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摘要:“复变函数与积分变换”课程是机电等工科专业必修的专业基础课。本文结合教学实践,针对工科专业的特点,对该课程教学内容的选择和教学方法、教学手段的改革进行了研究和探讨。
关键词:复变函数;积分变换;教学内容;教学方法;教学手段
作者简介:肖自碧(1974-),女,湖北武汉人,武汉科技大学理学院信息与计算科学系,讲师,军事学硕士,主要研究方向:代数与编码;杨波(1973-),男,湖北武汉人,武汉科技大学理学院信息与计算科学系,讲师,军事学博士,主要研究方向:密码学和信息安全。(湖北 武汉 430081)
基金项目:本文系科技部重大教研项目子课题(课题编号:2009IM010400-1-25)的研究成果。
复变函数起源于分析、力学、数学物理等理论与实际问题,具有鲜明的物理背景。建立在复变函数理论之上的积分变换方法,通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系,既能简化计算,又具有明确的物理意义,在电力工程、通信和控制领域、信号分析和图像处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、地质勘探与地震预报等领域中有着广泛的应用。[1]“复变函数与积分变换”课程是机电等工科专业必修的专业基础课,是学习“电路理论”、“通信工程”、“信号与系统”等多门后继专业课的基础,学习这门课程对于培养学生的专业能力、创新精神以及未来的业务素质都是非常重要的。然而,该课程理论性强、内容抽象、概念多,其中的积分变换部分要综合运用级数、广义积分、留数等知识进行大量推演,工科学生普遍感到比较困难,要达到熟练掌握并能灵活运用以解决专业问题则困难更大。为了使学生在有限的教学时间内既能掌握理论和方法,又能了解知识在专业方面的应用,为后续专业课程的学习打下坚实基础,需要结合工科专业的特点,在教学内容、教学方法、教学手段等方面进行改革和完善。
一、精心安排教学内容,突出应用性
“复变函数与积分变换”既是一门理论性较强的课程,又是解决实际问题的强有力的工具,所以在教学内容的组织上,一方面要介绍复变函数的数学体系,提高学生的数学素质和能力,另一方面又要避免传统数学教学中重理论、轻实践的教学观点,强调对复变函数的本质理解和工程实际应用,注重基本概念和定理的几何背景和实际应用背景的介绍。[2]在课堂教学中要注意根据工科专业的特点以及后续专业课程的需要,对教材内容进行大胆、灵活的处理。
(1)在讲授内容的设置上应当有所侧重。比如复数,学生在中学数学中已经接触过复数的概念、表示方法、四则运算等内容,所以这部分内容只需要简要介绍一下,重点应放在复数的三角表示和指数表示上。对于与实函数微积分相近的内容,例如极限、连续、导数和级数等,则可以引导学生自主地进行对比学习。
(2)淡化复变函数中理论性较强而后续专业课程又应用较少的一些数学理论,将教学的重点放在留数定理的应用以及工程中常用的积分变换部分,使学生在学习这门课程时不必为一些繁琐的数学知识而伤脑筋,为工科专业的其他课程夯实基础。在积分变换的教学过程中系统地讲授傅里叶变换和拉普拉斯变换的概念、性质、应用等知识点,加强这一部分内容的习题训练,使学生理解积分变换的数学思想方法,牢固掌握傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质;同时把积分变换部分的内容与后续专业课中需要的知识糅合在一起,强调积分变换的工程应用背景,切实解决好数学理论与专业课脱节的问题,使它们相互补充、相得益彰,让学生不再感到抽象,从而能够灵活应用其性质解决一些数学、电磁学、流体力学等与专业相关的问题。
