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“撑一支长篙，向青草更青处漫溯。”诗人徐志摩借一支长篙之力，顺流而下，领略到青草更青处的绝美佳境，沁人心脾，在心灵深处留下抹不去的记忆。
数学概念课教学亦如此，直抵概念本质特征，使学生对数学知识的理解跳出概念文本的约束，真正内化为一种积淀，一种素养。
人教版五年级下册“分数的意义”一课的教学重点就是引导学生借助几何直观建立“单位1”的概念，理解分数的意义。分三层意思理解：一是把一个或一些物体看作一个整体，用自然数1表示，叫做“单位1”；二是把“单位1”平均分成若干份；三是这样的一份或几份，用分数表示。其中“什么是单位1？”“把谁作为单位1？”“表示这样的一份或几份”等问题既是理解分数意义的核心，也是难点。下面以“分数的意义”一课为例，浅析概念教学该如何层层深入，直追本质，让学生有更深刻的认识。
【片段一】理解分数的意义和“单位1”
1.动手操作，理解
（1）教师提供一个正方形、一个圆形、一条线段、一串香蕉、一盒面包等图片，要求：学生选择一种物品通过折一折、画一画、涂一涂的方式来表示出它的。
（2）学生汇报，关注学生对含义的描述是否准确、完整，强调平均分。
师：一串香蕉的该如何表示？一盒面包的又该怎么表示呢？
生：把一串香蕉（4个）平均分成四份，每份有1根，1根香蕉就是这串香蕉的。
生：把一盒面包（8个）平均分成四份，每份2个，每份面包是这盒面包的。
2.观察对比，归纳总结
（1）师：为什么这些都可以用来表示呢？（引导学生归纳的意义。）
生：因为都是把它们平均分成四份，每份都是它的。
（2）师：再仔细观察，分的这些物体有什么不同点吗？
生：有的是一个物体，有的是好几个物体。
（3）课件显示12颗糖果，将它分别平均分成2份、3份、4份和6份，用分数表示其中的1份、2份、3份和5份。
①思考：现在把什么看作“单位1”？
②学生先独立完成，再反馈，并用数学语言描述每一个分数的含义。
【片段二】选好素材，深化概念
1.生活中的分数
（1）课件呈现生活中的分数：
信息一：全世界有的人不希望发生战争。
信息二：据目前统计，2015年中国老龄化现象日益明显，老年人口数占人口总数的。
（2）学生阅读信息，并用自己的语言说一说对信息中分数的理解。
2.活动拓展
（1）创设活动情境：老师带了9张书签，每人分得它的，每人分几张？
（2）学生口答，并说明理由。
【教后研讨】
上述两个片段基本按教材编排流程完成。但课后访谈问学生：半个苹果能看成“单位1”吗？学生的声音不像课堂时那么坚定，有人开始疑惑了。建立“单位1”的概念到底难在哪里？在这节课中，分数意义的概念是教师告诉学生的，还是学生们自己感悟的？我们静心反思，直面课堂，聚焦问题，调整对策。
问题一：“单位1”的建立是教师人为的给予，学生只是在模仿教师所说的“单位1”进行举例，忽略了“单位1”的本质。
对策一：直面核心，活动导思“悟”本质
按教材编排，先归纳分数的意义，再揭示“单位1”的概念。这样，学生对“单位1”的体验并不深刻。教学的关键是“单位1”不仅仅只是“1个”整体，还可以是几个物体看作“1个整体”，那么所取的“一份”也不只是“一个”，可能会是“几个”作为“一份”。其实学生在经历三年级对分数的初步认识，已从部分与整体关系的角度初步认识了分数。学生从熟知的数字1开始，由“1个”延伸到“一些”，再将1的内涵进行拓展，从鲜活的实例中感悟部分与整体的关系，树立起“单位1”的概念意识，接着经历一系列活动，如“都是，为什么涂色部分却有所不同”“单位1相同，所表示出的分数却各不一样”等，去进一步体会“单位1”在分数概念里的意义，让其鲜活地在学生头脑里生根、发芽、开花。
