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考纲对概率部分的要求：了解随机事件、几何概型、互斥事件及其发生的概率；理解古典概型，重点是对两个概率类型的求解：古典概型--其特征是试验结果的有限性、等可能性；几何概型--其特征是试验结果的无限性、等可能性；区分他们的关键是判断基本事件是有限还是无限.
在解这类问题时，普遍存在“会而不对”的现象，常常出错.要正确，首先必须概念清晰，在此基础上，认真审清题意，本文列举几组易混概念进行对比，以提高概率解题中的辨析能力.
（一）等可能事件概念不清造成的错误
例1 某中学高一年级有12个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动，由于某些原因，一班必须参加，另外再从二到十二班中选一个班.有人提议用如下方法：掷两个骰子得到的点数的和是几点就选几班，你认为这样做公平吗？为什么？
解：显然不公平，因为不是等可能的--比如由于每次抛掷的等可能导致出现12的可能（6,6）比出现10的可能（4,6）（5,5）（6，4）要小.
例2 先后抛掷三枚均匀的硬币，求出现“两个正面、一个反面”的概率？
错解：抛掷三枚硬币只出现“三个正面”、“三个反面”、“两个正面一个反面”、“一个正面两个反面”共四种情况.记事件A=“两个正面、一个反面”P(A)=14.
分析:错误的原因在于没有正确理解等可能事件的概念，如其中的“两个正面一个反面”包括（正、正、反）（正、反、正）（反、正、正）三个事件等可能，所以一般来讲处理时编号列举（或用树形图解决）.
正解：把硬币编号后逐一列出基本事件“三个正面”1种、“三个反面”1种、“两个正面一个反面”3种、“一个正面两个反面”3种，合计共有8个基本事件，而事件A包括三个结果P(A)=38.
（二）没有区分好古典概型中的有序与无序造成的错误
有序与无序问题是概率考查的难点、重点，可以通过几种常见的类型--如逐一抽取与一次性抽取等来进行比较，同时要能结合树形图处理数据关系.
例3 将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为？
错解:设事件“A=向上的点数依次成等差数列”，所有的总数n=63.
事件A分成：公差为零有6种；公差为1有4种；公差为2有2种
P(A)=1263=118
分析：考虑公差时要注意的是公差可以是-1，或者-2，从而导致事件A的可能有18种.
正解:事件A的可能有18，P(A)=1863=112.
例4 [JP3]甲乙两人参加知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲乙两人各抽一题.
（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率？
（2）甲乙两人中至少有一人抽到选择题的概率？
错解：（1）设甲抽到选择题，乙抽到判断题为事件A，因为甲抽到选择题，乙抽到判断题有6×4=24种可能，又甲、乙二人依次各抽一题有种45可能，
所以P(A)=2445=815.
（2）设甲、乙二人中至少有一人抽到选择题为事件B，则甲、乙二人都未抽到选择题为事件B[TX--*4]，由对立事件概率计算公式，可得：
P（B）＝1－P（B[TX--*4]）＝1－1245=1-415=1115.
分析：错解是错将甲、乙二人依次各抽一题理解为甲、乙二人同时抽一题，前者与顺序有关，后者与顺序无关，两者是完全不同的.
正解：（1）甲、乙二人依次各抽一题有10×9=90种可能，甲抽到选择题，乙抽到判断题有24种可能，所以甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率为P(A)=415.
（2）（建立对立模型）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为P(B[TX--*4])=1290=215.
故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为P（B）＝1-215=1315.
要注意几种常见的有序问题，如队列、组数以及一次抽题等问题中的有序特点，不要审题不清，导致错误.
（三）互斥事件与对立事件混淆造成的错误
互斥事件与对立事件的关系：互斥是对立的前提.两个事件A、B互斥包括：A、B都未发生；A、B恰有一个发生，而A、B对立却必有一个发生，且概率和为1.
例5 抛掷一颗骰子，事件A=“朝上一面的数字是奇数”，事件B=“朝上一面的数不超过3”，求事件C=“朝上一面的数字是奇数或朝上一面的数字不超过3”发生的概率？
错解：P(A)=36=12,P(B)=36=12,P(C)=P(A+B)=1.
分析：出现错误的原因在于事件和概率计算的公式的前提是两个事件必须互斥，而本题的两个事件并不互斥，两个事件同时出现1或3.
正解:将事件C分成出现1、2、3、与出现5这两个事件，从而P(C)=36+16=23.
在计算古典概率时要善于把较复杂的问题分解为若干个互斥的几个事件的和或者通过对立事件进行转化--要能应用分类讨论的思想化复杂为简单.
（四）几何概型中的几个常见的测度互相混淆造成的错误
要了解区域测度的简单含义——线段的测度是其长度，平面图形的测度是其面积，立体图形的测度是其体积.从而使得我们在处理几何概型时要能够把具体的问题转化为相应的几何概型.
