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题目 在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆x29+y25的左、右顶点为A,B，设过点T（t,m）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中m>0,y1＞0，y2＜0,
当t=9时,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）
[TPS28.TIF;X*2,BP]
本题是2010年江苏省数学高考试题第18题（以下简称原题），主要研究直线与椭圆的位置关系，原题的求解如下：
证明：由题设知：kAT=m12，kBT=m6，记k=m12＞0，则直线AT的方程为y=k(x+3)，直线BT的方程为y=2k(x-3).
由y=k(x+3)5x2+9y2=45得：x1=15-27k25+9k2，y1=30k5+9k2.
同理，由y=2k(x-3)5x2+9y2=45得：x2=108k2-155+36k2，y2=-60k5+36k2.
若x1=x2，由15-27k25+9k2=108k2-155+36k2，解得k2=518，因此m=210，此时直线MN的方程为x=1，过点D(1,0).
若x1≠x2，则m≠210，直线MD的斜率kMD=30k5+9k215-27k25+9k2-1=30k10-36k2=15k5-18k2，
[JP3]直线ND的斜率kND=
-60k5+36k2
108k2-155+36k2-1=
-60k72k2-20=15k5-18k2
，得kMD=kND,所以直线过点D.
因此，直线MN必过x轴上的点（1,0）.
问题：本题中求得的定点的坐标究竟与什么有关呢？
猜测：与点T的横坐标及椭圆的长轴长有关，而与椭圆的短轴长无关.
探究1：在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆x29+y2b2=1(0＜b＜3)的左、右顶点为A,B，设过点T（t,m）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中m>0,y1＞0，y2＜0,
当t=9时,求证：直线MN必过x轴上的一定点（1,0）.
[TPS29.TIF;X*2,BP]
证明：由题设知：kAT=m12，kBT=m6，记k=m12＞0，则直线AT的方程为y=k(x+3)，直线BT的方程为y=2k(x-3).
由y=k(x+3)b2x2+9y2=9b2得：x1=3b2-27k2b2+9k2，y1=6b2kb2+9k2.
同理，由y=2k(x-3)b2x2+9y2=9b2得：x2=108k2-3b2b2+36k2，y2=-12b2kb2+36k2.
若x1=x2，由3b2-27k2b2+9k2=108k2-3b2b2+36k2，解得k2=b218，因此m=22b，此时直线MN的方程为x=1，过点D(1,0).
若x1≠x2，则m≠22b，直线MD的斜率kMD=6b2kb2+9k2
3b2-27k2b2+9k2-1=
6b2k2b2-36k2=3b2kb2-18k2，
[JP3]直线ND的斜率kND=
-12b2kb2+36k2
108k2-3b2b2+36k2-1=
-12b2k72k2-4b2=
3b2kb2-18k2，得kMD=kND，直线过点D.
因此，直线MN必过x轴上的点（1,0）.
我们知道圆可以看作是长、短轴相等的椭圆，既然定点坐标与短轴长无关，那么当椭圆退化为圆时，应该有同样的结论.
探究2：在平面直角坐标系xoy中，已知圆O:x2+y2=r2（r＞0,r为常数），圆O与x轴交于A,B两点，定直线l：x=t(|t|＞r)，点T为直线l上的一个动点(不在x轴上)，直线TA、TB与圆交于点M、N，求证：直线MN必过x轴上一个定点.
证明：设点T(t,m)(m≠0),由题设知：kAT=mt+r，kBT=mt-r，
则直线AT的方程为y=mt+r(x+r)，
直线BT的方程为y=mt-r(x-r).
由y=mt+r(x+r)x2+y2=r2得：x1=r[(t+r)2-m2](t+r)2+m2，y1=2mr(t+r)(t+r)2+m2.
[JP3]同理，可得：x2=-r[(t-r)2-m2](t-r)2+m2，y2=-2mr(t-r)(t-r)2+m2.
若x1=x2，解得m2=t2-r2，此时直线MN的方程为x=r2t，过点D(r2t,0).
