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数学内容里包含很多道理,其中就有不少是讲做人方面的,教育的目的是育人,所以我一直把做人教育贯穿于平时的数学教学之中,下面我们通过三角形中相关线段形成的角,来谈谈“吃亏是福的做人道理”。
一、三角形中两条高所成的角会有什么特殊性呢?
(1)如图,已知:在锐角△ABC中,BE、CD是高交点为O,求证:∠BOC=180°-∠BAC
证明:∵BE、CD是△ABC的高 ,∴∠ADO=∠AEO=90°,在四边形ADOE中,∠BAC+∠ADO+∠AEO+∠DOE=360°,∴∠BAC+∠DOE=180°,∵∠BOC=∠DOE,∴∠BAC+∠BOC=180°,即:∠BOC=180° -∠BAC
(能不能说:∠BOD=∠BAC或者∠EOC=∠BAC 呢?)钝角三角形中又会是怎样的呢?
(2)如图,已知:在钝角△ABC中,∠BCA是钝角,BE、CD是高交点为O,求证:∠BOC=∠BAC
证明:∵BE、CD是△ABC的高,∴∠ADC=∠AEO=90°,在Rt△ADC和Rt△OCE中,∠BAC+∠ACD=90°, ∠OCE+∠BOC=90°性(直角三角形两锐角互余),∵∠ACD=∠OCE(对顶角相等),∴∠BOC=∠BAC
由此你发现了什么吗?哪个顶点没有画高,而最终的结果就与这个顶点的角有关。这从做人处事的角度来说,不是告诉大家不要去贪小便宜吗?换句话说,就是吃亏是福。
二、如果不是两条高形成的角,而是两条角平分线形成的角,会不会出现类似的特殊性呢?
(1)如图,已知:△ABC中,BE、CD是内角平分线,交点为O,求证:∠BOC=90°+∠BAC
证明:∵BE、CD是△ABC的角平分线,∴∠ABO=∠OBC=∠ABC,∠ACO=∠OCB=∠ACB,在△ABC 与△OBC 中,∠ABC+∠ACB+∠BAC=180° ,∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°,∴∠BOC = 180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠BAC)=90°+∠BAC
不难发现:开始时,只有∠BAC没有画角平分线,可是最终的结果只与它有关,与前面高线的交角的规律是一样的,可见吃亏是福。
(2)如图,已知:BE、CE分别是△ABC的内、外角平分线,交点为E,求证:∠BEC=∠BAC
证明:∵BE、CE是角平分线,∴∠EBC=∠ABC∠ECD=∠ACD,对△ABC 与△EBC 而言有,
∠ACD=∠ABC+∠BAC,∠ECD=∠EBC+∠BEC,∴∠BEC = ∠ECD - ∠EBC=∠ACD - ∠ABC=(∠ABC+∠BAC) -∠ABC=∠BAC
显然内外角平分线形成的角也满足以上规律,吃亏是福。下面我们来看看外角平分线形成的角的结果如何?
(3)如图,已知:BE、CE是△ABC的外角平分线,交点为E,求证:∠BEC=90° -∠BAC
证明:∵BE、CE是角平分线,∴∠EBC=∠FBC,∠ECB=∠BCD,对△ABC 与△EBC 而言有,∠BCD=∠ABC+∠BAC,∠FBC=∠BAC+∠ACB,∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°, ∠EBC+∠ECB+∠BEC=180°,∴∠BEC=180°- (∠EBC+∠ECB)=180°-(∠FBC+∠BCD)=180°-(∠BAC+∠ACB+∠ABC+∠BAC)=180°-(180°+∠BAC)=90°-∠BAC
从角平分线之间形成的角看,你有什么发现呢?哪个顶点没有画角平分线,而最终的结果也都與这个顶点的角有关。这也正说明了吃亏是福。
从数学知识上讲,这些结论的推导,对于学生整理七年级三角形中的相关知识起到了复习巩固的作用,有利于培养学生观察、推理、归纳和语言表达能力,同时这些结论对于做一些选择填空题很节约时间。从做人处事上讲,告诉学生不要贪图小便宜,记得吃亏是福的做人道理。
综合以上结论,我们可以不难看出数学知识中蕴含着我们做人之道——吃亏是福的道理,所以只要我们认真的去挖掘知识内涵,就能在数学教学中无形的教给学生做人的道理,尤其是在提倡素质教育的今天,做人更是重中之重呀。
一、三角形中两条高所成的角会有什么特殊性呢?