例6 在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB相交于点M，求AM＜AC的概率.
错解:常会把这题误认为课本102：例3：在等腰ABC中，在斜边AB上取点M，求AM＜AC的概率.
从而这样解：在线段AB上截取AC′=AC，于是
P(AM＜AC)=P(AM＜AC′)=AMAC′=22
.
[TPS10.TIF;X*2,BP]
正解：本题应该理解成射线CM在∠ACC′内是等可能分布的，在AB上取AC′=AC,则∠ACC′=67.5°
P(AM＜AC)=P(AM＜AC′)=67.5°90°=34.
要注意在相同的背景下，当等可能的角度不同时其概率可能不一样，应此审题一定要清楚，不能概念不清，同时在有些综合题中.
例7 在半径为1的圆周上随机取三点A、B、C，求三角形ABC是锐角三角形的概率？
正解：
[TPS11.TIF;%90%90;X*2,BP]
如图设图中两段弧长AmB=x;AnC=y，
则区域D0＜x＜2π
0＜y＜2π
0＜x+y＜2π（图中△OEF），而区域d0＜x＜π
0＜y＜π
π＜x+y＜2π（图中阴影部分）
则求得概率为P=14.
例8 设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.
（1）若a是从0、1、2、3四个数中任取一个，b是从0、1、2三个数中任取一个，求上述方程有实根的概率？
（2）若a是从[0，3]中任取一个，b是从[0，2]三个数中任取一个，求上述方程有实根的概率？
正解：事件A=“方程x2+2ax+b2=0有实根”，从代数意义上讲方程有实根的充要条件是a2≥b2.
（1）基本事件有12个，逐一列举有（0,0）（0,1）（0,2）（1,0）（1,1）（1,2）（2,0）（2,1）（2,2）（3,0）（3,1）（3,2）其中第一个数表示a，第二个数表示b.判断事件A包括9个基本事件，所以P(A)=912=34.
（2）实验的全部结果构成区域D{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，事件A构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}，
所求概率为P(A)=2×3-12×222×3=23.
分析：上述两题的关键是要能从实际问题中抽象出概率模型，例7由于引入两个变量从而构造了两维背景，导致出现面积为测度的模型，而例8要求在概率求解中注意区分好古典概型与几何概型--应该讲并不困难，有限与无限的区别还是比较明显.
从高考要求上讲，概率问题不是很难，近几年大题基本不出.所以解答的关键是概念要清晰，同时在分析时要注意应用分类讨论的思想化繁为简.若有大题出现一定要注意解题的格式，以保证能够分部得分.
（作者:曹钢、戴栋焱,江苏省宜兴市和桥高级中学）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
在解这类问题时，普遍存在“会而不对”的现象，常常出错.要正确，首先必须概念清晰，在此基础上，认真审清题意，本文列举几组易混概念进行对比，以提高概率解题中的辨析能力.
（一）等可能事件概念不清造成的错误
例1 某中学高一年级有12个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动，由于某些原因，一班必须参加，另外再从二到十二班中选一个班.有人提议用如下方法：掷两个骰子得到的点数的和是几点就选几班，你认为这样做公平吗？为什么？
解：显然不公平，因为不是等可能的--比如由于每次抛掷的等可能导致出现12的可能（6,6）比出现10的可能（4,6）（5,5）（6，4）要小.
例2 先后抛掷三枚均匀的硬币，求出现“两个正面、一个反面”的概率？
错解：抛掷三枚硬币只出现“三个正面”、“三个反面”、“两个正面一个反面”、“一个正面两个反面”共四种情况.记事件A=“两个正面、一个反面”P(A)=14.
分析:错误的原因在于没有正确理解等可能事件的概念，如其中的“两个正面一个反面”包括（正、正、反）（正、反、正）（反、正、正）三个事件等可能，所以一般来讲处理时编号列举（或用树形图解决）.
正解：把硬币编号后逐一列出基本事件“三个正面”1种、“三个反面”1种、“两个正面一个反面”3种、“一个正面两个反面”3种，合计共有8个基本事件，而事件A包括三个结果P(A)=38.
（二）没有区分好古典概型中的有序与无序造成的错误
有序与无序问题是概率考查的难点、重点，可以通过几种常见的类型--如逐一抽取与一次性抽取等来进行比较，同时要能结合树形图处理数据关系.
例3 将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为？
错解:设事件“A=向上的点数依次成等差数列”，所有的总数n=63.
事件A分成：公差为零有6种；公差为1有4种；公差为2有2种
P(A)=1263=118
分析：考虑公差时要注意的是公差可以是-1，或者-2，从而导致事件A的可能有18种.
正解:事件A的可能有18，P(A)=1863=112.
例4 [JP3]甲乙两人参加知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲乙两人各抽一题.
（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率？
（2）甲乙两人中至少有一人抽到选择题的概率？
错解：（1）设甲抽到选择题，乙抽到判断题为事件A，因为甲抽到选择题，乙抽到判断题有6×4=24种可能，又甲、乙二人依次各抽一题有种45可能，
所以P(A)=2445=815.
