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摘 要：为了让学生在操作中探究，在推理中计算，教师执教苏教版小学六年级下册“圆柱体侧面积”一课时，通过在观察中发现圆柱体的特点、在操作中探究圆柱体侧面展开图、在推理中计算圆柱体侧面积、在应用中解决圆柱体侧面积等活动设计，帮助学生经历圆柱体侧面积的推导公式，并学会运用圆柱体侧面积公式解决数学问题。
关键词：观察;操作;推理;圆柱体侧面积
小学生数学课堂上的动手操作不仅可以把自己头脑中隐性的数学思考通过显性的操作显示出来，还能在活动中发展学生的动手能力和空间思维。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中也强调了动手实践是数学学习的重要方式，这有助于学生进行猜测、实验、推理和验证，更有助于学生积累数学学习的活动经验。
如教师在教学苏教版六年级下册第二单元“圆柱体侧面积”一课时，教师组织学生经历了观察、操作、推理、应用等数学思维活动，帮助学生认识圆柱体和圆柱体表面积，并推理出圆柱体侧面积的计算公式。
一、在观察中发现圆柱体的特点
数学中每个图形都有它自身的特点，我们可以通过眼睛、手、鼻子等多种感觉器官去感受每个图形表面和内部的模样，并用自己的数学语言表达出来。当然，在数学学习过程中，我们根据学生的观察结果提炼出这些图形的几何特点。对于六年级学生而言，他们在先前的观察活动中已经知道了观察圆柱体的方法，他们能自主地提炼出圆柱体的特点。
师：同学们，这节数学课上大家都准备了一些圆柱体物体。请你拿出一个圆柱体，仔细观察圆柱体，你有什么想与大家一起分享的？
生1：每个圆柱体都是由一个侧面和两个底面组成的。
生2：每个圆柱体上、下两个底面圆形的大小相同。
生3：圆柱体从上到下都是一样粗的，像一根柱子一样。
生4：圆柱体的侧面是弯曲的。
生5：圆柱的上、下两个面叫作底面，围成圆柱的曲面叫作侧面，两个底面之间的距离叫作高。圆柱体有无数条高。
生6：我有补充，圆柱体不仅有无数条高，而且这些高的长度相等。
课堂伊始，教师直截了当地提出了有关圆柱体特点的问题，不仅揭示了今天要学习的数学知识内容，还让学生在观察和想象中提升了他们的观察能力。随着他们观察的深入，从一开始仅发现圆柱体的组成，再接着去比较圆柱体各部分之间的联系，促进学生多角度地观察圆柱体的特点。
二、在操作中探究圆柱体侧面展开图
无论是头脑想象还是动手操作，都是学生探究圆柱体侧面积的重要途径之一。在动手操作活动中，教师不仅要调控课堂的纪律，还要适度地引导学生的操作要求。为了帮助学生发现圆柱体侧面展开图，教师设计了让学生画、剪、撕、滚、卷等动手操作活动，帮助他们发现，利用化曲为直可以把圆柱体的曲面变成平面 [1]。
师：同学们，请你拿出一个圆柱体，指一指它的侧面。是的，这儿是圆柱体的侧面，猜一猜圆柱体的侧面展开是什么图形。
生：長方形，或者有时候是正方形。
师：到底你们的猜想是否正确，我们可以用实验的办法来验证你的想法。如果让你来验证，你会怎么验证呢？请你拿出圆柱体，赶紧动手吧！
生1：我们组剪了2个圆柱体，我用剪刀沿着圆柱体的高把圆柱体的侧面剪开后拉平，发现这2个圆柱体的侧面是不一样的，原来矮矮胖胖的圆柱体的侧面是正方形，原来长长瘦瘦的圆柱体的侧面是长方形。
生2：我们组也是用剪刀剪的，我们先在圆柱体的侧面上画了一条斜线，我们沿着斜线剪开后发现圆柱体的侧面也可以是平行四边形。当然，如果笔直地剪，那就变成了长方形或者正方形。
生3：我们组用的是手撕圆柱体的侧面，撕开后我们得到了一个不规则的图形，但是有一组对边是平行的，另一组对边是弯弯曲曲的。
生4：我们组刚才用了滚的方法，在白纸上做了记号，让圆柱体滚一圈后再在白纸上做记号，最后把这些记号连起来得到了一个长方形。
