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1 2007年高考数学全国卷综析
2007年全国高考数学试题全国卷Ⅰ［河北、河南、山西、广西］、全国卷Ⅱ［贵州、黑龙江、吉林、云南、甘肃、新疆、内蒙古、青海、西藏］紧扣2007年全国高考数学考试大纲，注重对考生综合能力的考查，试卷结构稳定，稳中求变，稳中有新，知识覆盖面广，重点突出，平而不俗，淡中见奇. 试题科学、规范，重点考查了中学数学的通性通法，同时还加强了对数学核心能力的考查. 具体体现在：
1.1试卷结构
2007年高考数学试题全国卷Ⅰ、Ⅱ与2006年的高考试题相比，在题量上仍保持不变，各种题型个数没有发生变化，但填空题和解答题的分值做了调整. 选择题仍为12道，共60分；填空题仍为4道，分值由16分调整为20分；解答题仍为6道，但分值由74分调整为70分，第17题由12分调整为10分，第22题由14分调整为12分，第18～21题每题仍为12分. 显然试卷加大了填空题分值的比例，减小了解答题分值的比例，选择题、填空题、解答题的分值比调整为60∶20∶70，如此调整后基础题所占比例增大，考生更易得分.
1.2知识覆盖
我们深知，每年的高考数学试题都会继承上一年试题的风格，保持特色，取其所长，保持试题“有效度”的连续性，这样能稳定考生情绪，推动中学素质教育向纵深发展. 2007年高考数学试题全国卷Ⅰ、Ⅱ的命题遵循了中学数学教学大纲和考试大纲，没有偏题、怪题和存心整学生的刁题，可以说每位考生对任何一道题都“似曾相识”. 考查的知识覆盖了教学大纲中的大部分内容且涉及到必修的每一章内容，试卷对复数、二项式定理、排列组合、线性规划、平面向量等内容均有所考查，全国卷Ⅱ还涉及到了正态分布，涉及面广而且分布合理. 其次，今年高考数学全国卷Ⅰ、Ⅱ的一个显著特点是增加了填空题的分值，旨在增加考查基础知识在全卷中所占比例，试卷中选择题和填空题的前几题，解答题的前三题均注重考查基础知识、基本技能和基本方法，突出三基，强化三基，有利于促进学生的全面发展，实施素质教育.
1.3主干考查
2007年高考数学试题全国卷Ⅰ、Ⅱ突出了对高中数学主干知识的考查，以重点知识构建试题的主体，在代数部分着重考查函数、数列、三角函数等内容，立体几何解答题以四棱锥为载体，主要考查了线线垂直、线面平行、点面距、线面角、面面角和的求法，解析几何对椭圆、双曲线、抛物线均进行了考查，且围绕直线和圆锥曲线的位置关系这一重点来设计试题，而且就整个试卷来说，重点考查向量与立体几何、函数与导数、概率统计等新增数学知识，充分体现了学科内知识之间的综合，如函数、导数、数列、不等式的综合，直线与圆锥曲线的综合等，不过全国卷Ⅰ对平面向量的考查有所降低.
全国卷Ⅰ、Ⅱ中，试题涉及代数内容的有8道选择题、3道填空题、4道解答题，共占101分（集合与函数20分，三角与向量25分，数列17分，排列组合概率22分，导数与复数17分），涉及立体几何内容的有1道选择题、1道填空题、1道解答题，共占22分；涉及解析几何内容的有3道选择题、1道解答题，共占27分. 代数、立体几何、平面解析几何三部分所占比例大致为101∶22∶27（当然也包含交汇部分），充分体现了考试大纲的要求，分布较为合理.
1.4难度控制
2007年高考数学全国卷Ⅰ、Ⅱ中的选择题、填空题以及解答题入口题的难度较往年均有所下降，考生答题容易入手，计算量也较小，只要概念清楚、基础知识掌握得扎实，就能够顺利得到基本分数. 试题整体安排由易到难，对于较难试题均采用了分步设问，使考生容易得到基本分，有充足的时间对解题思路进行探索，比较有利于不同程度考生的正常发挥，这无疑增强了考生答题的自信心，体现了和谐社会的人为关怀.
1.5学科特征
从2005年开始教育部考试中心就特别强调数学学科的考试要体现数学科的学科特点，也就是说数学考题应该有数学学科的味道，2007年高考数学全国卷Ⅰ、Ⅱ继续重点凸现了数学学科的特点〔①概念性.比如全国卷Ⅰ理科题（2）和全国卷Ⅱ理科题(3)都是有关复数计算的题目，但它不是一个单纯的计算，而是首先要对复数的相关概念有一个正确的理解，才能够知道题目究竟应该从什么地方切入，从什么地方通过什么样的步骤来加以解决.又如全国卷Ⅰ理（11）、文(12)题，都要正确地运用抛物线的定义，也就是抛物线上每一点都具有到焦点和准线等距离的性质，这是定义，也就是抛物线的基本属性.所以，这些题都体现了对数学概念的考查.再如全国卷Ⅰ文、理（9）题也都是考查函数奇偶性的概念.②思辨性.比如全国卷Ⅰ理科(5)题，给了两个集合之间有一个相等的关系，然后让考生来判断其中每一个字母的取值，在这个过程中就要辨别每个字母取值的可能性，怎样加以肯定，又怎样加以否定.它要求考生既要能够否定掉不合题意的结论，又要能够从正面得出符合题意的结论，这本身就是一个思考和辨别的过程.再如全国卷Ⅰ理科（16）题，要求在一个正三棱柱每一个侧棱上找一个点，构成等腰直角三角形，在这个基础上进行计算.这个时候我们要考虑这个等腰直角三角形中哪两条边作为直角边，哪一条边作为斜边.这个过程当中考生要做出一个合理的判断（思考、辨别、选择）才能将这个题进行正确计算.③量化突出.比如全国卷Ⅰ文(16)、理(15)题，涉及等差数列和等比数列，它不是说简单地套一个求和公式或者通项公式来完成计算，而是首先要搞清楚量与量之间有一些什么关系，把这个关系搞清楚了才能正确地选择如何着手进行计算〕.
1.6解法多样
2007年高考数学全国卷Ⅰ、Ⅱ中有相当一部分题目都是一题多法，而每一种解法往往出现解题所耗用的时间、解题的速度等等各个方面的差异. 这样的题如果考生只是用自己最熟悉的简单的机械方法照搬去做，可能就要花很长的时间运算. 而相反，如果考生把这个题中间的各项关系都搞清楚了，这时做起来就可能事半功倍.
由此说明，题虽平常，解法却可以不平常，这样就能给各种不同类型的考生提供展示自己能力的机会.
1.7能力考查
重视数学思想方法的考查，已是高考数学命题多年来一直坚持的方向，并且提炼出中学数学的一些比较基本的数学思想和方法，以各种不同的层次融入试题中，通过考生对数学思想方法的直接运用，来对考生的数学能力进行区分. 2007年高考数学试题全国卷Ⅰ、Ⅱ坚持了对函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归转化思想、特殊与一般思想、有限与无限思想、或然与必然思想等数学思想方法的考查，其中对前四种思想的考查涉及试题最多，进行了重点考查，充分体现了数学思想方法是数学精髓的理念. 另外，试卷在加强基础知识考查、降低难度的同时，注重考查考生综合应用数学知识的能力，试题坚持注重对通性通法的考查，充分体现出以“突出能力立意”来命制试题（以能力立意，就是从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，对知识的考查倾向于理解和应用，特别是学科内知识的综合性和灵活性运用，综合解题能力的培养，注重培养考生收集处理信息的能力、语言文字的表达能力及建模能力，数学不仅仅是一种重要的工具或方法，更重要的是一种思维模式，表现为数学思想，高考数学提出“以能力立意”命题，正是为了更好地考查数学思想，促进考生数学理性思维的发展，提高考生的综合数学素养的要求）.
1.8文理区分
2007年高考数学试题全国卷Ⅰ、Ⅱ充分注意到文、理科考生的特点，真正体现出了文科、理科试卷的差异，全国卷Ⅰ中文理选择题有6道题不同，填空题有2道题不同，解答题只有19题完全相同，将理科21题作为文科的22题，第17题第（Ⅰ）问相同，第（Ⅱ）问不同，其余三道对概率、数列、函数与导数考查的解答题均不相同；全国卷Ⅱ中文理选择题有8道题不同，填空题有3道题不同，解答题也只有3题完全相同. 这些都体现了对文、理科考生不同的教学要求的考查目标，同时根据文、理科考生继续学习深造的不同特点，尤其是考虑到高校金融、经济类专业对数学的要求，命题更有针对性，文科试卷更多地侧重于常用的推理方法和数值的计算，理科试卷则注重考查数学推理和理性思维.
