际例子做一些描述，以求大体上理解”的概念。事实上，小学数学教材对“平移”和“旋转”的编排也确实没有给出任何定义，都是从现实生活中的平移、旋转实例出发，引出“平移”和“旋转”。教学中，最常见的是老师带领学生通过做手势等来演示“平移”和“旋转”，让学生获得“初步理解”。
然而，我们需要思考的是，对数学概念“不作定义”并非说教学就可以停留在表层，不需要触及概念的本质。那“平移”和“旋转”的本质是什么，或者说数学课程中的“平移”和“旋转”到底要让孩子们学点什么呢？回答这样的问题，我们不妨来看一看它们在初中教材（第三学段）中的编排：
人教版义务教育课程标准实验教科书七年级下册第五章第四节“平移”教材编排如下：观察平移形成的美丽图案，并用一张半透明的纸上画出一排形状和大小相同的雪人。指出：图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。并由此归纳出：1.把一个图形整体沿某一直线方向移动，就得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；2.新图形中的每一点，都是原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等。
人教版义务教育课程标准实验教科书九年级下册第23章“图形的旋转”编排如下：观察钟面上指针的转动、风车风轮叶片的转动。指出：我们可以把指针、叶片等看作平面图形，像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。并由此归纳出：1.对应点到旋转心中的距离相等；2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3.旋转前后的图形全等。
可以看出，上述教材对“平移”和“旋转”所作的定义，依然是结合具体运动事例提出来的，但在文字表述上更加严谨、逻辑、数学化，特别是“旋转”的定义“把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转”，完全属于数学语言表述。不过，在此之外，教材更加突出了“平移”、“旋转”运动过程中的点、线段、角、图形等对应关系及其在运动中的不变性。站在这样的“高点”再回望小学数学教学，在学生初步认识“平移”和“旋转”的过程中，要是能恰到好处地触及到这些“本质要素”，我们就说这样的教学是指向概念本质的教学，是具有贯通性和穿透力的教学。稍作对比可以看出，杨老师两次执教《平移和旋转》，都非常突出了平移中的“对应点”（如2003年中的“小鸟”位置变化，2012年中的“房顶上的点”），但相对而言，2012年的教学在提取“方向”和“距离”两个核心要素的基础上（即“沿着某个方向移动一定的距离”），“对应线段”的教学体现得更加充分，“对应点”的教学也实现了从观察“两点”到探究“多点”的飞跃。同时，从教学录像可以看到，在学生列举自己熟悉的各种“旋转”运动时，课件里相应的图片上均用红色标记显示出了“旋转中心”，以突出“绕某一点转动”的特征。这些，都体现了教者对教学内容的理解触及到了概念的本质，实现着小学和初中数学课程体系的融合，而这也正体现了《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调数学教学要更加突出向数学学科本身回归的要求。
二、儿童把握，更加关注学习现实
钟启泉教授在回顾十年课改时说：“促进儿童的发展是现代教育核心价值的定位，儿童立场应该是现代教育的根本立场。好的教育一定是符合儿童身心发展规律的。无论何种教育，归根结底只有通过儿童自身的选择与建构，才有可能真正形成儿童发展的现实。”教学活动不能是教师的一厢情愿，恰恰相反，只有真正从儿童的学习现实出发，充分考虑到学生的喜好是什么，学生的需求是什么，学生真实的状态是什么，学习的难点是什么等等，教学才是贴切的，有意义的。