若x1≠x2，则m≠t2-r2，直线MD的斜率kMD=[JP3]2mt2-r2-m2，直线ND的斜率kND=2mt2-r2-m2，得kMD=kND,所以直线过点D.
因此，直线MN必过x轴上的定点（r2t,0）.
同样我们也可以得出原题的一般结论：
[TPS30.TIF;X*2,BP]
一般地：在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右顶点为A,B，定直线l：x=t(|t|＞a)，点T为直线l上的一个动点(不在x轴上)，直线TA、TB与椭圆交于点M、N，那么直线MN必过x轴上一个定点D（a2t,0）.
[TPS31.TIF;X*2,BP]
从这两个一般性的结论中我们还可以发现：假设直线l与x轴交于点C，则BDDA=BCCA.
探究3：如图：已知AB是圆O的直径，定直线l垂直AB于点C（异于点A、B），点T为直线l上异于点C的一个动点，直线TA、TB与圆交于点M、N，直线MN交AB于点D.
[TPS32.TIF;X*2,BP]
求证：BDDA=BCCA.
证明：∵∠TBC=∠ABN,∠TCB=∠ANB=90°，
∴Rt△TCN∽Rt△ANB，∴BCBN=TBAB.
∵∠TAC=∠BAM,∠TCA=∠AMB=90°，
[JP3]∴Rt△TCA∽Rt△BMA，∴MACA=ABTA，∴BCCA=TBTA•BNMA.
在△ABT中，由M、D、N三点共线，运用梅涅劳斯定理有：AMMT•TNNB•BDDA=1，
∴BDDA=NBTN•MTAM=NBAM•MTTN.
∵A、N、B、M四点共圆，∴TM•TA=TB•TN，即TBTA=TMTN.
∴BDDA=BCCA.
本题中由于点A、B、C均为定点，所以点D也是定点.前面的探究2同样可以利用这种方法来加以证明.反之，当点A、B、D为定点时，点C也是定点,因此动点T在一条定直线上.
探究4：已知AB是圆O的直径，D为线段AB上的一个定点（异于点A、B）,过点D的直线与圆O交于M、N两点，直线AM与直线BN交于点T,求证：点T在定直线上.
证明：如图，以AB所在直线为x轴，圆心O为原点建立直角坐标系，
设圆方程为x2+y2=r2（r＞0,r为常数），点D（t,0）(t为常数，且|t|＜r)M(x1,y1)，N(x2,y2)，则直线AT的方程为y=y1x1+r(x+r)，
直线BT的方程为y=y2x2-r(x-r).
由y=y1x1+r(x+r)y=y2x2-r(x-r)得x-rx+r=y1y2•x2-rx1+r.
∵M、D、N三点共线，
∴当x1=x2=t时，y1=-y2，∴x-rx+r=r-tr+t，∴x=r2t.
当x1≠x2时，设MN的方程为y=k(x-t)，
由y=k(x-t)x2+y2=r2得：(1+k2)x2-2tk2x+k2t2-r2=0，∴x1+x2=
2tk21+k2,x1•x2=k2t2-r21+k2.
∵点M、N都在圆上，∴(x-rx+r)2=y21y22•(x2-rx1+r)2=
r2-x21r2-x22•
(x2-rx1+r)2=r-x1r+x2•r-x2r+x1.
又∵r2-r(x1+x2)+x1•x2=k2•(r-t)21+k2，r2+r(x1+x2)+x1•x2=k2•(r+t)21+k2.
∴(x-rx+r)2=r-x1r+x2•r-x2r+x1=(t-rt+r)2，∴x=r2t或x=t（舍去）.
∴点T在定直线上x=r2t上.