2 2007年高考数学全国独立命题省（自治区）市卷概览
我们再来横纵对比分析一下2007年高考18个独立命题的省（自治区）市数学卷（其中海南、宁夏由教育部考试中心命制），不难发现，和全国卷Ⅰ、Ⅱ一样，这些试卷都充分遵循了教育部《考试大纲》中“发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查考生必须掌握的中学数学知识和方法，又注重考查考生进入高等学校继续学习的潜能”的总体要求，贯彻“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，在突出考查考生基础知识的基础上，注重了对数学思想和方法的考查，注重了对数学能力的考查，注重了试题间的层次性，合理调控了试题难度，考点设置合理，试题表述简洁，较好的体现了在知识网络的交汇点处命题、在思想方法的交织线上命题、在能力层次的交叉区内命题的高考数学命题指向，多视点、多角度、多层次地考查了考生继续学习所应具备的数学素养和潜能，有利于高校选拔优秀学生，也有利于稳定中学数学教学，对中学数学教学发挥了积极的导向作用. 另外，2007年高考也是广东、山东、海南、宁夏这四个课改区新课标开考的第一年，这几个省（自治区）的高考数学卷都坚持了能力立意，注重以知识为载体来重点考查考生的数学能力与数学素养，加强了对考生思维能力的考查，控制了试题的计算量，加大了试题的思考量. 山东卷的试卷结构与2006年相同（但内容有所变化）；广东卷不光是试题内容有所改变，试卷结构也作了部分调整，选择题由2006年的10道减为今年的8道，相应的分数也从50分下调为40分，文科未作改变；而填空题理科则增加了三选二的选做题，由2006年的4题增加到今年的7题（只选做6题），因此分数比去年增加10分，文科增加了二选一的选做题，由2006年的4题增加到今年的5题（只选做4题），分数和2006年相比未作改变；解答题的题量和分值未作改变；海南、宁夏共用文、理两套试卷，其试卷结构与今年全国卷Ⅰ、Ⅱ相同，但内容有所改变. 虽是如此，但新课标数学试题还是成功地平移到了新课标的舞台上，不但做到了平稳过渡，而且还处处体现着新课标，几乎每个新考点都有所体现，探究创新是这几套新课标高考试题的灵魂，也是对考生的基本要求，试卷中除增加了新课标的内容外，在创新方面也作了大胆尝试，更加注重实际应用和问题探究. 如此看来，今年高考数学试题无论是全国卷还是地方卷或是新课标卷，在实情检验、教学考核、人才选拔三个主要方面都达到了非常完美的境界，师生评价良好，社会反响颇佳，这实为不易！
综观2007年全国高考各地文、理科数学试卷，笔者感受颇深的有以下五大“亮点”：
常规问题——推陈出新
应用题型——悄悄变脸
信息迁移——新旧融合
探索能力——动静交叉
思维能力——学科综合
3 2007年全国高考试题“亮点”品评
2007年全国高考数学全国卷和各独立命题的省市卷虽然平淡、平稳，但考查考生的学习潜能、创新意识和探究精神的“亮点”（主要指面貌比较新，即在设问的方式上、在情景的设置上等有一定的新意）试题不少，本文着重对此精选数例，同上次一样（编者注：本刊2007年第5期曾刊载过高慧明老师所著“2006年全国高考数学试题‘亮点’品评”一文），笔者仍然按照试题所涉及的数学背景知识进行分类解析品评，还是期望通过2007年高考命题的新变化推动中学数学教学（特别是新一轮高考复习课教学）改革和课程改革，引导中学数学教学向全面培养学生数学素养和能力的方向发展.
【点评】：本题是定义型的信息迁移题, 是排列组合与集合知识（集合的特征：确定性、互异性、无序性）的综合运用，首先要理解题意,问题才会变得简单,不重不漏是解题之关键.这类问题的立足点源于教材的基础知识、基本技能的认知水平,通过即时学习、即时理解和掌握新知识,命题的落脚点在于体现能力的迁移,把数学的学习能力、探究能力、应用能力和创造能力有机地结合在一起,从而检测考生进一步学习的潜能, 应该说此题区分度是较为明显的.
【点评】：本题有着高等数学里《近世代数》的深刻背景，设计新颖，主要考查考生对知识的迁移能力，能够很好地考查学生的知识水平和理解能力，此题融入了新教学大纲的理念，汲取了新课程中的新思想．
例3（2007福建文、理16）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意a∈A，都有a～a；
（2）对称性：对于a，b∈A，若a～b，则有b～a；
（3）传递性：对于a，b，c∈A，若a～b，b～c，则有a～c．
则称“～”是集合A的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：．
【解析】：此类题属新情境问题，答案不唯一．本题的参考答案是：向量相等、集合相等、角度相等、图形全等、图形相似、命题充要条件等.
【点评】：此题特别之处是以高等数学《近世代数》中的 “等价关系”的概念为背景，分析中学数学中的各种关系，从而考查考生的阅读理解能力，解答此题要求考生具有较强的联想类比能力.题设中提到了“相等关系”、“平行关系”(也是命题者的有意提示)，这就需要考生以此为思维起点，展开充分的联想，由“相等关系”想到：“复数相等”、“向量相等”、“集合相等”、“角度相等”、“图形相等(即全等)”、“ 图形相似”“命题相等(即充要条件)”等；由“平行关系”想到：“非零向量的平行”“平面平行”等.只需对这些关系一一分析，不难得出正确答案.
【点评】：此题是一道信息迁移题（属新定义型），交汇考查了代数中的集合、不等式与解析几何中的点集等知识，考查了考生将数学概念迁移到不同情景下的探究能力.这类题目的特点是命题者通过文字或图表等给出中学数学内容中没有遇到过的新知识，这些新知识可以是新概念、新定义、新定理和新规则、新情境等，并且这类题的解题信息有可能不直接给出，它要求解题者要通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移，即读懂新概念，理解新情境，获取有用的新信息，然后运用这些有用的信息进一步演算和推理，从而考查考生在新的信息和情境下，独立获取和运用新信息的能力、综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力.信息迁移题，由于信息呈现的方式不同，又可分为定义信息型、图表信息型、图像图形信息型等.
【点评】：此题以对数函数为载体，内容是函数知识和不等式知识的一个结合体，考查了导数有关的概念、计算和应用.利用导数工具研究函数的有关性质，不仅体现教材改革的一种理念，也是初等数学与高等数学一个很好的衔接点.该题解解答中融合了函数与方程思想，转化与化归思想，分类与整合思想（针对参数的取值对函数单调区间及对函数的极值产生影响的讨论）等这些考试大纲要求较高的数学思想方法，不但突出了能力的考查，同时也注意了对高考重点与热点的考查，达到了知识内容考查与思想方法考查相结合之目的. 对思维能力，尤其是理性思维有较高要求. 是整份试卷的难题，但是设计了第（Ⅰ）问后，使入口较易且分值得到了分散，第（Ⅲ）问，把导数应用于单调性、极值等传统、常规问题的同时，进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明.这一切对考查考生的应用能力和创新意识都大有裨益.
【点评】：本题以航海中的测量为背景（2007年全国高考海南、宁夏卷文理17题是测塔高），考查运用三角工具建立数学模型解决实际问题的能力.从题目选择的背景材料来看，密切联系了学生的社会常识，生活气息浓，有利于引导学生关注社会、参与实践.大胆地改革了传统三角函数的考试模式（山东卷对三角函数的考查，2005年是三角的化简求值，2006年是三角函数的图像和性质，今年文科17题是解三角形，理科20题是航海应用题），给解三角形问题赋予实际背景，在不过分追求形式翻新的同时，用古朴典雅的题目考查考生的应用意识，不过本质上还是解三角形.