问题二：分数概念的获得虽在学生体验含义的操作活动之后，但只是纯文本表征的呈现死板，学生不能主动将前期的情境、操作经验与语言、符号概念有效对接，对概念的把握只能停留在对文字诵读和识记层面，未实现概念真正的内化与理解。
对策二：抓实关键，沟通联系“理”成形
概念教学，过分注重对概念语言表征的逐字逐句的掌握，对学生而言难度很大。将概念一股脑儿地抛给学生，学生只能是囫囵吞枣。抓准概念的关键点，创设分数概念多元表征的活动场域，理解不同表征间的相互联系，沟通实物情境、具体操作、图形、语言、符号之间的内在关联，才能让概念理解通透彻底。
可将分数的概念分解为三个关键点，即：一个整体、平均分成若干份、表示这样的一份或几份，预设分层活动和问题情境去突破三个关键点。
如，活动一：在不同的“单位1”中理解几分之一，让学生感知图形表征与分数符号的联系，设问：都是四分之一，为什么表示的数量却不一样呢？突破对一个整体（“单位1”）意义的内化理解。活动二：在相同的“单位1”中理解几分之几，设问：“单位1”相同了，为什么表示的分数却各不相同呢？突出“平均分的份数和表示的份数”的理解，为后续实现分数概念的建构铺平道路。
问题三：练习的设计将会直接影响到学生掌握概念的质量。第二个教学片段中，练习内容和形式均有新意，学生参与虽广，但给学生思维发挥的空间却小，有形式上的热闹，却没有充分挖掘素材的本质价值。
对策三：活用素材，精细处理“显”功效
好的素材，需要精细处理才能将其价值发挥得淋漓尽致。如“生活中的分数”是将分数的数学含义与生活意义很好对地接的素材。只让学生说一说对信息中分数的理解，局限在信息所提供的情境里，学生代入感不强，产生不了思想共鸣。如果学习素材能与学生切身体会巧妙结合，那么就会让本身枯燥的分数变得灵动起来，也会为以后学习分数解决问题打好坚实的基础。第二个活动拓展，意在运用分数来解决生活中的实际问题。因此，增加活动的趣味性和层次感能调动学生积极深入地思考问题，使得学生将分数诠释得更充分、更深刻。 【研讨后的改进教学】
【片段一】教学“单位1”
师：生活中，哪些物体的数量可以用1来表示呢？（学生举出很多一个物体的例子，教师适时补充一米的长度、一平方米的面积大小也可以用1来表示）
师继续提问，拓展1的内涵：我们整个班级的同学可以用1来表示吗？为什么？
生：可以，因为可以把全班同学看作一个整体。
师引导学生继续举例，丰富一个整体看作1的例子。
师揭示概念：看来，小小的1变得丰富了。像一个物体，一个计量单位或是一些物体，都能用自然数1来表示，通常把这样的1叫做“单位1”。
【片段二】理解分数的意义
活动一：
（1）师：咱们把一个圆看作“单位1”，你能涂色表示出其中的吗？
通过学生反馈，回忆表示一个物体的几分之一的方法，强调平均分。
（2）课件出示一个正方形，一条线段，一把香蕉（4个），一盘面包（8个），一堆糖（12个）：那这些又分别把什么看作“单位1”，你能涂色分别表示出每一幅图的吗？
（3）学生展示汇报，引导学生说一说每幅图把什么看作“单位1”，每幅图的的含义。
（4）思考归纳。问题一：为什么这些涂色部分都能用这个分数来表示呢？
生归纳的含义：因为都是把“单位1”平均分成四份，表示其中的一份。
问题二：都是，可为什么涂色部分有的是一部分，有的是1个，有的是2个甚至更多呢？
生1：因为物体的总数不一样。
生2：因为它们的“单位1”不同。
师小结：看来，要准确地表示一个分数，把什么看作“单位1”确实很重要！
活动二：