(3)尽量避免对理论过深的阐述、过多的推导和证明。积分变换在工科专业的后续课程中用得比较多,因此对复变函数中的一些较复杂的定理证明就只需介绍其证明的思路,着重讲授定理的应用,主要为积分变换部分的讲授打下良好的基础,而不必讲究知识的系统性和完整性。[3]例如,在复变函数积分一章的教学中,对于柯西积分公式、解析函数的高阶导数公式的证明,只需简单介绍其思路,使学生建立比较直观的理解,并了解其蕴含的数学思维方法即可。重点引导学生分析总结柯西——古萨基本定理、复合闭路定理、闭路变形原理、柯西积分公式、高阶导数公式等基本原理和公式的内在联系,从而对它们有一个清晰的认识并能灵活应用这些基本工具研究解析函数。又如,积分变换中对于单位脉冲函数δ(t)和单位阶跃函数 u(t),应尽量避免理论上的介绍,重点说明它们的意义、性质和应用。首先以力学中瞬间作用的冲击力、电学中的雷击电闪、数字通信中的抽样脉冲等实际问题为背景,说明在实际应用中需要一个时间极短但取值极大的函数模型,从而引入一个新的函数,即δ(t)函数;然后分析并给出δ(t)函数的数学定义,由定义自然地推导出δ(t)函数的抽样性质以及它和单位阶跃函数互为导数的关系,同时引导学生分析得到δ(t)函数的意义——使函数在其跳跃间断点处也存在导数;最后通过举例说明工程中的大部分信号都可以分解为阶跃函数或脉冲函数的和。这样不仅降低了从数学概念上理解它们的难度,而且能够解决学生不知道怎样理解和如何使用它们的问题。
(4)适当介绍“复变函数与积分变换”课程中所蕴含的一些重要的数学思想,如闭路变形定理、留数定理的思想,拉普拉斯变换产生的实际背景等等,启发学生进行思考,激发学生的学习兴趣。
二、改革教学方法,注重能力培养
1.利用比较教学法,提高知识迁移的能力
复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的一个分支,是实变函数在复数领域内的推广和发展。复变函数和实变函数中有很多相似的内容,如复变函数的极限和连续性、导数、微分、级数等,只要具备微积分基本知识就可以很容易地掌握。但是,复变函数的许多概念、性质和意义又与实变函数存在着某些不同之处。因此在教学中注重加强本课程与高等数学的衔接,充分利用比较教学法引导学生弄清两者间的联系与区别,既是对高等数学相关知识的复习,也能加深对本课程的理解,是取得良好教学效果的捷径。
具体做法可以采取学生自学和讨论相结合的方式进行。在学生自学的过程中着重指导他们将复变函数与实变函数的不同之处找出来。对于所发现的不同之处,如极限定义、可微的条件、可导函数与解析函数的区别等,则作为重点难点突破。实践证明,类比的过程是培养学生创造性思维的过程,通过比较能使学生更清楚地了解新旧知识的关系,可以激发学生探索新知识的积极性,同时还能提高学生的理解能力和运用数学概念思考问题的水平。当然,还要让学生抓住复变函数与实变函数之间的联系。复变函数的问题常常要通过转化为二元实变函数的问题,用高等数学的方法来解决,如判断复变函数的连续性、复级数的收敛性等等;同时,高等数学的问题有时也可转化为复变函数的问题,用复变函数的理论解决,如利用留数定理计算定积分和反常积分等。
2.注重归纳小结,引导学生抓住前后知识间的纵横联系
任何一门课程,其前后内容都是有联系的,一般前面章节的内容是后面内容的基础,后面内容是前面内容的推广或发展。对于复变函数而言,这种内在联系尤为突出。如Cauchy-Riemann方程是研究解析函数性质的基础,Cauchy积分公式是研究Taylor级数与Laurent级数的主要工具,而Laurent级数又是介绍奇点和留数概念的前提,共形映射则是从几何角度研究解析函数的性质和应用,等等。如果能从知识的纵横联系对比分析,把握好这个联系,也就把握住了复变函数的“命脉”。因此教学中要引导学生抓住这些联系,使学生深刻体会到复变函数事实上是一个有机的整体,从而有利于学生对复变函数整体内容的理解和掌握。如在Laplace变换一章的教学过程中,由于已经学习了Fourier变换的概念和性质,因此,可以首先通过分析Fourier变换的不足,引入Laplace变换的定义,再引导学生总结Laplace变换与Fourier变换的差异,重点强调它们之间的内在联系:
F(s)=L[f(t)]=e-stdt=F[f(t)u(t)eβt],s=β+jω,β>0.
