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【摘要】用建立平面直角坐标系的方法(即坐标法)是解决立体几何的常见方法之一。然而,在用坐标法计算二面角的平面角时,目前的方法还不能确定一个二面角是锐角还是钝角。本文通过引进向量积的有关知识,彻底地解决了这一问题。
【关键词】坐标法 立体几何 二面角 向量积
【中图分类号】O156 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)08-0151-01
用坐标法求解立体几何问题,其思路是建立适当的空间直角坐标系,再利用向量的有关知识进行坐标运算,从而得到相应的结论。它可以解决立体几何中的各类问题。
可是,在求二面角的大小时,却不能很好地判断该二面角是锐角还是钝角。下面就针对这个问题作一些探讨。具体的方法是把它转化为两个平面的法向量的夹角来求解。
例:(2004年天津卷理)如图3,在四棱柱P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F,
(1)证明PA//平面EDB;
(2)证明PB⊥平面EFD;
(3)求二面角C-PB-D的大小。
(1)证明:如图所示,建立空间直角坐标系,D为坐标原点,设DC为a,连AC,设AC交BD于G,连接EG,依题意有
PA=(a,0,-a),EG=(,0,-),
∴PA=2EG
∴PA//EG,
而EG属于平面EDB且PA不属于平面EDB,
∴PA//平面EDB.
(2)证明:依题意有 PB=(a,a,-a),
又DE=(0,,)
故PB·DE =0+-=0
∴PB⊥DE,
由已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,
∴PB⊥平面EFD.
(3)解:设F(x0,y0,z0),由PF=λPB,得到x0=λa,y0=λa,z0=(1-λ)a,
有EF=(-x0,-y0,-z0)=(-λa,(-λ)a,(λ-)a),
由PB·EF=0有
-λa2+(-λ) a2-(λ-)a2=0
∴λ=,
∴F=(,,),
且EF=(-,,-),FD=(-,-,-),
由PB·FD=0,得PB⊥FD,故∠EFD为二面角C-PB-D的平面角
∴cos∠EFD=,
∴∠EFD=,
即所求二面角大小为。
说明:1)在这里,计算二面角C-PB-D的大小时,是因为我们找到了二面角的平面角.但是,有时候二面角的平面角不能直接找到时,怎么办呢？可以把它转化为计算平面CPB与平面PBD的两条法向量的夹角.此处应注意,在以前所接触过的解法介绍中,由于无法判断两个法向量的方向,只能用观察法来判别是取两法向量夹角还是取其夹角的补角,如2004年湖北卷文第18题.
2)我们知道,若m,n分别为两平面的法向量,则当两个法向量的一个方向指向二面角内,一个方向指向二面角外时,那么两法向量的夹角就等于这两个平面的二面角的大小。然而,如何确定法向量的方向呢？ 在此文中,将对此问题给出一个确定的判别方法,其依据是运用向量的外积定义。
定义1:设是三个不共面的有序向量,它们具有共同的始点.若以右手拇指指向第一个向量的方向,食指指向第二个向量的方向,如果向量的方向恰为中指的指向,则我们说符合右手法则.
定义2:两个向量和的外积是一个向量,其长度是向量和的的长度与其夹角的正弦的乘积,它的方向垂直于和,且,及此向量符合右手法则。
这样一来,我们在求二面角的平面角时,只要利用右手法则确定两个法向量是否为一个方向向二面角内,一个方向向二面角外,即可以确定其二面角的大小.
上例第(3)中,有DC=(0,a,0),DB=(a,a,0),DP=(0,0,a),BP=(-a,-a,a),BC=(-a,0,0),设面PDB方向指向二面角内的法向量为n=(x,y,z),利用右手法则知n=DP×DB,
即x==a2-0=a2,
y==0-a2=-a2,
z==0-0=0,
亦n=(a2,-a2,0)。
设面CBP方向指向二面角外的法向量为m=(x0,y0,z0),同理有m=BC·BP,
即x0==0-0=0,
y0==-a2-0=-a2,
z0==0-a2=-a2,
亦 m=(0,-a2,-a2),
于是二面角C-PB-D的大小就等于m与n的夹角大小,设此角为θ,
∴cosθ===
∴θ=,
即二面角C-PB-D的大小为。
综上所述,在求二面角的大小时,我们可以通过求出两个半平面的法向量(要求是一个法向量的方向指向二面角内,一个法向量的方向指向二面角外)的夹角大小,即得此二面角的大小。
参考文献
[1] 刘坤.第三次学习(高二数学).新疆青少年出版社.2006,12.
[2] 人民教育出版社中学数学室.数学(第二册·下B).人民教育出版社.2005.11.