应该说，杨惠娟老师两次执教《平移和旋转》时都对学生做了充分的研究。一是在学习素材选择上都尽可能生动、形象，贴近生活实际，能唤起学生的先前经验。二是在学习方式上，力求自主、合作、探究。三是清楚地认识到三年级孩子因为初入中年级，思维水平正处在形象思维向逻辑思维、一步思维向两步思维过渡的阶段，他们在解决实际问题时通常要经过“先……再……”的思考过程（表现在“图形的平移”上，就是“先进行对应点的移动，再确定图形的移动”）。但相比而言，2003年的教学对学生的定位高，要求高，步子迈得快，学习难度大；2012年的教学采用了“小步快走”、“导、学联动”的方式，比较贴近三年级学生的学习现实，突出了学习过程的动态呈现，也体现了“苏派”小学数学教学的特色。 十分难得的是，在秉持儿童立场的基础上，杨惠娟老师2012年《平移和旋转》一课的教学视角较大幅度地从群体儿童转向对学习个体的关注，并在此基础上一定程度实现了学生间的互学、助学、共学。毋庸置疑，现今的教师在组织教学时大多都会将学生放在首位，且充分考虑学生的认知基础和生活经验。但坦率地讲，在很多情况下，我们考虑的其实只是“泛儿童”，即三年级的儿童、四年级的儿童或8岁的儿童、10岁的儿童等，将这个“群体儿童”所具有的发展水平常态视作教学的基本出发点。这是必须的，但又是不够的。因为教学活动一旦开始，我们就必须去面对课堂中的每一个儿童个体的学习表现：张三、李四、王五、赵六……各具形态，各具个性。只有将特定教学情境中每个学生最真实的状态呈现出来并据此进行教学，每一节课才变得唯一而不可复制，每一个学生的学习才是有意义的自我建构。事实上，只有从当下的、现实的课堂教学情景出发，我们才能感受到一种强烈的“生命在场”，我们就会在课堂上找到“差异”，并能将差异作为资源，让生成缔造精彩。
三、教学实施，更加追求灵动多变
教学作为艺术，恐怕还真的难有一个十分确定的标准。但如果整节课都能抓住学生的心，吸引着学生的眼球，让学生享受到数学学习的趣味，这是一种高境界。要达到这一境界，让课堂充满“动感”和“变化”是非常重要的，至少杨惠娟老师《平移和旋转》的教学给了我这样的启示。
课前的华容道、魔方游戏，虽然只是几分钟的“暖场”，却改变了只让学生用眼欣赏屏幕上的各种运动，而不让学生动手活动的常见做法。“平移”和“旋转”本就属于运动方式，和“动”结缘。尽管学生在日常生活中已经拥有了“平移”和“旋转”的直观感受，但是，真真切切、实实在在的操作活动对聚焦主题、激活经验、增强体验、活跃气氛等具有“视觉”所难以替代的作用。数学学习既是基于学生已有的经验又是对数学活动经验的不断改组与完善。布鲁纳认为：教学过程首先应从直接经验入手（动作表征），然后是经验的映像性表象（表象表征），再过渡到经验的符号性表象（符号表征）。故而，杨老师看似轻松随意的课前游戏活动，变“静”为“动”，立意不凡。
“根据要求正确画出平移后的图形”是本课的教学重点，也是教学的难点。从2003年“船上两只小鸟同向等距运动”到2012年“两枝铅笔反向距离不等运动”的变化，删繁就简，突出主题，简洁、清晰地揭示出“平移”的两个关键要素：方向和距离，为进一步研究图形平移奠定了坚实的基础。而学习“一个图形平移了几格”或“画出平移后的图形”的关键，是理解图形平移过程中“点”、“线”、“面”的同一性，即图形中任意一点或一条线段的移动情况（方向、距离）与整个图形的移动情况是吻合的，反之亦然。在这方面，两节课对“小房图”的处理由原先的“快节奏”变为现今的“慢镜头”，通过独立思考露差异、合作交流求正解、集体深究抓本质、即时练习促内化、学以致用显本领等“组合拳”，让学生自主研究出“数对应点、对应线段的方法”，并发现“图形的位置变了，图形的大小和形状是不变”的“平移”特质。教学需要“慢镜头”，我以为，这种“慢镜头”最要用在概念、方法、原理的最初认识和形成阶段。杨老师在2012年的设计中变“快”为“慢”，可谓是恰到好处，效果不凡。
诚然，无论教学技术、教学流程、教学处理、教学细节上做怎样的改进和优化，数学教学的核心价值在于培养人——学生在学习数学、理解数学、爱上数学的过程中学会思维，学会思考，学会做人。《义务教育数学课程标准（2011年版）》鲜明地提出：数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。以此来观照杨惠娟老师2012年的教学，不难看出最后的闯关游戏在这些方面所隐含的价值——通过生动、丰富、刺激、立体的游戏，寓情于学，寓学于乐，情理交融，彰显优秀的教学品质。这，也是超越原先教学的一大亮点。
涓涓细流，终归大海。无论是备课、上课还是评课，一切教学问题都可以也应该归结到对学科本质的把握、对儿童的全面了解、对教学艺术的精通这三个根本点上。回到原点来思考，将会有更好的出发。
（许卫兵，海安县实验小学，江苏省小学数学特级教师，江苏省人民教育家培养工程培养对象，226600）