（1）师：刚才，同学们表示出了一堆糖的，那如果这样涂色呢？（课件动态闪烁其中的另外三份）又该用哪个分数来表示？（）能说说的含义吗？
（2）组织学生继续以一堆糖（12个）为“单位1”，表示出其他的分数。
（3）思考归纳。问题三：刚才这些不同的分数，你们都是把什么看作“单位1”？这回“单位1”可相同了，为什么表示出的分数又各不相同呢？
生：因为它们平均分的份数不同，表示其中的几份也不相同。
【片段三】生活中的分数
（1）课件出示1：全世界有的人不希望发生战争。
（2）师：读了这则信息，你有什么想说的吗？
（3）追问：在咱们班不希望发生战争的请举手，能用一个分数来表示吗？那如果我也投一票呢？
4.活动拓展
（1）创设活动情境：老师带了9张书签，男女生各派一名代表上来领取。请男生拿走其中的。现在还剩几张？公平起见，请女生拿走剩下书签的。
（2）引发矛盾冲突，师顺势追问：都是，怎么不公平了？
生：因为它们的“单位1”不一样？
（3）女生该怎么拿就真的公平了？
（4）谁还想拿走剩下的几分之几？
（5）师：老师这里还有一盒笔芯（拿出2支），这些是盒子里的，知道盒子里一共有几支笔芯吗？
【收获与启示】
数学家米山国藏说：“学生在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，很快就忘掉了。然而，不管他们将来从事什么工作，深深铭刻在心中的数学精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点，都能使他们终身受益。”“分数的意义”教学案例研究中，集体的智慧再次点亮了前行的路灯，深刻表明概念只是以一种结果的形式存储在学生的脑海里，总有一天会忘记。只有让学生充分经历概念的形成过程，理解其本质，才能融会贯通，形成永不会遗忘的数学素养，犹如“撑一支长篙，向概念本真处漫溯”。
一、提供“长篙”之载体，让学生借力而行
数学概念的建构，必须经历一个数学化的过程。要重视学生在理解的基础上感知其意义，沟通抽象概念与理解感知之间的载体，以具体实例的方式呈现，助其把握本质。在研讨后的二次教学中，借助一些简单的实例，由表示单个数量的自然数“1”，引向表示一个整体的“1”，自然而顺畅。每个教学环节，都强化“把什么看作单位1”，使学生有意识地带着一个整体的数学眼光去表示分数，为学生理解分数的意义扫除障碍，较好地还原了分数实则是表示部分与整体之间关系这一本质问题。
二、营造“漫溯”之意境，让学生溯流而上
“漫溯”意为向着目标随心前行。概念课教学教师的“苦口婆心”“刻意强调”收效甚微。营造一种“看则无心实有意”的教学环境，使学生在不经意间发现问题的本质，岂不妙哉！二次教学中，教师在学生表示出四分之一和几分之几后，精心设问：“为什么都可以用四分之一来表示？”“都是四分之一，为什么表示的却各不相同？”“单位1相同了，为什么分数又不一样呢？”问题打通了学生的思维结点，在观察对比中引导学生理解分数的三要素：单位1、平均分的份数、表示的份数。虽没有再三强调，却避免了机械记忆，学生在顺其自然中把握概念的要领，理解概念的本质，提升了数学素养。
三、挖掘“更青处”之本真，让学生径直而达
“青草更青处”能让人留连忘返，概念本真使人终身难忘。概念教学中，教师应深入关注这个。提供的教学素材和创设的问题情境，要发挥其最大价值，帮助学生层层递进，径直抵达概念本质。“分数的意义”二次教学中，在练习环节，教师把握住每一次可挖掘的机会，“世界上不想发生战争人数情况，老师参与投票”“两次分发书签引起矛盾冲突”，看似不经意的行为，实则老师用心良苦。让学生的活动不是停留在表层，而是借助浅显形象的事例，深入思考问题的本质，培养学生从数学的角度发现问题、提出问题、分析问题，解决问题的能力。