【点评】：这道理科压轴题难度较大，考生要有较强的数学思维能力方可顺利解出.此题以伯努里不等式和勾股定理的拓展为背景，既将不等式和等式进行了巧妙结合，又将数学归纳法、数列求和、不等式中的放缩法、构造法、反证法等方法融为一体，同时还充分地考查了分类与整合的思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想、有限与无限的思想，本题的结论还蕴涵着勾股定理在连续整数下的多维推广，是一道既隐含着深刻的高等数学背景，又有着丰富的数学内涵和品味的综合试题.这样能使个性品质优秀、数学能力优异的考生通过此题脱颖而出. 本题没有涉及到复杂的变换技巧（以前高考试题中那些不等式内容中涉及到的复杂变换技巧和过于形式化的知识在这里有逐渐淡化处理的倾向），第（Ⅰ）小问着重考查数学归纳法的基本知识（其目的是强调数学归纳法作为证明数学命题的一种重要方法，有着极其重要的地位，考纲要求“理解其原理并能用数学归纳法证明一些简单的数学命题” ，我们应该不会忘记2004年、2005年高考湖北理科卷的最后一题也考查了数学归纳法的基础知识）；第（Ⅱ）小问是对第（Ⅰ）小问结论（贝努利不等式的特殊情形）的简单应用，要求考生能揭示第（Ⅰ）、（Ⅱ）问之间的联系并实施目标转化，考查学生的观察及探索能力，其目的在于体现“学数学，用数学”的理念；第（Ⅲ）小问是对第（Ⅱ）小问结论的综合应用，考查学生在新的信息背景下，综合运用数学思想和方法处理问题的能力. 而此问无法套用现成的思维模式去寻求解题思路和方法，所以需冷静地认清已知等式的数量特征关系并变换等式形式，发现上下问的关联并利用上一问的结论.本题三问层层递进、跨度适中、浑然一体. 由此我们不难看出，“合情推理，猜证结合”是新高考考查学生创新思维能力的重要形式，而寻求合理的解题思路和方法，破除模式化，力求创新是此类试题的显著特点，本题体现得尤为突出.
【点评】：本题表象上虽是以直线和圆的位置关系为背景，主要考查直线方程的截距式、组合等基础知识，但内层涉及的基础知识较多，数的方面有：圆的方程、截距不为零的直线方程、勾股数、组合数等；形的方面有：整点、过圆上一个整点的切线、过圆上两个整点的直线、去掉过原点的直线、平行于坐标轴的直线等.所以是名副其实的“小题不小”的题，也是难题. 解本题的基本功体现在综合分析本题涉及的数与形的特点及其运用的能力层面上，要有较好的逻辑思维能力和计数能力方可顺利解出.不过本题虽然涉及的知识面广，但各层次的考生都能动手，只是不犯一点错误却是很不容易的，题不难但区分度较高，所以笔者认为此题是一道难得的好题.
例24（2007山东文19）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
【点评】：本题是一个背景新颖〔以社会经济活动为背景（线性规划中的电视广告背景）〕的应用问题，和今年的山东理科（20）题一样，都以平时的背景考查学生的应用能力，这种处理方式对试卷总体难度的稳定起到了保障作用．这些应用题展示了数学应用的广泛性，体现出数学与传统的、现代的文化的交融，反映出数学来源于社会现实又为社会实践服务的基本事实. 这些应用题的设计和考查，提高了考生学好应用问题的积极性，同时对运用所学数学知识分析问题和解决问题的能力进行了有效的检测.
4备注
● 2007年高考数学“亮点”试题不少，除这45道外，还有像湖南卷理科15题，将杨辉三角中的奇数换成1、偶数换成0作素材，考查考生的归纳推理能力；上海卷理科21题，定义新的“果圆”概念，考查椭圆的基础知识、两点间的距离、二次函数的最值求法，另外此题将一个基本图形经过“嫁接”，创造出一个新图形，向考生展示了数学的奇异与美妙，使考生获得了精神享受，设计真是别出心裁，值得回味；……限于篇幅，在此不再一一赘述.
●45道“亮点”试题的命题特点：继续在考查基础知识的同时，注重对数学思想和方法的考查，突出以能力立意，融知识、能力与素质于一体，全面检测考生的数学素养，对知识的考查侧重于理解和应用，而不是简单的重现，特别注重知识的综合性和灵活性应用. 这些考题仍然是课本例题习题、复习资料、模拟试题中比较少见的新颖题目，命题的落脚点还是知识之间的交汇、渗透与整合〔常见的题型是新信息迁移题或常规考点适当包装题或常规考点的组合联袂题或能力立意题（知识虽新鲜，能力不超纲）等等〕.
●45道“亮点”试题还是主要侧重如下几方面的能力立意：阅读审题、估算判断、数形结合、自主探究能力、逻辑推理能力等.
●45道“亮点”试题虽然比较新颖，但是就其解决问题所用到的知识和方法来说，仍然没有超出考生所熟悉的范围.所以，应该说这样的题目大多考生应对起来还是比较顺利的.
●45道“亮点”试题仍然紧扣课本，万变不离其宗.所以在平时的教学中我们还是应该立足于课本，狠抓对基本概念和基础知识的理解与掌握，引导学生自觉培养并形成良好的思维素质和学习习惯至关重要.
5 2008年高考数学命题展望与复习对策
知识、方法、思想和能力交融的试题是2007年全国高考各套数学试卷的主旋律，这无疑给当前中学数学复习备考的“异化”现象进一步敲响了警钟，对促使中学数学教学回归到数学教育发展的主方向上来，起到了鲜明的导向作用. 为此，面对2008年高考我们高三师生至少应该牢固地把握住：
5.1原则
高考数学有效复习应抓好常规三原则：
（1）基础性原则（要求在第一轮复习中，能够系统地掌握基本知识与基本方法，并初步形成基本技能）；
（2）网络化原则（考虑到高考试题命题方式，多在知识交汇点处设计试题，提倡加深对重点知识的理解，并能挖掘出其中的联系）；
(3) 统揽性原则（强调以《考纲》、《考试补充说明》为复习指导，否则我们会陷入无视《考纲》、《考试补充说明》重要性的误区）
5.2基础
近几年高考数学命题特别注重考查考生的“数学基础知识基本技能和数学思想方法、数学本质的理解水平”的命题原则，2007年文理科多数试题都是以考生较为熟悉的面孔出现，坚持从基础知识、基本方法、重点内容出发编制试题，体现化归思想和模式识别的解题策略. 2004年至今从教育部考试中心到独立命题省市的全国高考各套数学试卷对引导高中数学教学“回归数学、夯实基础”，遵循大纲的宗旨和意图，全面而扎实地学好教材中的基础知识，对避免“为考而教、不考不教”的普遍现象起到了很好的导向和点拨作用.所以可以肯定地说2008年将会延续这些成功的做法，将突出考查学生的运算、逻辑推理、空间想象等各种数学素养，因此我们在复习时要更加注意基本知识、基本方法、基本能力的掌握和提升.
5.3考纲
高考作为一种选拔性的考试，它的主要目的是为了选拔有潜能的新生进入高等学校继续学习.就数学学科来讲，无论是文科学生还是理科学生，进入高等学校以后都要进一步学习高等数学，而高等数学和我们中学所学的数学，不是重复的关系，而是完全递进的关系.所以我们在高中所教学的内容当中，有些内容只要求一般性的知道、了解就可以了.对此高考题往往设计的难度就比较低.但如果说对今后进入高等学校学习依然要发挥重要作用的问题，高考题就设计得有一定的难度、一定的运算量、一定的过程，所以，我们在今后教学过程当中不光要求学生只埋头做题，还要很好地关注数学学科教学大纲、考试大纲和高考命题的思路、命题的原则，在今后学习当中应该通过近几年来的高考试题（“它们是最好的复习题” ！，因为这些高考题往往会成为新一年高考命题的借鉴，所以最值得研究）去认真地思考哪些内容是作为高中数学最重要的、最具有数学本质的，这些地方我们就需要花更多的力量，需要做更多的训练，需要做更多的思考，而且要在这方面提高学生的能力.
5.4教材
在以思维能力为核心，全面考查各种能力的命题导向下，近几年的高考试题越来越突出贴近教材考双基的风格.许多题目取材于课本的基本题或基本题的改造，即使是综合题也是由若干个基础题的整合加工而成，可以清楚地看到，文、理科试卷源于教材的试题、题量和分值逐年递增，这再一次警示我们：抓纲务本才是真.
5.5文理
通过“增加容易题，减少把关题，降低试题入口难度”的做法，适度降低了文科试题的难度（数学文史的题型一般是比较稳定的，难度要求不会太高，而且从2007年试卷来看，以后也不会出现太多“怪题”，所以2008年文科数学复习我们应主要围绕高中阶段的重点知识进行复习，对重点知识进行常规的考查），这种命题指导思想有利于高考文科选拔新生，又有利于稳定中学文科数学的教学秩序.