在这个教学片段中，教师给予学生充分的探究时间，让他们在动手操作中发现圆柱体侧面展开图是什么，这既是本节课的教学重难点，也是后续探究圆柱体侧面积的基础，更重要的是让学生感悟到“化曲为直”的数学思想方法。当学生在思维碰撞中发现圆柱体侧面积可以是长方形、正方形、平行四边形、不规则图形后，教师可以进一步引导学生在平行四边形和不规则图形上画一条高，这时它们都统一成了长方形或正方形 [2]。
三、在推理中计算圆柱体侧面积
数学公式是小学生学习数学知识后抽象的结果，数学语言是小学生学习数学知识后专业化的表达。当学生经历了圆柱体侧面展开图的探究活动后，为这一阶段的推理形成圆柱体侧面积奠定了直观感觉，提炼出圆柱体侧面积的数学核心本质。
师：同学们，刚才我们发现了圆柱体侧面展开图是长方形或正方形，什么时候圆柱体侧面展开图是长方形，什么时候又是正方形？
生：如果圆柱体底面周长和高相等时，圆柱体侧面展开图是正方形;如果圆柱体底面周长和高不相等时，圆柱体侧面展开图是长方形。
师：请你观察这个长方形的长与宽，它们与圆柱体有什么关系？
生：我们发现长方形的长是圆柱体的底面周长，长方形的宽是圆柱体的高。
师：我们看到了长方形的面积等于圆柱体的侧面积，怎么计算呢？
生：长方形的面积我们早就学过了，长方形的面积=长×宽。因为长方形的长等于圆柱体的底面周长，长方形的宽是圆柱体的高，所以圆柱体的侧面积=长方形的面积=底面周长×高。
师：你们会计算圆柱体的底面周长吗？
生：底面周长是πd或者2πr。
师：你们会用字母表示圆柱体侧面积的计算公式吗？
生：圆柱体的侧面积=πdh，或者圆柱体的侧面积=2πrh。 在这个教学片段中，教师通过几个递进性的数学问题，从长方形的长、宽与圆柱体的比较，到圆柱体侧面积的计算公式，再到最后的字母表达式，即从具体到抽象的过渡，这样的教学设计符合六年级学生的认知思维，也符合圆柱体侧面积知识的发展过程。
四、在应用中解决圆柱体的侧面积
小学生学习数学知识的最终目的是用数学知识解决生活中的问题。当学生运用圆柱体侧面积知识解决生活中的数学问题时，他们要经历整理和分析题目数学信息、列式和计算问题答案等综合过程，最终提高学生的解决问题能力，发展他们的数学眼光。
师：这节课我们学习了圆柱体侧面积的知识，请大家拿出学习单，完成学习单中的问题。
（学生完成学习单中的问题，教师适当巡视指导练习中有困难的学生，并记录学生的困惑）
师：第一题，一种圆柱体的罐头，底面的直径是11厘米，高是15厘米。它的侧面有一张商标纸，商标纸的面积大约是多少平方厘米？（接头处忽略不计）
生：商标纸的面积=11πh=11π×15=165π（平方厘米）。
师：第二题，少先队队鼓是圆柱形的，侧面由铝皮围成，上、下底面蒙的是羊皮。做这样一个队鼓，至少需要铝皮多少平方分米？羊皮呢？
生：在图上，我们知道了少先队队鼓的直径是6分米，高是2.6分米，铝皮就是圆柱体的侧面面积，列式是πdh=π×6×2.6=15.6π（平方分米）。羊皮就是上、下两个圆的面积，列式是2πr2=2π×3×3=18π（平方分米）。
师：第三題，用白铁皮做一根长2米、管口直径0.15米的圆柱形通风管，至少需要白铁皮多少平方米？
生：白铁皮用了多少就是指圆柱形通风管的侧面积，列式是πdh=π×0.15×2=0.3π（平方米）。
在这个教学片段中，教师采用了生活中有关圆柱体侧面积的情境，不仅能让学生在计算过程中熟练掌握圆柱体侧面积的公式，还能促使他们体会到数学在生活中的应用价值，这会激发他们学习数学的积极性，让他们努力用数学来解决生活中遇到的未知问题。
总之，圆柱体侧面积这节课的教学不仅仅是让学生会背诵和套用公式那么简单，教师在课堂上要引导学生重点经历这个公式的推导过程 [3]。唯有这样“授人以渔”的数学课堂，才会激发学生的数学思考，才会产生学生间的思维碰撞，才会加深对知识的理解和掌握，才会自主地应用到相关知识上，最终生长为学生自身的知识，应用到解决生活问题中去，这才是学习数学的最大价值。
参考文献：
[1] 周有英. 培养学生探究能力的课堂教学研究——《圆的面积》教学设计与思考[J]. 数学教学通讯，2019（04）：22-23.