(1)如图,已知:在锐角△ABC中,BE、CD是高交点为O,求证:∠BOC=180°-∠BAC
证明:∵BE、CD是△ABC的高 ,∴∠ADO=∠AEO=90°,在四边形ADOE中,∠BAC+∠ADO+∠AEO+∠DOE=360°,∴∠BAC+∠DOE=180°,∵∠BOC=∠DOE,∴∠BAC+∠BOC=180°,即:∠BOC=180° -∠BAC
(能不能说:∠BOD=∠BAC或者∠EOC=∠BAC 呢?)钝角三角形中又会是怎样的呢?
(2)如图,已知:在钝角△ABC中,∠BCA是钝角,BE、CD是高交点为O,求证:∠BOC=∠BAC
证明:∵BE、CD是△ABC的高,∴∠ADC=∠AEO=90°,在Rt△ADC和Rt△OCE中,∠BAC+∠ACD=90°, ∠OCE+∠BOC=90°性(直角三角形两锐角互余),∵∠ACD=∠OCE(对顶角相等),∴∠BOC=∠BAC
由此你发现了什么吗?哪个顶点没有画高,而最终的结果就与这个顶点的角有关。这从做人处事的角度来说,不是告诉大家不要去贪小便宜吗?换句话说,就是吃亏是福。
二、如果不是两条高形成的角,而是两条角平分线形成的角,会不会出现类似的特殊性呢?
(1)如图,已知:△ABC中,BE、CD是内角平分线,交点为O,求证:∠BOC=90°+∠BAC
证明:∵BE、CD是△ABC的角平分线,∴∠ABO=∠OBC=∠ABC,∠ACO=∠OCB=∠ACB,在△ABC 与△OBC 中,∠ABC+∠ACB+∠BAC=180° ,∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°,∴∠BOC = 180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠BAC)=90°+∠BAC
不难发现:开始时,只有∠BAC没有画角平分线,可是最终的结果只与它有关,与前面高线的交角的规律是一样的,可见吃亏是福。
(2)如图,已知:BE、CE分别是△ABC的内、外角平分线,交点为E,求证:∠BEC=∠BAC
证明:∵BE、CE是角平分线,∴∠EBC=∠ABC∠ECD=∠ACD,对△ABC 与△EBC 而言有,
∠ACD=∠ABC+∠BAC,∠ECD=∠EBC+∠BEC,∴∠BEC = ∠ECD - ∠EBC=∠ACD - ∠ABC=(∠ABC+∠BAC) -∠ABC=∠BAC
显然内外角平分线形成的角也满足以上规律,吃亏是福。下面我们来看看外角平分线形成的角的结果如何?
(3)如图,已知:BE、CE是△ABC的外角平分线,交点为E,求证:∠BEC=90° -∠BAC
证明:∵BE、CE是角平分线,∴∠EBC=∠FBC,∠ECB=∠BCD,对△ABC 与△EBC 而言有,∠BCD=∠ABC+∠BAC,∠FBC=∠BAC+∠ACB,∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°, ∠EBC+∠ECB+∠BEC=180°,∴∠BEC=180°- (∠EBC+∠ECB)=180°-(∠FBC+∠BCD)=180°-(∠BAC+∠ACB+∠ABC+∠BAC)=180°-(180°+∠BAC)=90°-∠BAC
从角平分线之间形成的角看,你有什么发现呢?哪个顶点没有画角平分线,而最终的结果也都與这个顶点的角有关。这也正说明了吃亏是福。
从数学知识上讲,这些结论的推导,对于学生整理七年级三角形中的相关知识起到了复习巩固的作用,有利于培养学生观察、推理、归纳和语言表达能力,同时这些结论对于做一些选择填空题很节约时间。从做人处事上讲,告诉学生不要贪图小便宜,记得吃亏是福的做人道理。
综合以上结论,我们可以不难看出数学知识中蕴含着我们做人之道——吃亏是福的道理,所以只要我们认真的去挖掘知识内涵,就能在数学教学中无形的教给学生做人的道理,尤其是在提倡素质教育的今天,做人更是重中之重呀。