5.6课改
新课标地区2007年的高考数学试题保留了传统特点（重视基础知识），尤其对新课程中的新增内容和传统内容做到了有机结合，考查也更加科学、规范和深化，特别注重实用性.特点之一是“创新”，其中，首次出现数学学科中比较“前沿”的“线性回归方程”、“算法和框图”、“三视图”等试题，这些内容都是在新课改中出现的，但以往高考没有涉及过，甚至很多老师和考生也没有预测到会出这类题目. 总的看来，个别题目虽然“前沿”，但难度适中，有些大题中给考生列出了相关的背景知识和计算公式，对考生的考查主要是体现在应变能力上. 特点之二是应用题从以往的“理论型”向“应用型”转变（非新课标地区的高考也有类似“变脸”）.题目涉及了一些实用性很强的“数理统计”，往往可以套用到企业的生产过程，比如广东卷文科18题就是计算企业生产减少的能耗,还有一些内容也与生活贴近，又与统计、会计等知识一脉相承.这种出题思路的改变非常符合现阶段我国的国情，体现数学与国民经济的关系日益密切.以上两点值得我们密切关注.另外，广东卷、海南和宁夏卷中还首次出现了选做题，这无非给考生提供了一个广阔公平的选择空间，更有利于国家不拘一格降人才. 可以断定2008年新课标卷的命题将在稳定中进一步深化！
5.7导向
（1）突出知识主干考查，注重知识综合运用.以重点知识构建试题的主体，以知识网络的交汇点作为设计的起点与着力点，借以实现全面考查数学基础和数学素质的目标.近几年来在每套高考试题（无论是独立命题的省市卷还是全国卷）后面的四个大题当中，都有一些步骤或者一些具体的小问，在设计上有一定的难度，或者是在思维上，或者是在运算上，都会遇到一些综合性比较强、运算过程相对比较复杂、运算量较大等等情况，用以体现高考试题多题把关、提高区分度这样一种作用.所以，这一点有可能使得考生觉得好像比较难，但是实际操作时只要冷静地分析一下，总体难度并不会有明显的特别突出的变化.
（2）重视数学思想方法的考查.
（3）深化能力立意思想，展现创新意识空间．
（4）注重理论联系实际，树立数学应用意识.继续出现贴近书本、贴近生活与生产实际的应用题.
（5）对新增内容（向量、线性规划、概率与统计、导数等）考查保持一定的比例，支持课程改革.
（6）试题类型保持稳定，试题难度达到期望.
5.8预测
笔者认为，2008年高考数学命题趋向：考查内容基础全面，命题形式新颖别致，题型格局不断创新，选拔功能充分体现.适当增加开放性的试题数量，鼓励有创造性答案，命题更加注重知识的网络化，仍然不刻意追求知识的覆盖面.
（1）函数部分的考查，常见的题型主要有两类：一是考查具体函数；二是考查抽象函数，这种题型较难，而通过找到一个符合条件的常见函数作为解决本类题的突破口是一个不错的方法. 函数题型经常和不等式、数列放在一起进行考查，二次函数以及二次方程、二次不等式、等差数列求和公式之间的关系经常是考查的重点.注意两个趋势：以导数知识为背景的函数问题和以向量知识为背景的函数问题.在考查形式上：从具体的函数的考查转向抽象函数的考查；重结果考查转向重过程考查；从熟悉情景的考查转向新颖情景的考查.
（2）不等式部分的内容多与函数、数列、解析几何交叉渗透考查，特别注意与导数方法的整合，解不等式往往带有字母，需要讨论，还需要掌握转化、数形结合等方法以及函数与方程的思想和八种常见不等式的一般解法.证明不等式要善于分析不等式的结构特征和寻找已知求证之间的差异，从中找到与相关定理的联系来作为解决问题的突破口.
（3）数列部分，小题以考查等差数列和等比数列的性质为主，大题则体现探究性与综合性,Sn与an之间的关系经常是考查的重点，需要灵活应用数列求和的几种方法，如并项、裂项、错位相减等常用方法必须掌握，注意对q的讨论（这是个难点），要掌握三种基本极限以及极限的四则运算法则，能够把所给的极限转化为基本极限的形式.
（4）三角函数部分，三角问题主要有两种形式：一是求较为复杂的三角函数表达式的某些性质；二是三角形中有关边角的问题.凡是三角公式变换的问题都可以从分析角、函数类型和结构特征这三个方面的差异作为入手解题的突破口，三角函数与平面向量的“交汇”是高考命题的热点.
（5）概率与统计部分，理科重在对数学期望、方差、正态分布的考查，文科则偏向古典概率的计算，特别注意概率统计作为应用题入卷，很可能引入传统应用题的背景.
（6）平面向量、导数、概率等新增内容已成为当今高考命题的“新宠”，请老师和同学们高度重视，导数、向量和其他数学知识组块的整合力度有加大的趋势，2008年高考将会继续保持有一个大题考核函数与导数的综合运用.（7）立体几何考查的趋势为所给模型多为正交模型，9A、9B方法要灵活选用，平行、垂直的判定与性质、空间所成角及距离是主要内容，要熟知相关定理及位置关系转化的一般规律.垂直是考查的重点，转化是重要的方法，角、距离的计算最后都转化到一个三角形中进行.
（8）解析几何部分，中点、弦长、轨迹是经常考查的问题，含参数的范围问题是难点，其趋势仍是将向量知识与解析几何知识整合，直线与圆锥曲线的方程、有关性质以及相互位置关系问题是重要内容.
（9）应用题：以考查概率、导数、数列、不等式、函数、线性规划为主.通常把现代生产、现实生活、现代科技、社会热点问题作为背景的数学应用问题是高考热点之一，题目往往不是很难，关键是考查对题目信息的理解能力和问题数学化的分析解决能力.
5.9措施
备战2008年高考，我们应该：
（1）以“纲”（考试大纲）为纲，研究高考，明晰高考要求（研究《考试大纲》，重点是研究考试要求和考试内容.考试要求又分为对数学学科考试性质的要求、具体考试内容的要求等几部分，同时还应特别注意考试要求中2008年与2007年有哪些发生了变化，哪些未变.变化的意图何在？预示着什么等等.对每一条要求要明确具体的内容和要求的程度，要对其含义有深刻的理解.在研究考试要求时还要研究2007年的考试要求的相关内容，并研究当年的高考试题中是如何体现这些要求的，这样可为研究2008年的考试要求提供参考.考试内容的研究重点放在对考试内容的考试要求上，看《考试大纲》中对具体内容的考试要求的层次，并研究在高考试题中是如何体现的等等），研究教材（对教材主干知识的研究、典型例习题的研究、教材中知识之间的内在联系、隐藏的数学规律、数学思想与方法的研究和高考试题与教材联系的研究.通过对教材的研究使学生吃透教材，过好三关：概念关、公式定理法则关、例习题关），恰当确定复习的标高，引导学生构建知识网络体系，指导学生制定复习计划、明确复习目的、确定复习重点.
（2）重视数学思想和数学方法的训练，强化思维过程，提高理性思维能力，注重通法，兼顾特技，掌握常用解题方法和策略.立体几何问题要注意9A、9B方法互补，对于选择题、填空题，要灵活应用间接法.其中包括筛选法、赋值法、图解法、验证猜想法、综合分析法等.“方法活则易，方法不当则难”，灵活解题是提高准确率与答题效率的重要途径.
（3）研究四类重要试题：《考试大纲》例题和样卷、教育部考试中心测试题、2008年春季高考试题、2007年全国及各省市高考试题（对高考试题的研究可将这些试题集中起来，分为选择题、填空题和解答题三种类型进行研究.研究的主要内容为：考了哪些知识？以哪种题型和方式考的？考到了什么程度？哪些知识考试的频率高，哪些较低？哪些知识综合的程度高，它与哪些知识进行了综合？以什么方式综合的？这些题型和考查方式体现了《考试大纲》哪种要求，这些题型和内容与教材有何联系？等等）.
（4）指导学生处理好课本与复习资料、课内与课外、做题与总结和提炼解题规律的关系，切记：抓纲务本才是真.
（5）关注高考新颖题型.
（6）提高运算能力.
（7）注意审题.
（8）严格解题规范.
（9）以错纠错，查漏补缺（很多学校的成功做法：每位学生准备一本或几本“错题本”，将做错的试题集中起来并订正、标注错因等，以便在高考前细细品味）.
（10）提高学生的应试技能.考试是一门学问，要把平时考试当作高考，从心理调节、时间分配、节奏的把握以及整个考试的运筹诸方面不断调试，逐步适应.