接着引导学生逐条比较Fourier变换的性质,归纳出Laplace变换的相应性质,总结出如下规律:只要将Fourier变换各条性质中的实数ω用复数s替换,同时去掉虚数单位j,便得到相应的Laplace变换的性质。[4]
3.运用启发式教学,激发学生的主观能动性
教学中要善于运用启发式教学法,合理设疑,以激发学生的求知欲望;对有些问题引导学生根据已知知识与经验去猜测其结果,培养学生的探索精神;利用章节的小结、习题课等形式训练学生对同一问题从不同角度和方向思考的能力,尽量探索出多种解法。
三、采用多种教学手段,优化课堂教学
在课堂教学中,要合理使用多媒体教学。“复变函数与积分变换”课程概念定理丰富,如果纯粹用板书的形式,会耗费大量的时间。但是如果一律采用多媒体进行演示,教师只是看着屏幕念,学生就像看电影一样,也很难使学生掌握多少课程的实质。因此,我们采取板书和多媒体二者相结合的“多媒体辅助”教学方式。对于一般知识性的内容或需要借助图形讲解的内容采用多媒体进行演示,使课堂教学更生动活泼,学生易于接受;对需要和学生们一起思考演算的部分采用板书的形式,有助于培养学生的逻辑思维能力和推理能力,学会数学的思维方法。这样既能保证上课时间的充分利用,又能增加每堂课的信息量和趣味性,提高了教学效率。此外,在课下也要建立与学生相互交流的平台,比如QQ、E-mail和博客等,帮助学生释疑解惑,有利于培养学生自主学习的能力。
另外,在教学中安排适当的学时介绍数学软件MATLAB。“复变函数与积分变换”课程中诸如留数、Fourier变换和逆变换、Laplace变换和逆变换等问题的计算都可以利用MATLAB很方便地实现,使看起来非常复杂的数学运算问题变得易如反掌,学生因此不再害怕繁琐的计算,从而可以把主要精力集中在建立和优化数学模型上,既节省了时间,又提高了学习的兴趣和效率。
参考文献:
[1]宋叔尼,孙涛,张国伟.复变函数与积分变换[M].北京:科学出版社,2006.
[2]李秋生,王丽.工科复变函数与积分变换课程教学改革初探[J].宜春学院学报,2008,30(2).
[3]樊孝菊.高等数学教学与工科专业相结合模式的探讨[J].科技情报开发与经济,2006,16(22):246-247.
[4]王见勇.积分变换教学实践与体会[J].云南民族学院学报,2000,9(3):152-154.
(责任编辑:麻剑飞)
关键词:复变函数;积分变换;教学内容;教学方法;教学手段
作者简介:肖自碧(1974-),女,湖北武汉人,武汉科技大学理学院信息与计算科学系,讲师,军事学硕士,主要研究方向:代数与编码;杨波(1973-),男,湖北武汉人,武汉科技大学理学院信息与计算科学系,讲师,军事学博士,主要研究方向:密码学和信息安全。(湖北 武汉 430081)
基金项目:本文系科技部重大教研项目子课题(课题编号:2009IM010400-1-25)的研究成果。
复变函数起源于分析、力学、数学物理等理论与实际问题,具有鲜明的物理背景。建立在复变函数理论之上的积分变换方法,通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系,既能简化计算,又具有明确的物理意义,在电力工程、通信和控制领域、信号分析和图像处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、地质勘探与地震预报等领域中有着广泛的应用。[1]“复变函数与积分变换”课程是机电等工科专业必修的专业基础课,是学习“电路理论”、“通信工程”、“信号与系统”等多门后继专业课的基础,学习这门课程对于培养学生的专业能力、创新精神以及未来的业务素质都是非常重要的。然而,该课程理论性强、内容抽象、概念多,其中的积分变换部分要综合运用级数、广义积分、留数等知识进行大量推演,工科学生普遍感到比较困难,要达到熟练掌握并能灵活运用以解决专业问题则困难更大。为了使学生在有限的教学时间内既能掌握理论和方法,又能了解知识在专业方面的应用,为后续专业课程的学习打下坚实基础,需要结合工科专业的特点,在教学内容、教学方法、教学手段等方面进行改革和完善。
一、精心安排教学内容,突出应用性