类似地在椭圆中，可以得出相同的结论：
[JP3]在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右顶点为A,B，D为长轴AB上的一个定点（异于点A、B），过点D的直线与椭圆交于M、N两点，直线AM与直线BN交于点T,那么点T在定直线上.（这也可以看作是原题的逆命题）
（作者：王岳,江苏省苏州第十中学）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
当t=9时,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）
[TPS28.TIF;X*2,BP]
本题是2010年江苏省数学高考试题第18题（以下简称原题），主要研究直线与椭圆的位置关系，原题的求解如下：
证明：由题设知：kAT=m12，kBT=m6，记k=m12＞0，则直线AT的方程为y=k(x+3)，直线BT的方程为y=2k(x-3).
由y=k(x+3)5x2+9y2=45得：x1=15-27k25+9k2，y1=30k5+9k2.
同理，由y=2k(x-3)5x2+9y2=45得：x2=108k2-155+36k2，y2=-60k5+36k2.
若x1=x2，由15-27k25+9k2=108k2-155+36k2，解得k2=518，因此m=210，此时直线MN的方程为x=1，过点D(1,0).
若x1≠x2，则m≠210，直线MD的斜率kMD=30k5+9k215-27k25+9k2-1=30k10-36k2=15k5-18k2，
[JP3]直线ND的斜率kND=
-60k5+36k2
108k2-155+36k2-1=
-60k72k2-20=15k5-18k2
，得kMD=kND,所以直线过点D.
因此，直线MN必过x轴上的点（1,0）.
问题：本题中求得的定点的坐标究竟与什么有关呢？
猜测：与点T的横坐标及椭圆的长轴长有关，而与椭圆的短轴长无关.
探究1：在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆x29+y2b2=1(0＜b＜3)的左、右顶点为A,B，设过点T（t,m）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中m>0,y1＞0，y2＜0,
当t=9时,求证：直线MN必过x轴上的一定点（1,0）.
[TPS29.TIF;X*2,BP]
证明：由题设知：kAT=m12，kBT=m6，记k=m12＞0，则直线AT的方程为y=k(x+3)，直线BT的方程为y=2k(x-3).
由y=k(x+3)b2x2+9y2=9b2得：x1=3b2-27k2b2+9k2，y1=6b2kb2+9k2.
同理，由y=2k(x-3)b2x2+9y2=9b2得：x2=108k2-3b2b2+36k2，y2=-12b2kb2+36k2.
若x1=x2，由3b2-27k2b2+9k2=108k2-3b2b2+36k2，解得k2=b218，因此m=22b，此时直线MN的方程为x=1，过点D(1,0).
若x1≠x2，则m≠22b，直线MD的斜率kMD=6b2kb2+9k2
3b2-27k2b2+9k2-1=
6b2k2b2-36k2=3b2kb2-18k2，
[JP3]直线ND的斜率kND=
-12b2kb2+36k2
108k2-3b2b2+36k2-1=
-12b2k72k2-4b2=
3b2kb2-18k2，得kMD=kND，直线过点D.
因此，直线MN必过x轴上的点（1,0）.
我们知道圆可以看作是长、短轴相等的椭圆，既然定点坐标与短轴长无关，那么当椭圆退化为圆时，应该有同样的结论.
探究2：在平面直角坐标系xoy中，已知圆O:x2+y2=r2（r＞0,r为常数），圆O与x轴交于A,B两点，定直线l：x=t(|t|＞r)，点T为直线l上的一个动点(不在x轴上)，直线TA、TB与圆交于点M、N，求证：直线MN必过x轴上一个定点.
证明：设点T(t,m)(m≠0),由题设知：kAT=mt+r，kBT=mt-r，
则直线AT的方程为y=mt+r(x+r)，
直线BT的方程为y=mt-r(x-r).
由y=mt+r(x+r)x2+y2=r2得：x1=r[(t+r)2-m2](t+r)2+m2，y1=2mr(t+r)(t+r)2+m2.
[JP3]同理，可得：x2=-r[(t-r)2-m2](t-r)2+m2，y2=-2mr(t-r)(t-r)2+m2.
若x1=x2，解得m2=t2-r2，此时直线MN的方程为x=r2t，过点D(r2t,0).