5.10答题
由于试题难度的科学调整，良好的书写习惯和学习态度可能是评卷考虑的要素之一.书写工整、表达规范、步骤条理、过程完善将成为得分与否的重要因素.因此，高考复习过程中不可忽视这些细节.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
2007年全国高考数学试题全国卷Ⅰ［河北、河南、山西、广西］、全国卷Ⅱ［贵州、黑龙江、吉林、云南、甘肃、新疆、内蒙古、青海、西藏］紧扣2007年全国高考数学考试大纲，注重对考生综合能力的考查，试卷结构稳定，稳中求变，稳中有新，知识覆盖面广，重点突出，平而不俗，淡中见奇. 试题科学、规范，重点考查了中学数学的通性通法，同时还加强了对数学核心能力的考查. 具体体现在：
1.1试卷结构
2007年高考数学试题全国卷Ⅰ、Ⅱ与2006年的高考试题相比，在题量上仍保持不变，各种题型个数没有发生变化，但填空题和解答题的分值做了调整. 选择题仍为12道，共60分；填空题仍为4道，分值由16分调整为20分；解答题仍为6道，但分值由74分调整为70分，第17题由12分调整为10分，第22题由14分调整为12分，第18～21题每题仍为12分. 显然试卷加大了填空题分值的比例，减小了解答题分值的比例，选择题、填空题、解答题的分值比调整为60∶20∶70，如此调整后基础题所占比例增大，考生更易得分.
1.2知识覆盖
我们深知，每年的高考数学试题都会继承上一年试题的风格，保持特色，取其所长，保持试题“有效度”的连续性，这样能稳定考生情绪，推动中学素质教育向纵深发展. 2007年高考数学试题全国卷Ⅰ、Ⅱ的命题遵循了中学数学教学大纲和考试大纲，没有偏题、怪题和存心整学生的刁题，可以说每位考生对任何一道题都“似曾相识”. 考查的知识覆盖了教学大纲中的大部分内容且涉及到必修的每一章内容，试卷对复数、二项式定理、排列组合、线性规划、平面向量等内容均有所考查，全国卷Ⅱ还涉及到了正态分布，涉及面广而且分布合理. 其次，今年高考数学全国卷Ⅰ、Ⅱ的一个显著特点是增加了填空题的分值，旨在增加考查基础知识在全卷中所占比例，试卷中选择题和填空题的前几题，解答题的前三题均注重考查基础知识、基本技能和基本方法，突出三基，强化三基，有利于促进学生的全面发展，实施素质教育.
1.3主干考查
2007年高考数学试题全国卷Ⅰ、Ⅱ突出了对高中数学主干知识的考查，以重点知识构建试题的主体，在代数部分着重考查函数、数列、三角函数等内容，立体几何解答题以四棱锥为载体，主要考查了线线垂直、线面平行、点面距、线面角、面面角和的求法，解析几何对椭圆、双曲线、抛物线均进行了考查，且围绕直线和圆锥曲线的位置关系这一重点来设计试题，而且就整个试卷来说，重点考查向量与立体几何、函数与导数、概率统计等新增数学知识，充分体现了学科内知识之间的综合，如函数、导数、数列、不等式的综合，直线与圆锥曲线的综合等，不过全国卷Ⅰ对平面向量的考查有所降低.
全国卷Ⅰ、Ⅱ中，试题涉及代数内容的有8道选择题、3道填空题、4道解答题，共占101分（集合与函数20分，三角与向量25分，数列17分，排列组合概率22分，导数与复数17分），涉及立体几何内容的有1道选择题、1道填空题、1道解答题，共占22分；涉及解析几何内容的有3道选择题、1道解答题，共占27分. 代数、立体几何、平面解析几何三部分所占比例大致为101∶22∶27（当然也包含交汇部分），充分体现了考试大纲的要求，分布较为合理.
1.4难度控制
2007年高考数学全国卷Ⅰ、Ⅱ中的选择题、填空题以及解答题入口题的难度较往年均有所下降，考生答题容易入手，计算量也较小，只要概念清楚、基础知识掌握得扎实，就能够顺利得到基本分数. 试题整体安排由易到难，对于较难试题均采用了分步设问，使考生容易得到基本分，有充足的时间对解题思路进行探索，比较有利于不同程度考生的正常发挥，这无疑增强了考生答题的自信心，体现了和谐社会的人为关怀.
1.5学科特征
从2005年开始教育部考试中心就特别强调数学学科的考试要体现数学科的学科特点，也就是说数学考题应该有数学学科的味道，2007年高考数学全国卷Ⅰ、Ⅱ继续重点凸现了数学学科的特点〔①概念性.比如全国卷Ⅰ理科题（2）和全国卷Ⅱ理科题(3)都是有关复数计算的题目，但它不是一个单纯的计算，而是首先要对复数的相关概念有一个正确的理解，才能够知道题目究竟应该从什么地方切入，从什么地方通过什么样的步骤来加以解决.又如全国卷Ⅰ理（11）、文(12)题，都要正确地运用抛物线的定义，也就是抛物线上每一点都具有到焦点和准线等距离的性质，这是定义，也就是抛物线的基本属性.所以，这些题都体现了对数学概念的考查.再如全国卷Ⅰ文、理（9）题也都是考查函数奇偶性的概念.②思辨性.比如全国卷Ⅰ理科(5)题，给了两个集合之间有一个相等的关系，然后让考生来判断其中每一个字母的取值，在这个过程中就要辨别每个字母取值的可能性，怎样加以肯定，又怎样加以否定.它要求考生既要能够否定掉不合题意的结论，又要能够从正面得出符合题意的结论，这本身就是一个思考和辨别的过程.再如全国卷Ⅰ理科（16）题，要求在一个正三棱柱每一个侧棱上找一个点，构成等腰直角三角形，在这个基础上进行计算.这个时候我们要考虑这个等腰直角三角形中哪两条边作为直角边，哪一条边作为斜边.这个过程当中考生要做出一个合理的判断（思考、辨别、选择）才能将这个题进行正确计算.③量化突出.比如全国卷Ⅰ文(16)、理(15)题，涉及等差数列和等比数列，它不是说简单地套一个求和公式或者通项公式来完成计算，而是首先要搞清楚量与量之间有一些什么关系，把这个关系搞清楚了才能正确地选择如何着手进行计算〕.
1.6解法多样
2007年高考数学全国卷Ⅰ、Ⅱ中有相当一部分题目都是一题多法，而每一种解法往往出现解题所耗用的时间、解题的速度等等各个方面的差异. 这样的题如果考生只是用自己最熟悉的简单的机械方法照搬去做，可能就要花很长的时间运算. 而相反，如果考生把这个题中间的各项关系都搞清楚了，这时做起来就可能事半功倍.
由此说明，题虽平常，解法却可以不平常，这样就能给各种不同类型的考生提供展示自己能力的机会.
1.7能力考查
重视数学思想方法的考查，已是高考数学命题多年来一直坚持的方向，并且提炼出中学数学的一些比较基本的数学思想和方法，以各种不同的层次融入试题中，通过考生对数学思想方法的直接运用，来对考生的数学能力进行区分. 2007年高考数学试题全国卷Ⅰ、Ⅱ坚持了对函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归转化思想、特殊与一般思想、有限与无限思想、或然与必然思想等数学思想方法的考查，其中对前四种思想的考查涉及试题最多，进行了重点考查，充分体现了数学思想方法是数学精髓的理念. 另外，试卷在加强基础知识考查、降低难度的同时，注重考查考生综合应用数学知识的能力，试题坚持注重对通性通法的考查，充分体现出以“突出能力立意”来命制试题（以能力立意，就是从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，对知识的考查倾向于理解和应用，特别是学科内知识的综合性和灵活性运用，综合解题能力的培养，注重培养考生收集处理信息的能力、语言文字的表达能力及建模能力，数学不仅仅是一种重要的工具或方法，更重要的是一种思维模式，表现为数学思想，高考数学提出“以能力立意”命题，正是为了更好地考查数学思想，促进考生数学理性思维的发展，提高考生的综合数学素养的要求）.
1.8文理区分
2007年高考数学试题全国卷Ⅰ、Ⅱ充分注意到文、理科考生的特点，真正体现出了文科、理科试卷的差异，全国卷Ⅰ中文理选择题有6道题不同，填空题有2道题不同，解答题只有19题完全相同，将理科21题作为文科的22题，第17题第（Ⅰ）问相同，第（Ⅱ）问不同，其余三道对概率、数列、函数与导数考查的解答题均不相同；全国卷Ⅱ中文理选择题有8道题不同，填空题有3道题不同，解答题也只有3题完全相同. 这些都体现了对文、理科考生不同的教学要求的考查目标，同时根据文、理科考生继续学习深造的不同特点，尤其是考虑到高校金融、经济类专业对数学的要求，命题更有针对性，文科试卷更多地侧重于常用的推理方法和数值的计算，理科试卷则注重考查数学推理和理性思维.