[2] 黄怡. 小学数学教学中体现操作活动思维性的案例对比分析[J].小学数学教师，2018（05）：64-67.
[3] 陈新涛. 教学合一：让探究真实发生——“认识100以内的数”两次试教有感[J]. 教育视界，2018（08）：62-63.
关键词：观察;操作;推理;圆柱体侧面积
小学生数学课堂上的动手操作不仅可以把自己头脑中隐性的数学思考通过显性的操作显示出来，还能在活动中发展学生的动手能力和空间思维。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中也强调了动手实践是数学学习的重要方式，这有助于学生进行猜测、实验、推理和验证，更有助于学生积累数学学习的活动经验。
如教师在教学苏教版六年级下册第二单元“圆柱体侧面积”一课时，教师组织学生经历了观察、操作、推理、应用等数学思维活动，帮助学生认识圆柱体和圆柱体表面积，并推理出圆柱体侧面积的计算公式。
一、在观察中发现圆柱体的特点
数学中每个图形都有它自身的特点，我们可以通过眼睛、手、鼻子等多种感觉器官去感受每个图形表面和内部的模样，并用自己的数学语言表达出来。当然，在数学学习过程中，我们根据学生的观察结果提炼出这些图形的几何特点。对于六年级学生而言，他们在先前的观察活动中已经知道了观察圆柱体的方法，他们能自主地提炼出圆柱体的特点。
师：同学们，这节数学课上大家都准备了一些圆柱体物体。请你拿出一个圆柱体，仔细观察圆柱体，你有什么想与大家一起分享的？
生1：每个圆柱体都是由一个侧面和两个底面组成的。
生2：每个圆柱体上、下两个底面圆形的大小相同。
生3：圆柱体从上到下都是一样粗的，像一根柱子一样。
生4：圆柱体的侧面是弯曲的。
生5：圆柱的上、下两个面叫作底面，围成圆柱的曲面叫作侧面，两个底面之间的距离叫作高。圆柱体有无数条高。
生6：我有补充，圆柱体不仅有无数条高，而且这些高的长度相等。
课堂伊始，教师直截了当地提出了有关圆柱体特点的问题，不仅揭示了今天要学习的数学知识内容，还让学生在观察和想象中提升了他们的观察能力。随着他们观察的深入，从一开始仅发现圆柱体的组成，再接着去比较圆柱体各部分之间的联系，促进学生多角度地观察圆柱体的特点。
二、在操作中探究圆柱体侧面展开图
无论是头脑想象还是动手操作，都是学生探究圆柱体侧面积的重要途径之一。在动手操作活动中，教师不仅要调控课堂的纪律，还要适度地引导学生的操作要求。为了帮助学生发现圆柱体侧面展开图，教师设计了让学生画、剪、撕、滚、卷等动手操作活动，帮助他们发现，利用化曲为直可以把圆柱体的曲面变成平面 [1]。
师：同学们，请你拿出一个圆柱体，指一指它的侧面。是的，这儿是圆柱体的侧面，猜一猜圆柱体的侧面展开是什么图形。
生：長方形，或者有时候是正方形。
师：到底你们的猜想是否正确，我们可以用实验的办法来验证你的想法。如果让你来验证，你会怎么验证呢？请你拿出圆柱体，赶紧动手吧！
生1：我们组剪了2个圆柱体，我用剪刀沿着圆柱体的高把圆柱体的侧面剪开后拉平，发现这2个圆柱体的侧面是不一样的，原来矮矮胖胖的圆柱体的侧面是正方形，原来长长瘦瘦的圆柱体的侧面是长方形。
生2：我们组也是用剪刀剪的，我们先在圆柱体的侧面上画了一条斜线，我们沿着斜线剪开后发现圆柱体的侧面也可以是平行四边形。当然，如果笔直地剪，那就变成了长方形或者正方形。
生3：我们组用的是手撕圆柱体的侧面，撕开后我们得到了一个不规则的图形，但是有一组对边是平行的，另一组对边是弯弯曲曲的。
生4：我们组刚才用了滚的方法，在白纸上做了记号，让圆柱体滚一圈后再在白纸上做记号，最后把这些记号连起来得到了一个长方形。
在这个教学片段中，教师给予学生充分的探究时间，让他们在动手操作中发现圆柱体侧面展开图是什么，这既是本节课的教学重难点，也是后续探究圆柱体侧面积的基础，更重要的是让学生感悟到“化曲为直”的数学思想方法。当学生在思维碰撞中发现圆柱体侧面积可以是长方形、正方形、平行四边形、不规则图形后，教师可以进一步引导学生在平行四边形和不规则图形上画一条高，这时它们都统一成了长方形或正方形 [2]。