若x1≠x2，则m≠t2-r2，直线MD的斜率kMD=[JP3]2mt2-r2-m2，直线ND的斜率kND=2mt2-r2-m2，得kMD=kND,所以直线过点D.
因此，直线MN必过x轴上的定点（r2t,0）.
同样我们也可以得出原题的一般结论：
[TPS30.TIF;X*2,BP]
一般地：在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右顶点为A,B，定直线l：x=t(|t|＞a)，点T为直线l上的一个动点(不在x轴上)，直线TA、TB与椭圆交于点M、N，那么直线MN必过x轴上一个定点D（a2t,0）.
[TPS31.TIF;X*2,BP]
从这两个一般性的结论中我们还可以发现：假设直线l与x轴交于点C，则BDDA=BCCA.
探究3：如图：已知AB是圆O的直径，定直线l垂直AB于点C（异于点A、B），点T为直线l上异于点C的一个动点，直线TA、TB与圆交于点M、N，直线MN交AB于点D.
[TPS32.TIF;X*2,BP]
求证：BDDA=BCCA.
证明：∵∠TBC=∠ABN,∠TCB=∠ANB=90°，
∴Rt△TCN∽Rt△ANB，∴BCBN=TBAB.
∵∠TAC=∠BAM,∠TCA=∠AMB=90°，
[JP3]∴Rt△TCA∽Rt△BMA，∴MACA=ABTA，∴BCCA=TBTA•BNMA.
在△ABT中，由M、D、N三点共线，运用梅涅劳斯定理有：AMMT•TNNB•BDDA=1，
∴BDDA=NBTN•MTAM=NBAM•MTTN.
∵A、N、B、M四点共圆，∴TM•TA=TB•TN，即TBTA=TMTN.
∴BDDA=BCCA.
本题中由于点A、B、C均为定点，所以点D也是定点.前面的探究2同样可以利用这种方法来加以证明.反之，当点A、B、D为定点时，点C也是定点,因此动点T在一条定直线上.
探究4：已知AB是圆O的直径，D为线段AB上的一个定点（异于点A、B）,过点D的直线与圆O交于M、N两点，直线AM与直线BN交于点T,求证：点T在定直线上.
证明：如图，以AB所在直线为x轴，圆心O为原点建立直角坐标系，
设圆方程为x2+y2=r2（r＞0,r为常数），点D（t,0）(t为常数，且|t|＜r)M(x1,y1)，N(x2,y2)，则直线AT的方程为y=y1x1+r(x+r)，
直线BT的方程为y=y2x2-r(x-r).
由y=y1x1+r(x+r)y=y2x2-r(x-r)得x-rx+r=y1y2•x2-rx1+r.
∵M、D、N三点共线，
∴当x1=x2=t时，y1=-y2，∴x-rx+r=r-tr+t，∴x=r2t.
当x1≠x2时，设MN的方程为y=k(x-t)，
由y=k(x-t)x2+y2=r2得：(1+k2)x2-2tk2x+k2t2-r2=0，∴x1+x2=
2tk21+k2,x1•x2=k2t2-r21+k2.
∵点M、N都在圆上，∴(x-rx+r)2=y21y22•(x2-rx1+r)2=
r2-x21r2-x22•
(x2-rx1+r)2=r-x1r+x2•r-x2r+x1.
又∵r2-r(x1+x2)+x1•x2=k2•(r-t)21+k2，r2+r(x1+x2)+x1•x2=k2•(r+t)21+k2.
∴(x-rx+r)2=r-x1r+x2•r-x2r+x1=(t-rt+r)2，∴x=r2t或x=t（舍去）.
∴点T在定直线上x=r2t上.
类似地在椭圆中，可以得出相同的结论：
[JP3]在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右顶点为A,B，D为长轴AB上的一个定点（异于点A、B），过点D的直线与椭圆交于M、N两点，直线AM与直线BN交于点T,那么点T在定直线上.（这也可以看作是原题的逆命题）
（作者：王岳,江苏省苏州第十中学）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文