（作者单位：南昌市站前路小学 南昌市西湖区教科所 江西省教育厅教研室）
责任编辑 程 璐
数学概念课教学亦如此，直抵概念本质特征，使学生对数学知识的理解跳出概念文本的约束，真正内化为一种积淀，一种素养。
人教版五年级下册“分数的意义”一课的教学重点就是引导学生借助几何直观建立“单位1”的概念，理解分数的意义。分三层意思理解：一是把一个或一些物体看作一个整体，用自然数1表示，叫做“单位1”；二是把“单位1”平均分成若干份；三是这样的一份或几份，用分数表示。其中“什么是单位1？”“把谁作为单位1？”“表示这样的一份或几份”等问题既是理解分数意义的核心，也是难点。下面以“分数的意义”一课为例，浅析概念教学该如何层层深入，直追本质，让学生有更深刻的认识。
【片段一】理解分数的意义和“单位1”
1.动手操作，理解
（1）教师提供一个正方形、一个圆形、一条线段、一串香蕉、一盒面包等图片，要求：学生选择一种物品通过折一折、画一画、涂一涂的方式来表示出它的。
（2）学生汇报，关注学生对含义的描述是否准确、完整，强调平均分。
师：一串香蕉的该如何表示？一盒面包的又该怎么表示呢？
生：把一串香蕉（4个）平均分成四份，每份有1根，1根香蕉就是这串香蕉的。
生：把一盒面包（8个）平均分成四份，每份2个，每份面包是这盒面包的。
2.观察对比，归纳总结
（1）师：为什么这些都可以用来表示呢？（引导学生归纳的意义。）
生：因为都是把它们平均分成四份，每份都是它的。
（2）师：再仔细观察，分的这些物体有什么不同点吗？
生：有的是一个物体，有的是好几个物体。
（3）课件显示12颗糖果，将它分别平均分成2份、3份、4份和6份，用分数表示其中的1份、2份、3份和5份。
①思考：现在把什么看作“单位1”？
②学生先独立完成，再反馈，并用数学语言描述每一个分数的含义。
【片段二】选好素材，深化概念
1.生活中的分数
（1）课件呈现生活中的分数：
信息一：全世界有的人不希望发生战争。
信息二：据目前统计，2015年中国老龄化现象日益明显，老年人口数占人口总数的。
（2）学生阅读信息，并用自己的语言说一说对信息中分数的理解。
2.活动拓展
（1）创设活动情境：老师带了9张书签，每人分得它的，每人分几张？
（2）学生口答，并说明理由。
【教后研讨】
上述两个片段基本按教材编排流程完成。但课后访谈问学生：半个苹果能看成“单位1”吗？学生的声音不像课堂时那么坚定，有人开始疑惑了。建立“单位1”的概念到底难在哪里？在这节课中，分数意义的概念是教师告诉学生的，还是学生们自己感悟的？我们静心反思，直面课堂，聚焦问题，调整对策。
问题一：“单位1”的建立是教师人为的给予，学生只是在模仿教师所说的“单位1”进行举例，忽略了“单位1”的本质。
对策一：直面核心，活动导思“悟”本质
按教材编排，先归纳分数的意义，再揭示“单位1”的概念。这样，学生对“单位1”的体验并不深刻。教学的关键是“单位1”不仅仅只是“1个”整体，还可以是几个物体看作“1个整体”，那么所取的“一份”也不只是“一个”，可能会是“几个”作为“一份”。其实学生在经历三年级对分数的初步认识，已从部分与整体关系的角度初步认识了分数。学生从熟知的数字1开始，由“1个”延伸到“一些”，再将1的内涵进行拓展，从鲜活的实例中感悟部分与整体的关系，树立起“单位1”的概念意识，接着经历一系列活动，如“都是，为什么涂色部分却有所不同”“单位1相同，所表示出的分数却各不一样”等，去进一步体会“单位1”在分数概念里的意义，让其鲜活地在学生头脑里生根、发芽、开花。