（2）设甲、乙二人中至少有一人抽到选择题为事件B，则甲、乙二人都未抽到选择题为事件B[TX--*4]，由对立事件概率计算公式，可得：
P（B）＝1－P（B[TX--*4]）＝1－1245=1-415=1115.
分析：错解是错将甲、乙二人依次各抽一题理解为甲、乙二人同时抽一题，前者与顺序有关，后者与顺序无关，两者是完全不同的.
正解：（1）甲、乙二人依次各抽一题有10×9=90种可能，甲抽到选择题，乙抽到判断题有24种可能，所以甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率为P(A)=415.
（2）（建立对立模型）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为P(B[TX--*4])=1290=215.
故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为P（B）＝1-215=1315.
要注意几种常见的有序问题，如队列、组数以及一次抽题等问题中的有序特点，不要审题不清，导致错误.
（三）互斥事件与对立事件混淆造成的错误
互斥事件与对立事件的关系：互斥是对立的前提.两个事件A、B互斥包括：A、B都未发生；A、B恰有一个发生，而A、B对立却必有一个发生，且概率和为1.
例5 抛掷一颗骰子，事件A=“朝上一面的数字是奇数”，事件B=“朝上一面的数不超过3”，求事件C=“朝上一面的数字是奇数或朝上一面的数字不超过3”发生的概率？
错解：P(A)=36=12,P(B)=36=12,P(C)=P(A+B)=1.
分析：出现错误的原因在于事件和概率计算的公式的前提是两个事件必须互斥，而本题的两个事件并不互斥，两个事件同时出现1或3.
正解:将事件C分成出现1、2、3、与出现5这两个事件，从而P(C)=36+16=23.
在计算古典概率时要善于把较复杂的问题分解为若干个互斥的几个事件的和或者通过对立事件进行转化--要能应用分类讨论的思想化复杂为简单.
（四）几何概型中的几个常见的测度互相混淆造成的错误
要了解区域测度的简单含义——线段的测度是其长度，平面图形的测度是其面积，立体图形的测度是其体积.从而使得我们在处理几何概型时要能够把具体的问题转化为相应的几何概型.
例6 在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB相交于点M，求AM＜AC的概率.
错解:常会把这题误认为课本102：例3：在等腰ABC中，在斜边AB上取点M，求AM＜AC的概率.
从而这样解：在线段AB上截取AC′=AC，于是
P(AM＜AC)=P(AM＜AC′)=AMAC′=22
.
[TPS10.TIF;X*2,BP]
正解：本题应该理解成射线CM在∠ACC′内是等可能分布的，在AB上取AC′=AC,则∠ACC′=67.5°
P(AM＜AC)=P(AM＜AC′)=67.5°90°=34.
要注意在相同的背景下，当等可能的角度不同时其概率可能不一样，应此审题一定要清楚，不能概念不清，同时在有些综合题中.
例7 在半径为1的圆周上随机取三点A、B、C，求三角形ABC是锐角三角形的概率？
正解：
[TPS11.TIF;%90%90;X*2,BP]
如图设图中两段弧长AmB=x;AnC=y，
则区域D0＜x＜2π
0＜y＜2π
0＜x+y＜2π（图中△OEF），而区域d0＜x＜π
0＜y＜π
π＜x+y＜2π（图中阴影部分）
则求得概率为P=14.
例8 设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.
（1）若a是从0、1、2、3四个数中任取一个，b是从0、1、2三个数中任取一个，求上述方程有实根的概率？
（2）若a是从[0，3]中任取一个，b是从[0，2]三个数中任取一个，求上述方程有实根的概率？
正解：事件A=“方程x2+2ax+b2=0有实根”，从代数意义上讲方程有实根的充要条件是a2≥b2.
（1）基本事件有12个，逐一列举有（0,0）（0,1）（0,2）（1,0）（1,1）（1,2）（2,0）（2,1）（2,2）（3,0）（3,1）（3,2）其中第一个数表示a，第二个数表示b.判断事件A包括9个基本事件，所以P(A)=912=34.
（2）实验的全部结果构成区域D{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，事件A构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}，
所求概率为P(A)=2×3-12×222×3=23.
分析：上述两题的关键是要能从实际问题中抽象出概率模型，例7由于引入两个变量从而构造了两维背景，导致出现面积为测度的模型，而例8要求在概率求解中注意区分好古典概型与几何概型--应该讲并不困难，有限与无限的区别还是比较明显.
从高考要求上讲，概率问题不是很难，近几年大题基本不出.所以解答的关键是概念要清晰，同时在分析时要注意应用分类讨论的思想化繁为简.若有大题出现一定要注意解题的格式，以保证能够分部得分.
（作者:曹钢、戴栋焱,江苏省宜兴市和桥高级中学）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文