2 2007年高考数学全国独立命题省（自治区）市卷概览
我们再来横纵对比分析一下2007年高考18个独立命题的省（自治区）市数学卷（其中海南、宁夏由教育部考试中心命制），不难发现，和全国卷Ⅰ、Ⅱ一样，这些试卷都充分遵循了教育部《考试大纲》中“发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查考生必须掌握的中学数学知识和方法，又注重考查考生进入高等学校继续学习的潜能”的总体要求，贯彻“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，在突出考查考生基础知识的基础上，注重了对数学思想和方法的考查，注重了对数学能力的考查，注重了试题间的层次性，合理调控了试题难度，考点设置合理，试题表述简洁，较好的体现了在知识网络的交汇点处命题、在思想方法的交织线上命题、在能力层次的交叉区内命题的高考数学命题指向，多视点、多角度、多层次地考查了考生继续学习所应具备的数学素养和潜能，有利于高校选拔优秀学生，也有利于稳定中学数学教学，对中学数学教学发挥了积极的导向作用. 另外，2007年高考也是广东、山东、海南、宁夏这四个课改区新课标开考的第一年，这几个省（自治区）的高考数学卷都坚持了能力立意，注重以知识为载体来重点考查考生的数学能力与数学素养，加强了对考生思维能力的考查，控制了试题的计算量，加大了试题的思考量. 山东卷的试卷结构与2006年相同（但内容有所变化）；广东卷不光是试题内容有所改变，试卷结构也作了部分调整，选择题由2006年的10道减为今年的8道，相应的分数也从50分下调为40分，文科未作改变；而填空题理科则增加了三选二的选做题，由2006年的4题增加到今年的7题（只选做6题），因此分数比去年增加10分，文科增加了二选一的选做题，由2006年的4题增加到今年的5题（只选做4题），分数和2006年相比未作改变；解答题的题量和分值未作改变；海南、宁夏共用文、理两套试卷，其试卷结构与今年全国卷Ⅰ、Ⅱ相同，但内容有所改变. 虽是如此，但新课标数学试题还是成功地平移到了新课标的舞台上，不但做到了平稳过渡，而且还处处体现着新课标，几乎每个新考点都有所体现，探究创新是这几套新课标高考试题的灵魂，也是对考生的基本要求，试卷中除增加了新课标的内容外，在创新方面也作了大胆尝试，更加注重实际应用和问题探究. 如此看来，今年高考数学试题无论是全国卷还是地方卷或是新课标卷，在实情检验、教学考核、人才选拔三个主要方面都达到了非常完美的境界，师生评价良好，社会反响颇佳，这实为不易！
综观2007年全国高考各地文、理科数学试卷，笔者感受颇深的有以下五大“亮点”：
常规问题——推陈出新
应用题型——悄悄变脸
信息迁移——新旧融合
探索能力——动静交叉
思维能力——学科综合
3 2007年全国高考试题“亮点”品评
2007年全国高考数学全国卷和各独立命题的省市卷虽然平淡、平稳，但考查考生的学习潜能、创新意识和探究精神的“亮点”（主要指面貌比较新，即在设问的方式上、在情景的设置上等有一定的新意）试题不少，本文着重对此精选数例，同上次一样（编者注：本刊2007年第5期曾刊载过高慧明老师所著“2006年全国高考数学试题‘亮点’品评”一文），笔者仍然按照试题所涉及的数学背景知识进行分类解析品评，还是期望通过2007年高考命题的新变化推动中学数学教学（特别是新一轮高考复习课教学）改革和课程改革，引导中学数学教学向全面培养学生数学素养和能力的方向发展.
【点评】：本题是定义型的信息迁移题, 是排列组合与集合知识（集合的特征：确定性、互异性、无序性）的综合运用，首先要理解题意,问题才会变得简单,不重不漏是解题之关键.这类问题的立足点源于教材的基础知识、基本技能的认知水平,通过即时学习、即时理解和掌握新知识,命题的落脚点在于体现能力的迁移,把数学的学习能力、探究能力、应用能力和创造能力有机地结合在一起,从而检测考生进一步学习的潜能, 应该说此题区分度是较为明显的.
【点评】：本题有着高等数学里《近世代数》的深刻背景，设计新颖，主要考查考生对知识的迁移能力，能够很好地考查学生的知识水平和理解能力，此题融入了新教学大纲的理念，汲取了新课程中的新思想．
例3（2007福建文、理16）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意a∈A，都有a～a；
（2）对称性：对于a，b∈A，若a～b，则有b～a；
（3）传递性：对于a，b，c∈A，若a～b，b～c，则有a～c．
则称“～”是集合A的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：．
【解析】：此类题属新情境问题，答案不唯一．本题的参考答案是：向量相等、集合相等、角度相等、图形全等、图形相似、命题充要条件等.
【点评】：此题特别之处是以高等数学《近世代数》中的 “等价关系”的概念为背景，分析中学数学中的各种关系，从而考查考生的阅读理解能力，解答此题要求考生具有较强的联想类比能力.题设中提到了“相等关系”、“平行关系”(也是命题者的有意提示)，这就需要考生以此为思维起点，展开充分的联想，由“相等关系”想到：“复数相等”、“向量相等”、“集合相等”、“角度相等”、“图形相等(即全等)”、“ 图形相似”“命题相等(即充要条件)”等；由“平行关系”想到：“非零向量的平行”“平面平行”等.只需对这些关系一一分析，不难得出正确答案.
【点评】：此题是一道信息迁移题（属新定义型），交汇考查了代数中的集合、不等式与解析几何中的点集等知识，考查了考生将数学概念迁移到不同情景下的探究能力.这类题目的特点是命题者通过文字或图表等给出中学数学内容中没有遇到过的新知识，这些新知识可以是新概念、新定义、新定理和新规则、新情境等，并且这类题的解题信息有可能不直接给出，它要求解题者要通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移，即读懂新概念，理解新情境，获取有用的新信息，然后运用这些有用的信息进一步演算和推理，从而考查考生在新的信息和情境下，独立获取和运用新信息的能力、综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力.信息迁移题，由于信息呈现的方式不同，又可分为定义信息型、图表信息型、图像图形信息型等.
【点评】：此题以对数函数为载体，内容是函数知识和不等式知识的一个结合体，考查了导数有关的概念、计算和应用.利用导数工具研究函数的有关性质，不仅体现教材改革的一种理念，也是初等数学与高等数学一个很好的衔接点.该题解解答中融合了函数与方程思想，转化与化归思想，分类与整合思想（针对参数的取值对函数单调区间及对函数的极值产生影响的讨论）等这些考试大纲要求较高的数学思想方法，不但突出了能力的考查，同时也注意了对高考重点与热点的考查，达到了知识内容考查与思想方法考查相结合之目的. 对思维能力，尤其是理性思维有较高要求. 是整份试卷的难题，但是设计了第（Ⅰ）问后，使入口较易且分值得到了分散，第（Ⅲ）问，把导数应用于单调性、极值等传统、常规问题的同时，进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明.这一切对考查考生的应用能力和创新意识都大有裨益.
【点评】：本题以航海中的测量为背景（2007年全国高考海南、宁夏卷文理17题是测塔高），考查运用三角工具建立数学模型解决实际问题的能力.从题目选择的背景材料来看，密切联系了学生的社会常识，生活气息浓，有利于引导学生关注社会、参与实践.大胆地改革了传统三角函数的考试模式（山东卷对三角函数的考查，2005年是三角的化简求值，2006年是三角函数的图像和性质，今年文科17题是解三角形，理科20题是航海应用题），给解三角形问题赋予实际背景，在不过分追求形式翻新的同时，用古朴典雅的题目考查考生的应用意识，不过本质上还是解三角形.