[3] 朱鼎勋,陈绍菱.空间解析几何.北京师范大学出版社.1988.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】坐标法 立体几何 二面角 向量积
【中图分类号】O156 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)08-0151-01
用坐标法求解立体几何问题,其思路是建立适当的空间直角坐标系,再利用向量的有关知识进行坐标运算,从而得到相应的结论。它可以解决立体几何中的各类问题。
可是,在求二面角的大小时,却不能很好地判断该二面角是锐角还是钝角。下面就针对这个问题作一些探讨。具体的方法是把它转化为两个平面的法向量的夹角来求解。
例:(2004年天津卷理)如图3,在四棱柱P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F,
(1)证明PA//平面EDB;
(2)证明PB⊥平面EFD;
(3)求二面角C-PB-D的大小。
(1)证明:如图所示,建立空间直角坐标系,D为坐标原点,设DC为a,连AC,设AC交BD于G,连接EG,依题意有
PA=(a,0,-a),EG=(,0,-),
∴PA=2EG
∴PA//EG,
而EG属于平面EDB且PA不属于平面EDB,
∴PA//平面EDB.
(2)证明:依题意有 PB=(a,a,-a),
又DE=(0,,)
故PB·DE =0+-=0
∴PB⊥DE,
由已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,
∴PB⊥平面EFD.
(3)解:设F(x0,y0,z0),由PF=λPB,得到x0=λa,y0=λa,z0=(1-λ)a,
有EF=(-x0,-y0,-z0)=(-λa,(-λ)a,(λ-)a),
由PB·EF=0有
-λa2+(-λ) a2-(λ-)a2=0
∴λ=,
∴F=(,,),
且EF=(-,,-),FD=(-,-,-),
由PB·FD=0,得PB⊥FD,故∠EFD为二面角C-PB-D的平面角
∴cos∠EFD=,
∴∠EFD=,
即所求二面角大小为。
说明:1)在这里,计算二面角C-PB-D的大小时,是因为我们找到了二面角的平面角.但是,有时候二面角的平面角不能直接找到时,怎么办呢？可以把它转化为计算平面CPB与平面PBD的两条法向量的夹角.此处应注意,在以前所接触过的解法介绍中,由于无法判断两个法向量的方向,只能用观察法来判别是取两法向量夹角还是取其夹角的补角,如2004年湖北卷文第18题.
2)我们知道,若m,n分别为两平面的法向量,则当两个法向量的一个方向指向二面角内,一个方向指向二面角外时,那么两法向量的夹角就等于这两个平面的二面角的大小。然而,如何确定法向量的方向呢？ 在此文中,将对此问题给出一个确定的判别方法,其依据是运用向量的外积定义。
定义1:设是三个不共面的有序向量,它们具有共同的始点.若以右手拇指指向第一个向量的方向,食指指向第二个向量的方向,如果向量的方向恰为中指的指向,则我们说符合右手法则.
定义2:两个向量和的外积是一个向量,其长度是向量和的的长度与其夹角的正弦的乘积,它的方向垂直于和,且,及此向量符合右手法则。
这样一来,我们在求二面角的平面角时,只要利用右手法则确定两个法向量是否为一个方向向二面角内,一个方向向二面角外,即可以确定其二面角的大小.
上例第(3)中,有DC=(0,a,0),DB=(a,a,0),DP=(0,0,a),BP=(-a,-a,a),BC=(-a,0,0),设面PDB方向指向二面角内的法向量为n=(x,y,z),利用右手法则知n=DP×DB,
即x==a2-0=a2,
y==0-a2=-a2,
z==0-0=0,
亦n=(a2,-a2,0)。
设面CBP方向指向二面角外的法向量为m=(x0,y0,z0),同理有m=BC·BP,
即x0==0-0=0,
y0==-a2-0=-a2,
z0==0-a2=-a2,
亦 m=(0,-a2,-a2),
于是二面角C-PB-D的大小就等于m与n的夹角大小,设此角为θ,
∴cosθ===
∴θ=,
即二面角C-PB-D的大小为。
综上所述,在求二面角的大小时,我们可以通过求出两个半平面的法向量(要求是一个法向量的方向指向二面角内,一个法向量的方向指向二面角外)的夹角大小,即得此二面角的大小。
参考文献
[1] 刘坤.第三次学习(高二数学).新疆青少年出版社.2006,12.
[2] 人民教育出版社中学数学室.数学(第二册·下B).人民教育出版社.2005.11.
[3] 朱鼎勋,陈绍菱.空间解析几何.北京师范大学出版社.1988.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”