三、在推理中计算圆柱体侧面积
数学公式是小学生学习数学知识后抽象的结果，数学语言是小学生学习数学知识后专业化的表达。当学生经历了圆柱体侧面展开图的探究活动后，为这一阶段的推理形成圆柱体侧面积奠定了直观感觉，提炼出圆柱体侧面积的数学核心本质。
师：同学们，刚才我们发现了圆柱体侧面展开图是长方形或正方形，什么时候圆柱体侧面展开图是长方形，什么时候又是正方形？
生：如果圆柱体底面周长和高相等时，圆柱体侧面展开图是正方形;如果圆柱体底面周长和高不相等时，圆柱体侧面展开图是长方形。
师：请你观察这个长方形的长与宽，它们与圆柱体有什么关系？
生：我们发现长方形的长是圆柱体的底面周长，长方形的宽是圆柱体的高。
师：我们看到了长方形的面积等于圆柱体的侧面积，怎么计算呢？
生：长方形的面积我们早就学过了，长方形的面积=长×宽。因为长方形的长等于圆柱体的底面周长，长方形的宽是圆柱体的高，所以圆柱体的侧面积=长方形的面积=底面周长×高。
师：你们会计算圆柱体的底面周长吗？
生：底面周长是πd或者2πr。
师：你们会用字母表示圆柱体侧面积的计算公式吗？
生：圆柱体的侧面积=πdh，或者圆柱体的侧面积=2πrh。 在这个教学片段中，教师通过几个递进性的数学问题，从长方形的长、宽与圆柱体的比较，到圆柱体侧面积的计算公式，再到最后的字母表达式，即从具体到抽象的过渡，这样的教学设计符合六年级学生的认知思维，也符合圆柱体侧面积知识的发展过程。
四、在应用中解决圆柱体的侧面积
小学生学习数学知识的最终目的是用数学知识解决生活中的问题。当学生运用圆柱体侧面积知识解决生活中的数学问题时，他们要经历整理和分析题目数学信息、列式和计算问题答案等综合过程，最终提高学生的解决问题能力，发展他们的数学眼光。
师：这节课我们学习了圆柱体侧面积的知识，请大家拿出学习单，完成学习单中的问题。
（学生完成学习单中的问题，教师适当巡视指导练习中有困难的学生，并记录学生的困惑）
师：第一题，一种圆柱体的罐头，底面的直径是11厘米，高是15厘米。它的侧面有一张商标纸，商标纸的面积大约是多少平方厘米？（接头处忽略不计）
生：商标纸的面积=11πh=11π×15=165π（平方厘米）。
师：第二题，少先队队鼓是圆柱形的，侧面由铝皮围成，上、下底面蒙的是羊皮。做这样一个队鼓，至少需要铝皮多少平方分米？羊皮呢？
生：在图上，我们知道了少先队队鼓的直径是6分米，高是2.6分米，铝皮就是圆柱体的侧面面积，列式是πdh=π×6×2.6=15.6π（平方分米）。羊皮就是上、下两个圆的面积，列式是2πr2=2π×3×3=18π（平方分米）。
师：第三題，用白铁皮做一根长2米、管口直径0.15米的圆柱形通风管，至少需要白铁皮多少平方米？
生：白铁皮用了多少就是指圆柱形通风管的侧面积，列式是πdh=π×0.15×2=0.3π（平方米）。
在这个教学片段中，教师采用了生活中有关圆柱体侧面积的情境，不仅能让学生在计算过程中熟练掌握圆柱体侧面积的公式，还能促使他们体会到数学在生活中的应用价值，这会激发他们学习数学的积极性，让他们努力用数学来解决生活中遇到的未知问题。
总之，圆柱体侧面积这节课的教学不仅仅是让学生会背诵和套用公式那么简单，教师在课堂上要引导学生重点经历这个公式的推导过程 [3]。唯有这样“授人以渔”的数学课堂，才会激发学生的数学思考，才会产生学生间的思维碰撞，才会加深对知识的理解和掌握，才会自主地应用到相关知识上，最终生长为学生自身的知识，应用到解决生活问题中去，这才是学习数学的最大价值。
参考文献：
[1] 周有英. 培养学生探究能力的课堂教学研究——《圆的面积》教学设计与思考[J]. 数学教学通讯，2019（04）：22-23.
[2] 黄怡. 小学数学教学中体现操作活动思维性的案例对比分析[J].小学数学教师，2018（05）：64-67.
[3] 陈新涛. 教学合一：让探究真实发生——“认识100以内的数”两次试教有感[J]. 教育视界，2018（08）：62-63.