问题二：分数概念的获得虽在学生体验含义的操作活动之后，但只是纯文本表征的呈现死板，学生不能主动将前期的情境、操作经验与语言、符号概念有效对接，对概念的把握只能停留在对文字诵读和识记层面，未实现概念真正的内化与理解。
对策二：抓实关键，沟通联系“理”成形
概念教学，过分注重对概念语言表征的逐字逐句的掌握，对学生而言难度很大。将概念一股脑儿地抛给学生，学生只能是囫囵吞枣。抓准概念的关键点，创设分数概念多元表征的活动场域，理解不同表征间的相互联系，沟通实物情境、具体操作、图形、语言、符号之间的内在关联，才能让概念理解通透彻底。
可将分数的概念分解为三个关键点，即：一个整体、平均分成若干份、表示这样的一份或几份，预设分层活动和问题情境去突破三个关键点。
如，活动一：在不同的“单位1”中理解几分之一，让学生感知图形表征与分数符号的联系，设问：都是四分之一，为什么表示的数量却不一样呢？突破对一个整体（“单位1”）意义的内化理解。活动二：在相同的“单位1”中理解几分之几，设问：“单位1”相同了，为什么表示的分数却各不相同呢？突出“平均分的份数和表示的份数”的理解，为后续实现分数概念的建构铺平道路。
问题三：练习的设计将会直接影响到学生掌握概念的质量。第二个教学片段中，练习内容和形式均有新意，学生参与虽广，但给学生思维发挥的空间却小，有形式上的热闹，却没有充分挖掘素材的本质价值。
对策三：活用素材，精细处理“显”功效
好的素材，需要精细处理才能将其价值发挥得淋漓尽致。如“生活中的分数”是将分数的数学含义与生活意义很好对地接的素材。只让学生说一说对信息中分数的理解，局限在信息所提供的情境里，学生代入感不强，产生不了思想共鸣。如果学习素材能与学生切身体会巧妙结合，那么就会让本身枯燥的分数变得灵动起来，也会为以后学习分数解决问题打好坚实的基础。第二个活动拓展，意在运用分数来解决生活中的实际问题。因此，增加活动的趣味性和层次感能调动学生积极深入地思考问题，使得学生将分数诠释得更充分、更深刻。 【研讨后的改进教学】
【片段一】教学“单位1”
师：生活中，哪些物体的数量可以用1来表示呢？（学生举出很多一个物体的例子，教师适时补充一米的长度、一平方米的面积大小也可以用1来表示）
师继续提问，拓展1的内涵：我们整个班级的同学可以用1来表示吗？为什么？
生：可以，因为可以把全班同学看作一个整体。
师引导学生继续举例，丰富一个整体看作1的例子。
师揭示概念：看来，小小的1变得丰富了。像一个物体，一个计量单位或是一些物体，都能用自然数1来表示，通常把这样的1叫做“单位1”。
【片段二】理解分数的意义
活动一：
（1）师：咱们把一个圆看作“单位1”，你能涂色表示出其中的吗？
通过学生反馈，回忆表示一个物体的几分之一的方法，强调平均分。
（2）课件出示一个正方形，一条线段，一把香蕉（4个），一盘面包（8个），一堆糖（12个）：那这些又分别把什么看作“单位1”，你能涂色分别表示出每一幅图的吗？
（3）学生展示汇报，引导学生说一说每幅图把什么看作“单位1”，每幅图的的含义。
（4）思考归纳。问题一：为什么这些涂色部分都能用这个分数来表示呢？
生归纳的含义：因为都是把“单位1”平均分成四份，表示其中的一份。
问题二：都是，可为什么涂色部分有的是一部分，有的是1个，有的是2个甚至更多呢？
生1：因为物体的总数不一样。
生2：因为它们的“单位1”不同。
师小结：看来，要准确地表示一个分数，把什么看作“单位1”确实很重要！
活动二：
（1）师：刚才，同学们表示出了一堆糖的，那如果这样涂色呢？（课件动态闪烁其中的另外三份）又该用哪个分数来表示？（）能说说的含义吗？
（2）组织学生继续以一堆糖（12个）为“单位1”，表示出其他的分数。