“复变函数与积分变换”既是一门理论性较强的课程,又是解决实际问题的强有力的工具,所以在教学内容的组织上,一方面要介绍复变函数的数学体系,提高学生的数学素质和能力,另一方面又要避免传统数学教学中重理论、轻实践的教学观点,强调对复变函数的本质理解和工程实际应用,注重基本概念和定理的几何背景和实际应用背景的介绍。[2]在课堂教学中要注意根据工科专业的特点以及后续专业课程的需要,对教材内容进行大胆、灵活的处理。
(1)在讲授内容的设置上应当有所侧重。比如复数,学生在中学数学中已经接触过复数的概念、表示方法、四则运算等内容,所以这部分内容只需要简要介绍一下,重点应放在复数的三角表示和指数表示上。对于与实函数微积分相近的内容,例如极限、连续、导数和级数等,则可以引导学生自主地进行对比学习。
(2)淡化复变函数中理论性较强而后续专业课程又应用较少的一些数学理论,将教学的重点放在留数定理的应用以及工程中常用的积分变换部分,使学生在学习这门课程时不必为一些繁琐的数学知识而伤脑筋,为工科专业的其他课程夯实基础。在积分变换的教学过程中系统地讲授傅里叶变换和拉普拉斯变换的概念、性质、应用等知识点,加强这一部分内容的习题训练,使学生理解积分变换的数学思想方法,牢固掌握傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质;同时把积分变换部分的内容与后续专业课中需要的知识糅合在一起,强调积分变换的工程应用背景,切实解决好数学理论与专业课脱节的问题,使它们相互补充、相得益彰,让学生不再感到抽象,从而能够灵活应用其性质解决一些数学、电磁学、流体力学等与专业相关的问题。
(3)尽量避免对理论过深的阐述、过多的推导和证明。积分变换在工科专业的后续课程中用得比较多,因此对复变函数中的一些较复杂的定理证明就只需介绍其证明的思路,着重讲授定理的应用,主要为积分变换部分的讲授打下良好的基础,而不必讲究知识的系统性和完整性。[3]例如,在复变函数积分一章的教学中,对于柯西积分公式、解析函数的高阶导数公式的证明,只需简单介绍其思路,使学生建立比较直观的理解,并了解其蕴含的数学思维方法即可。重点引导学生分析总结柯西——古萨基本定理、复合闭路定理、闭路变形原理、柯西积分公式、高阶导数公式等基本原理和公式的内在联系,从而对它们有一个清晰的认识并能灵活应用这些基本工具研究解析函数。又如,积分变换中对于单位脉冲函数δ(t)和单位阶跃函数 u(t),应尽量避免理论上的介绍,重点说明它们的意义、性质和应用。首先以力学中瞬间作用的冲击力、电学中的雷击电闪、数字通信中的抽样脉冲等实际问题为背景,说明在实际应用中需要一个时间极短但取值极大的函数模型,从而引入一个新的函数,即δ(t)函数;然后分析并给出δ(t)函数的数学定义,由定义自然地推导出δ(t)函数的抽样性质以及它和单位阶跃函数互为导数的关系,同时引导学生分析得到δ(t)函数的意义——使函数在其跳跃间断点处也存在导数;最后通过举例说明工程中的大部分信号都可以分解为阶跃函数或脉冲函数的和。这样不仅降低了从数学概念上理解它们的难度,而且能够解决学生不知道怎样理解和如何使用它们的问题。
(4)适当介绍“复变函数与积分变换”课程中所蕴含的一些重要的数学思想,如闭路变形定理、留数定理的思想,拉普拉斯变换产生的实际背景等等,启发学生进行思考,激发学生的学习兴趣。
二、改革教学方法,注重能力培养
1.利用比较教学法,提高知识迁移的能力
复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的一个分支,是实变函数在复数领域内的推广和发展。复变函数和实变函数中有很多相似的内容,如复变函数的极限和连续性、导数、微分、级数等,只要具备微积分基本知识就可以很容易地掌握。但是,复变函数的许多概念、性质和意义又与实变函数存在着某些不同之处。因此在教学中注重加强本课程与高等数学的衔接,充分利用比较教学法引导学生弄清两者间的联系与区别,既是对高等数学相关知识的复习,也能加深对本课程的理解,是取得良好教学效果的捷径。