【点评】：这道理科压轴题难度较大，考生要有较强的数学思维能力方可顺利解出.此题以伯努里不等式和勾股定理的拓展为背景，既将不等式和等式进行了巧妙结合，又将数学归纳法、数列求和、不等式中的放缩法、构造法、反证法等方法融为一体，同时还充分地考查了分类与整合的思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想、有限与无限的思想，本题的结论还蕴涵着勾股定理在连续整数下的多维推广，是一道既隐含着深刻的高等数学背景，又有着丰富的数学内涵和品味的综合试题.这样能使个性品质优秀、数学能力优异的考生通过此题脱颖而出. 本题没有涉及到复杂的变换技巧（以前高考试题中那些不等式内容中涉及到的复杂变换技巧和过于形式化的知识在这里有逐渐淡化处理的倾向），第（Ⅰ）小问着重考查数学归纳法的基本知识（其目的是强调数学归纳法作为证明数学命题的一种重要方法，有着极其重要的地位，考纲要求“理解其原理并能用数学归纳法证明一些简单的数学命题” ，我们应该不会忘记2004年、2005年高考湖北理科卷的最后一题也考查了数学归纳法的基础知识）；第（Ⅱ）小问是对第（Ⅰ）小问结论（贝努利不等式的特殊情形）的简单应用，要求考生能揭示第（Ⅰ）、（Ⅱ）问之间的联系并实施目标转化，考查学生的观察及探索能力，其目的在于体现“学数学，用数学”的理念；第（Ⅲ）小问是对第（Ⅱ）小问结论的综合应用，考查学生在新的信息背景下，综合运用数学思想和方法处理问题的能力. 而此问无法套用现成的思维模式去寻求解题思路和方法，所以需冷静地认清已知等式的数量特征关系并变换等式形式，发现上下问的关联并利用上一问的结论.本题三问层层递进、跨度适中、浑然一体. 由此我们不难看出，“合情推理，猜证结合”是新高考考查学生创新思维能力的重要形式，而寻求合理的解题思路和方法，破除模式化，力求创新是此类试题的显著特点，本题体现得尤为突出.
【点评】：本题表象上虽是以直线和圆的位置关系为背景，主要考查直线方程的截距式、组合等基础知识，但内层涉及的基础知识较多，数的方面有：圆的方程、截距不为零的直线方程、勾股数、组合数等；形的方面有：整点、过圆上一个整点的切线、过圆上两个整点的直线、去掉过原点的直线、平行于坐标轴的直线等.所以是名副其实的“小题不小”的题，也是难题. 解本题的基本功体现在综合分析本题涉及的数与形的特点及其运用的能力层面上，要有较好的逻辑思维能力和计数能力方可顺利解出.不过本题虽然涉及的知识面广，但各层次的考生都能动手，只是不犯一点错误却是很不容易的，题不难但区分度较高，所以笔者认为此题是一道难得的好题.
例24（2007山东文19）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
【点评】：本题是一个背景新颖〔以社会经济活动为背景（线性规划中的电视广告背景）〕的应用问题，和今年的山东理科（20）题一样，都以平时的背景考查学生的应用能力，这种处理方式对试卷总体难度的稳定起到了保障作用．这些应用题展示了数学应用的广泛性，体现出数学与传统的、现代的文化的交融，反映出数学来源于社会现实又为社会实践服务的基本事实. 这些应用题的设计和考查，提高了考生学好应用问题的积极性，同时对运用所学数学知识分析问题和解决问题的能力进行了有效的检测.
4备注
● 2007年高考数学“亮点”试题不少，除这45道外，还有像湖南卷理科15题，将杨辉三角中的奇数换成1、偶数换成0作素材，考查考生的归纳推理能力；上海卷理科21题，定义新的“果圆”概念，考查椭圆的基础知识、两点间的距离、二次函数的最值求法，另外此题将一个基本图形经过“嫁接”，创造出一个新图形，向考生展示了数学的奇异与美妙，使考生获得了精神享受，设计真是别出心裁，值得回味；……限于篇幅，在此不再一一赘述.
●45道“亮点”试题的命题特点：继续在考查基础知识的同时，注重对数学思想和方法的考查，突出以能力立意，融知识、能力与素质于一体，全面检测考生的数学素养，对知识的考查侧重于理解和应用，而不是简单的重现，特别注重知识的综合性和灵活性应用. 这些考题仍然是课本例题习题、复习资料、模拟试题中比较少见的新颖题目，命题的落脚点还是知识之间的交汇、渗透与整合〔常见的题型是新信息迁移题或常规考点适当包装题或常规考点的组合联袂题或能力立意题（知识虽新鲜，能力不超纲）等等〕.
●45道“亮点”试题还是主要侧重如下几方面的能力立意：阅读审题、估算判断、数形结合、自主探究能力、逻辑推理能力等.
●45道“亮点”试题虽然比较新颖，但是就其解决问题所用到的知识和方法来说，仍然没有超出考生所熟悉的范围.所以，应该说这样的题目大多考生应对起来还是比较顺利的.
●45道“亮点”试题仍然紧扣课本，万变不离其宗.所以在平时的教学中我们还是应该立足于课本，狠抓对基本概念和基础知识的理解与掌握，引导学生自觉培养并形成良好的思维素质和学习习惯至关重要.
5 2008年高考数学命题展望与复习对策
知识、方法、思想和能力交融的试题是2007年全国高考各套数学试卷的主旋律，这无疑给当前中学数学复习备考的“异化”现象进一步敲响了警钟，对促使中学数学教学回归到数学教育发展的主方向上来，起到了鲜明的导向作用. 为此，面对2008年高考我们高三师生至少应该牢固地把握住：
5.1原则
高考数学有效复习应抓好常规三原则：
（1）基础性原则（要求在第一轮复习中，能够系统地掌握基本知识与基本方法，并初步形成基本技能）；
（2）网络化原则（考虑到高考试题命题方式，多在知识交汇点处设计试题，提倡加深对重点知识的理解，并能挖掘出其中的联系）；
(3) 统揽性原则（强调以《考纲》、《考试补充说明》为复习指导，否则我们会陷入无视《考纲》、《考试补充说明》重要性的误区）
5.2基础
近几年高考数学命题特别注重考查考生的“数学基础知识基本技能和数学思想方法、数学本质的理解水平”的命题原则，2007年文理科多数试题都是以考生较为熟悉的面孔出现，坚持从基础知识、基本方法、重点内容出发编制试题，体现化归思想和模式识别的解题策略. 2004年至今从教育部考试中心到独立命题省市的全国高考各套数学试卷对引导高中数学教学“回归数学、夯实基础”，遵循大纲的宗旨和意图，全面而扎实地学好教材中的基础知识，对避免“为考而教、不考不教”的普遍现象起到了很好的导向和点拨作用.所以可以肯定地说2008年将会延续这些成功的做法，将突出考查学生的运算、逻辑推理、空间想象等各种数学素养，因此我们在复习时要更加注意基本知识、基本方法、基本能力的掌握和提升.
5.3考纲
高考作为一种选拔性的考试，它的主要目的是为了选拔有潜能的新生进入高等学校继续学习.就数学学科来讲，无论是文科学生还是理科学生，进入高等学校以后都要进一步学习高等数学，而高等数学和我们中学所学的数学，不是重复的关系，而是完全递进的关系.所以我们在高中所教学的内容当中，有些内容只要求一般性的知道、了解就可以了.对此高考题往往设计的难度就比较低.但如果说对今后进入高等学校学习依然要发挥重要作用的问题，高考题就设计得有一定的难度、一定的运算量、一定的过程，所以，我们在今后教学过程当中不光要求学生只埋头做题，还要很好地关注数学学科教学大纲、考试大纲和高考命题的思路、命题的原则，在今后学习当中应该通过近几年来的高考试题（“它们是最好的复习题” ！，因为这些高考题往往会成为新一年高考命题的借鉴，所以最值得研究）去认真地思考哪些内容是作为高中数学最重要的、最具有数学本质的，这些地方我们就需要花更多的力量，需要做更多的训练，需要做更多的思考，而且要在这方面提高学生的能力.
5.4教材
在以思维能力为核心，全面考查各种能力的命题导向下，近几年的高考试题越来越突出贴近教材考双基的风格.许多题目取材于课本的基本题或基本题的改造，即使是综合题也是由若干个基础题的整合加工而成，可以清楚地看到，文、理科试卷源于教材的试题、题量和分值逐年递增，这再一次警示我们：抓纲务本才是真.
5.5文理
通过“增加容易题，减少把关题，降低试题入口难度”的做法，适度降低了文科试题的难度（数学文史的题型一般是比较稳定的，难度要求不会太高，而且从2007年试卷来看，以后也不会出现太多“怪题”，所以2008年文科数学复习我们应主要围绕高中阶段的重点知识进行复习，对重点知识进行常规的考查），这种命题指导思想有利于高考文科选拔新生，又有利于稳定中学文科数学的教学秩序.
