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摘 要：授人以鱼不如授人以渔.意思是给别人鱼不如教会别人捕鱼的方法.我国现代著名的教育家叶圣陶先生说：教是为了不教.圣陶先生的看法是，“各种学科的教学都一样，无非是教师帮着学生学习的一串过程.”换句话说，教学，就是“教”学生“学”，主要不是把现成的知识教给学生，而是把学习的方法教给学生，学生就可以受用一辈子.十余年教学，让笔者对这些道理念感受越来越深，以下从数学教学的一些案例来谈谈笔者的感受和理解.
关键词：鱼和渔;教与学;“研究型”教学;新课改
中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2021）23-0020-02
收稿日期：2021-05-15
作者简介：吴葵，国家级奥数教练，从事初中数学奥数教学研究.
一、何为“鱼”和“渔”
从教十年来，接触过很多的初中学生家长和高中家长，很多初中的家长都苦恼，孩子小学时数学很好，为什么初中就学不会了，得到的答案无外乎初中数学内容多了，难度大了，或者认为孩子青春期了，变笨了啊，同样的现象在高中也是非常普遍的，那么造成这种现象的真正原因到底是什么呢？在回答这个问题之前，我们先来看一个案例.
引例：读小学三年级的外甥，数学成绩一直很好，有次检查他的家庭作业时，发现他只用了不到五分钟就做完了作业，笔者竟用了十多分钟才检查完，更不可思议的是，他做的全对.原因很简单，作业是乘法应用题，每一道应用题中都有两个数据，所求的问题都是将这两个数据相乘得到答案，小外甥做题时连题都没有读，直接列式计算了.忽然联想到很多初中生题都读不懂，审题审不清，对其中很多的数据不知道怎么处理，不会分析题目，也许跟这种机械式的做题有点关系.
笔者认为单纯的传授知识，把这些知识教给学生，这些知识即为“鱼”，而教会学生获取知识的方法，技能，以及解决问题的办法都是“渔”.
二、怎樣才算是“授人以渔”
数学教学是思维的教学，培根说过，数学是思维的体操，也许教材、大纲也没有那么重要，他们是为了培养学生思维的工具和途径，而不是限制教学的警戒线.教材上没有的，大纲上没包括到的，考试不考的，只要能训练学生思维，能开发他们的大脑的都应讲，成功的数学教学绝不是考试分数能评价的，学生有没有变聪明、思维有没有得到提高，才是教学效果的评价标准.也只有学生思维活跃了，学生以后的路才会开阔，才会越学越轻松.当然学生聪明了，考试成绩自然不差，所以数学教学不能只治标不治本.
那么怎样“授人以渔”？我们先来看下面几个案例.在教授平方差公式时，三位老师的不同做法.
案例1：教师甲在教授时是这样的，首先“开门见山”，告诉学生今天的学习内容是“平方差公式a2-b2=a+ba-b”，再让学生证明这个结论，然后就是应用，找一些设计好的例题训练.当然，为了响应学生的主体性，老师也会让学生自己完成证明和应用题，然后才讲评，由于教师的精心选题，将题型归纳的很到位，学生掌握的很好，很多补习机构大多都是此类方法，“快餐式”教学.
案例2：教师乙设计了一个几何情境，“（如图1）在边长为a的正方形中，减去一个边长为b的正方形，求余下的面积？”余下面积可表示为a2-b2，也可以通过拼接成一个长为a+b，宽为a-b的长方形，所以面积可表示为a+ba-b，显然a2-b2=a+ba-b，然后跟教师甲一样，代数证明，在进行训练.
可以看出教师乙比较用心，学生接受新知识，不会觉得突兀，消除学生对陌生问题的抵触情绪和畏难情绪，而且数形结合比纯代数也更能吸引学生的注意力，不会那么枯燥，学生掌握得会更好，此类方法，是学校里成熟型教师常用的方法，也即“情境式”教学.
案例3：教师丙从一道题开始，“x+3x+k展开式中不含一次项，求k的值”，学生自行推导x+3x+k=x2+k+3x+3k，不含一次项，即k+3=0所以k=-3，教师给出变式，x+kx-5展开式中不含一次项，则k=5.教师进一步提出要求，“将两题的等式写在一起，x+3x-3=x2-9x+5x-5=x2-25，你有什么发现吗？”让学生总结归纳出一个公式a+ba-b=a2-b2，（训练学生从特殊到一般的抽象概括的能力，给学生善于发现问题的眼睛）教师进一步提出要求，“看到a2，想到正方形的面积公式就是边长的平方，不知道能不能从几何面积的层面验证这个公式？对于a2-b2，你如何构造呢？”教师不断引导学生设计出几何证明的方法，此方法也就是教师乙引入时用到的几何情境，（培养学生思维的严密性，引导学生富有探索精神，因为教师没有固定成教师乙用的图形，而是让学生自己思考，所以课堂会生成很多意想不到的方法，比如图3图4描述的方法），证明完了以后，教师强调“这种用几何解决代数问题的方法很强大，等一下讲完再给大家一些代数问题，大家课下设计出几何证明方法.”接下来，我们给它取一个名字吧，a2-b2是两个数分别平方再做差，就叫平方差吧！教师问学生，这个公式有什么用呢？我们能不能出一些用了这个公式后很方便的题呢？如果学生有困难，教师可先做一个示范，然后鼓励学生出题，大力表扬出的很好的学生，展示不同类型或新颖的出题，然后教师展示学生没有出到的比较重要类型的题，并一起解决这些问题.