具体做法可以采取学生自学和讨论相结合的方式进行。在学生自学的过程中着重指导他们将复变函数与实变函数的不同之处找出来。对于所发现的不同之处,如极限定义、可微的条件、可导函数与解析函数的区别等,则作为重点难点突破。实践证明,类比的过程是培养学生创造性思维的过程,通过比较能使学生更清楚地了解新旧知识的关系,可以激发学生探索新知识的积极性,同时还能提高学生的理解能力和运用数学概念思考问题的水平。当然,还要让学生抓住复变函数与实变函数之间的联系。复变函数的问题常常要通过转化为二元实变函数的问题,用高等数学的方法来解决,如判断复变函数的连续性、复级数的收敛性等等;同时,高等数学的问题有时也可转化为复变函数的问题,用复变函数的理论解决,如利用留数定理计算定积分和反常积分等。
2.注重归纳小结,引导学生抓住前后知识间的纵横联系
任何一门课程,其前后内容都是有联系的,一般前面章节的内容是后面内容的基础,后面内容是前面内容的推广或发展。对于复变函数而言,这种内在联系尤为突出。如Cauchy-Riemann方程是研究解析函数性质的基础,Cauchy积分公式是研究Taylor级数与Laurent级数的主要工具,而Laurent级数又是介绍奇点和留数概念的前提,共形映射则是从几何角度研究解析函数的性质和应用,等等。如果能从知识的纵横联系对比分析,把握好这个联系,也就把握住了复变函数的“命脉”。因此教学中要引导学生抓住这些联系,使学生深刻体会到复变函数事实上是一个有机的整体,从而有利于学生对复变函数整体内容的理解和掌握。如在Laplace变换一章的教学过程中,由于已经学习了Fourier变换的概念和性质,因此,可以首先通过分析Fourier变换的不足,引入Laplace变换的定义,再引导学生总结Laplace变换与Fourier变换的差异,重点强调它们之间的内在联系:
F(s)=L[f(t)]=e-stdt=F[f(t)u(t)eβt],s=β+jω,β>0.
接着引导学生逐条比较Fourier变换的性质,归纳出Laplace变换的相应性质,总结出如下规律:只要将Fourier变换各条性质中的实数ω用复数s替换,同时去掉虚数单位j,便得到相应的Laplace变换的性质。[4]
3.运用启发式教学,激发学生的主观能动性
教学中要善于运用启发式教学法,合理设疑,以激发学生的求知欲望;对有些问题引导学生根据已知知识与经验去猜测其结果,培养学生的探索精神;利用章节的小结、习题课等形式训练学生对同一问题从不同角度和方向思考的能力,尽量探索出多种解法。
三、采用多种教学手段,优化课堂教学
在课堂教学中,要合理使用多媒体教学。“复变函数与积分变换”课程概念定理丰富,如果纯粹用板书的形式,会耗费大量的时间。但是如果一律采用多媒体进行演示,教师只是看着屏幕念,学生就像看电影一样,也很难使学生掌握多少课程的实质。因此,我们采取板书和多媒体二者相结合的“多媒体辅助”教学方式。对于一般知识性的内容或需要借助图形讲解的内容采用多媒体进行演示,使课堂教学更生动活泼,学生易于接受;对需要和学生们一起思考演算的部分采用板书的形式,有助于培养学生的逻辑思维能力和推理能力,学会数学的思维方法。这样既能保证上课时间的充分利用,又能增加每堂课的信息量和趣味性,提高了教学效率。此外,在课下也要建立与学生相互交流的平台,比如QQ、E-mail和博客等,帮助学生释疑解惑,有利于培养学生自主学习的能力。
另外,在教学中安排适当的学时介绍数学软件MATLAB。“复变函数与积分变换”课程中诸如留数、Fourier变换和逆变换、Laplace变换和逆变换等问题的计算都可以利用MATLAB很方便地实现,使看起来非常复杂的数学运算问题变得易如反掌,学生因此不再害怕繁琐的计算,从而可以把主要精力集中在建立和优化数学模型上,既节省了时间,又提高了学习的兴趣和效率。
参考文献:
[1]宋叔尼,孙涛,张国伟.复变函数与积分变换[M].北京:科学出版社,2006.
[2]李秋生,王丽.工科复变函数与积分变换课程教学改革初探[J].宜春学院学报,2008,30(2).
[3]樊孝菊.高等数学教学与工科专业相结合模式的探讨[J].科技情报开发与经济,2006,16(22):246-247.
[4]王见勇.积分变换教学实践与体会[J].云南民族学院学报,2000,9(3):152-154.
(责任编辑:麻剑飞)