5.6课改
新课标地区2007年的高考数学试题保留了传统特点（重视基础知识），尤其对新课程中的新增内容和传统内容做到了有机结合，考查也更加科学、规范和深化，特别注重实用性.特点之一是“创新”，其中，首次出现数学学科中比较“前沿”的“线性回归方程”、“算法和框图”、“三视图”等试题，这些内容都是在新课改中出现的，但以往高考没有涉及过，甚至很多老师和考生也没有预测到会出这类题目. 总的看来，个别题目虽然“前沿”，但难度适中，有些大题中给考生列出了相关的背景知识和计算公式，对考生的考查主要是体现在应变能力上. 特点之二是应用题从以往的“理论型”向“应用型”转变（非新课标地区的高考也有类似“变脸”）.题目涉及了一些实用性很强的“数理统计”，往往可以套用到企业的生产过程，比如广东卷文科18题就是计算企业生产减少的能耗,还有一些内容也与生活贴近，又与统计、会计等知识一脉相承.这种出题思路的改变非常符合现阶段我国的国情，体现数学与国民经济的关系日益密切.以上两点值得我们密切关注.另外，广东卷、海南和宁夏卷中还首次出现了选做题，这无非给考生提供了一个广阔公平的选择空间，更有利于国家不拘一格降人才. 可以断定2008年新课标卷的命题将在稳定中进一步深化！
5.7导向
（1）突出知识主干考查，注重知识综合运用.以重点知识构建试题的主体，以知识网络的交汇点作为设计的起点与着力点，借以实现全面考查数学基础和数学素质的目标.近几年来在每套高考试题（无论是独立命题的省市卷还是全国卷）后面的四个大题当中，都有一些步骤或者一些具体的小问，在设计上有一定的难度，或者是在思维上，或者是在运算上，都会遇到一些综合性比较强、运算过程相对比较复杂、运算量较大等等情况，用以体现高考试题多题把关、提高区分度这样一种作用.所以，这一点有可能使得考生觉得好像比较难，但是实际操作时只要冷静地分析一下，总体难度并不会有明显的特别突出的变化.
（2）重视数学思想方法的考查.
（3）深化能力立意思想，展现创新意识空间．
（4）注重理论联系实际，树立数学应用意识.继续出现贴近书本、贴近生活与生产实际的应用题.
（5）对新增内容（向量、线性规划、概率与统计、导数等）考查保持一定的比例，支持课程改革.
（6）试题类型保持稳定，试题难度达到期望.
5.8预测
笔者认为，2008年高考数学命题趋向：考查内容基础全面，命题形式新颖别致，题型格局不断创新，选拔功能充分体现.适当增加开放性的试题数量，鼓励有创造性答案，命题更加注重知识的网络化，仍然不刻意追求知识的覆盖面.
（1）函数部分的考查，常见的题型主要有两类：一是考查具体函数；二是考查抽象函数，这种题型较难，而通过找到一个符合条件的常见函数作为解决本类题的突破口是一个不错的方法. 函数题型经常和不等式、数列放在一起进行考查，二次函数以及二次方程、二次不等式、等差数列求和公式之间的关系经常是考查的重点.注意两个趋势：以导数知识为背景的函数问题和以向量知识为背景的函数问题.在考查形式上：从具体的函数的考查转向抽象函数的考查；重结果考查转向重过程考查；从熟悉情景的考查转向新颖情景的考查.
（2）不等式部分的内容多与函数、数列、解析几何交叉渗透考查，特别注意与导数方法的整合，解不等式往往带有字母，需要讨论，还需要掌握转化、数形结合等方法以及函数与方程的思想和八种常见不等式的一般解法.证明不等式要善于分析不等式的结构特征和寻找已知求证之间的差异，从中找到与相关定理的联系来作为解决问题的突破口.
（3）数列部分，小题以考查等差数列和等比数列的性质为主，大题则体现探究性与综合性,Sn与an之间的关系经常是考查的重点，需要灵活应用数列求和的几种方法，如并项、裂项、错位相减等常用方法必须掌握，注意对q的讨论（这是个难点），要掌握三种基本极限以及极限的四则运算法则，能够把所给的极限转化为基本极限的形式.
（4）三角函数部分，三角问题主要有两种形式：一是求较为复杂的三角函数表达式的某些性质；二是三角形中有关边角的问题.凡是三角公式变换的问题都可以从分析角、函数类型和结构特征这三个方面的差异作为入手解题的突破口，三角函数与平面向量的“交汇”是高考命题的热点.
（5）概率与统计部分，理科重在对数学期望、方差、正态分布的考查，文科则偏向古典概率的计算，特别注意概率统计作为应用题入卷，很可能引入传统应用题的背景.
（6）平面向量、导数、概率等新增内容已成为当今高考命题的“新宠”，请老师和同学们高度重视，导数、向量和其他数学知识组块的整合力度有加大的趋势，2008年高考将会继续保持有一个大题考核函数与导数的综合运用.（7）立体几何考查的趋势为所给模型多为正交模型，9A、9B方法要灵活选用，平行、垂直的判定与性质、空间所成角及距离是主要内容，要熟知相关定理及位置关系转化的一般规律.垂直是考查的重点，转化是重要的方法，角、距离的计算最后都转化到一个三角形中进行.
（8）解析几何部分，中点、弦长、轨迹是经常考查的问题，含参数的范围问题是难点，其趋势仍是将向量知识与解析几何知识整合，直线与圆锥曲线的方程、有关性质以及相互位置关系问题是重要内容.
（9）应用题：以考查概率、导数、数列、不等式、函数、线性规划为主.通常把现代生产、现实生活、现代科技、社会热点问题作为背景的数学应用问题是高考热点之一，题目往往不是很难，关键是考查对题目信息的理解能力和问题数学化的分析解决能力.
5.9措施
备战2008年高考，我们应该：
（1）以“纲”（考试大纲）为纲，研究高考，明晰高考要求（研究《考试大纲》，重点是研究考试要求和考试内容.考试要求又分为对数学学科考试性质的要求、具体考试内容的要求等几部分，同时还应特别注意考试要求中2008年与2007年有哪些发生了变化，哪些未变.变化的意图何在？预示着什么等等.对每一条要求要明确具体的内容和要求的程度，要对其含义有深刻的理解.在研究考试要求时还要研究2007年的考试要求的相关内容，并研究当年的高考试题中是如何体现这些要求的，这样可为研究2008年的考试要求提供参考.考试内容的研究重点放在对考试内容的考试要求上，看《考试大纲》中对具体内容的考试要求的层次，并研究在高考试题中是如何体现的等等），研究教材（对教材主干知识的研究、典型例习题的研究、教材中知识之间的内在联系、隐藏的数学规律、数学思想与方法的研究和高考试题与教材联系的研究.通过对教材的研究使学生吃透教材，过好三关：概念关、公式定理法则关、例习题关），恰当确定复习的标高，引导学生构建知识网络体系，指导学生制定复习计划、明确复习目的、确定复习重点.
（2）重视数学思想和数学方法的训练，强化思维过程，提高理性思维能力，注重通法，兼顾特技，掌握常用解题方法和策略.立体几何问题要注意9A、9B方法互补，对于选择题、填空题，要灵活应用间接法.其中包括筛选法、赋值法、图解法、验证猜想法、综合分析法等.“方法活则易，方法不当则难”，灵活解题是提高准确率与答题效率的重要途径.
（3）研究四类重要试题：《考试大纲》例题和样卷、教育部考试中心测试题、2008年春季高考试题、2007年全国及各省市高考试题（对高考试题的研究可将这些试题集中起来，分为选择题、填空题和解答题三种类型进行研究.研究的主要内容为：考了哪些知识？以哪种题型和方式考的？考到了什么程度？哪些知识考试的频率高，哪些较低？哪些知识综合的程度高，它与哪些知识进行了综合？以什么方式综合的？这些题型和考查方式体现了《考试大纲》哪种要求，这些题型和内容与教材有何联系？等等）.
（4）指导学生处理好课本与复习资料、课内与课外、做题与总结和提炼解题规律的关系，切记：抓纲务本才是真.
（5）关注高考新颖题型.
（6）提高运算能力.
（7）注意审题.
（8）严格解题规范.
（9）以错纠错，查漏补缺（很多学校的成功做法：每位学生准备一本或几本“错题本”，将做错的试题集中起来并订正、标注错因等，以便在高考前细细品味）.
（10）提高学生的应试技能.考试是一门学问，要把平时考试当作高考，从心理调节、时间分配、节奏的把握以及整个考试的运筹诸方面不断调试，逐步适应.
5.10答题
由于试题难度的科学调整，良好的书写习惯和学习态度可能是评卷考虑的要素之一.书写工整、表达规范、步骤条理、过程完善将成为得分与否的重要因素.因此，高考复习过程中不可忽视这些细节.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”