（3）思考归纳。问题三：刚才这些不同的分数，你们都是把什么看作“单位1”？这回“单位1”可相同了，为什么表示出的分数又各不相同呢？
生：因为它们平均分的份数不同，表示其中的几份也不相同。
【片段三】生活中的分数
（1）课件出示1：全世界有的人不希望发生战争。
（2）师：读了这则信息，你有什么想说的吗？
（3）追问：在咱们班不希望发生战争的请举手，能用一个分数来表示吗？那如果我也投一票呢？
4.活动拓展
（1）创设活动情境：老师带了9张书签，男女生各派一名代表上来领取。请男生拿走其中的。现在还剩几张？公平起见，请女生拿走剩下书签的。
（2）引发矛盾冲突，师顺势追问：都是，怎么不公平了？
生：因为它们的“单位1”不一样？
（3）女生该怎么拿就真的公平了？
（4）谁还想拿走剩下的几分之几？
（5）师：老师这里还有一盒笔芯（拿出2支），这些是盒子里的，知道盒子里一共有几支笔芯吗？
【收获与启示】
数学家米山国藏说：“学生在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，很快就忘掉了。然而，不管他们将来从事什么工作，深深铭刻在心中的数学精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点，都能使他们终身受益。”“分数的意义”教学案例研究中，集体的智慧再次点亮了前行的路灯，深刻表明概念只是以一种结果的形式存储在学生的脑海里，总有一天会忘记。只有让学生充分经历概念的形成过程，理解其本质，才能融会贯通，形成永不会遗忘的数学素养，犹如“撑一支长篙，向概念本真处漫溯”。
一、提供“长篙”之载体，让学生借力而行
数学概念的建构，必须经历一个数学化的过程。要重视学生在理解的基础上感知其意义，沟通抽象概念与理解感知之间的载体，以具体实例的方式呈现，助其把握本质。在研讨后的二次教学中，借助一些简单的实例，由表示单个数量的自然数“1”，引向表示一个整体的“1”，自然而顺畅。每个教学环节，都强化“把什么看作单位1”，使学生有意识地带着一个整体的数学眼光去表示分数，为学生理解分数的意义扫除障碍，较好地还原了分数实则是表示部分与整体之间关系这一本质问题。
二、营造“漫溯”之意境，让学生溯流而上
“漫溯”意为向着目标随心前行。概念课教学教师的“苦口婆心”“刻意强调”收效甚微。营造一种“看则无心实有意”的教学环境，使学生在不经意间发现问题的本质，岂不妙哉！二次教学中，教师在学生表示出四分之一和几分之几后，精心设问：“为什么都可以用四分之一来表示？”“都是四分之一，为什么表示的却各不相同？”“单位1相同了，为什么分数又不一样呢？”问题打通了学生的思维结点，在观察对比中引导学生理解分数的三要素：单位1、平均分的份数、表示的份数。虽没有再三强调，却避免了机械记忆，学生在顺其自然中把握概念的要领，理解概念的本质，提升了数学素养。
三、挖掘“更青处”之本真，让学生径直而达
“青草更青处”能让人留连忘返，概念本真使人终身难忘。概念教学中，教师应深入关注这个。提供的教学素材和创设的问题情境，要发挥其最大价值，帮助学生层层递进，径直抵达概念本质。“分数的意义”二次教学中，在练习环节，教师把握住每一次可挖掘的机会，“世界上不想发生战争人数情况，老师参与投票”“两次分发书签引起矛盾冲突”，看似不经意的行为，实则老师用心良苦。让学生的活动不是停留在表层，而是借助浅显形象的事例，深入思考问题的本质，培养学生从数学的角度发现问题、提出问题、分析问题，解决问题的能力。
（作者单位：南昌市站前路小学 南昌市西湖区教科所 江西省教育厅教研室）
责任编辑 程 璐