教师丙的教学方式跟前面两位教师很不一样，之所以这样选择是教育观念的不一样，前面两位教师追求的是“如何最好地将知识传授给学生”，在教学过程中教师的主导作用很明显，但学生的主体地位没有得到体现，学生一直在教师的精心安排下，被动地接受学习.而教师丙定位自己是教学的组织者、引导者，学生才是学习的主体，整节课堂在教师的组织引导下，学生通过自主探究合作交流来获得知识，在获得知识的同时，学生的自学能力，发现问题，分析问题和解决问题的能力都得到很大的提高，另外由于是主动去寻求知识，所以大大提高了学生的学习兴趣，在求知中获得成就感，让学生热爱学习热爱思考热爱生活，属于“研究型”教学.
真正的“主体性”绝不只是让学生自主地走老师设计好的路，更重要的是让他们开拓学习.在具体的教学中，多让学生自主探究，设计课题，设计例题，设计解决问题的方案.
例如，在教授高中数学必修五《等比数列的通项》时，笔者是这样上的这节课，首先提出问题“听说纸如果能被折叠42次就可以上月球”？你们觉得可能吗？然后整节课都围绕解决这个问题展开，首先是查地理书看月球到地球的平均距离为384000千米，通过一定的测量方法，我们估计一张纸的厚度为0.1毫米，折叠42次厚度为0.1mm×242=439804651110.4mm≈4.398×105km>3.84×105km（地月平均距离），探究完得出结论，这句话是对的.
整节课都在快乐的求知中完成，老师也就是提出了个问题，大多时间都是同学们自己查资料，想办法，测量，计算解决了问题.
三、“渔”的作用与意义
国家教育方针中提出，要在德智体等方面全面发展，其“智”不仅仅是掌握科学文化知识和技能，发展智力，还包括养成科学态度和探索精神，为了实现这样的方教育理念，国家提出了新课改，新课改的理念是“倡导自主合作，探究的学习方式，强调要把课堂还给学生，要求学生积极主动地学习，在课堂教学当中，要充分发挥学生的主体作用.”为了检测新课改的成效，国家在中考高考指向中也逐渐加强能力的考察查，这对我们新时代的教师，特别是数学教师也提出了新的要求，在知识传授的同时，更要注重学生能力的提高，其中传授知识是为“标”，培养各方面的能力是为“本”;数学教学不能只是治“标”而不治“本”，其中，“标”就是“鱼”，“本”就是捕鱼的方法的“渔”.所以笔者认为，对于数学教学，“授人以鱼不如授人以渔”.
参考文献：
[1]叶圣陶.叶圣陶语文教育论集[M].北京：教育科学出版社，2015.
[2]乔纳森.学会用技术解决问题———一个建构主义者的视角[M].任友群等译，北京：教育科学出版社，2007：2.
[3]杜威.民主主义与教育[M].王承绪译，人民教育出版社，1990：167-176.
[责任编辑：李 璟]
关键词：鱼和渔;教与学;“研究型”教学;新课改
中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2021）23-0020-02
收稿日期：2021-05-15
作者简介：吴葵，国家级奥数教练，从事初中数学奥数教学研究.
一、何为“鱼”和“渔”
从教十年来，接触过很多的初中学生家长和高中家长，很多初中的家长都苦恼，孩子小学时数学很好，为什么初中就学不会了，得到的答案无外乎初中数学内容多了，难度大了，或者认为孩子青春期了，变笨了啊，同样的现象在高中也是非常普遍的，那么造成这种现象的真正原因到底是什么呢？在回答这个问题之前，我们先来看一个案例.
引例：读小学三年级的外甥，数学成绩一直很好，有次检查他的家庭作业时，发现他只用了不到五分钟就做完了作业，笔者竟用了十多分钟才检查完，更不可思议的是，他做的全对.原因很简单，作业是乘法应用题，每一道应用题中都有两个数据，所求的问题都是将这两个数据相乘得到答案，小外甥做题时连题都没有读，直接列式计算了.忽然联想到很多初中生题都读不懂，审题审不清，对其中很多的数据不知道怎么处理，不会分析题目，也许跟这种机械式的做题有点关系.
笔者认为单纯的传授知识，把这些知识教给学生，这些知识即为“鱼”，而教会学生获取知识的方法，技能，以及解决问题的办法都是“渔”.
二、怎樣才算是“授人以渔”
数学教学是思维的教学，培根说过，数学是思维的体操，也许教材、大纲也没有那么重要，他们是为了培养学生思维的工具和途径，而不是限制教学的警戒线.教材上没有的，大纲上没包括到的，考试不考的，只要能训练学生思维，能开发他们的大脑的都应讲，成功的数学教学绝不是考试分数能评价的，学生有没有变聪明、思维有没有得到提高，才是教学效果的评价标准.也只有学生思维活跃了，学生以后的路才会开阔，才会越学越轻松.当然学生聪明了，考试成绩自然不差，所以数学教学不能只治标不治本.
那么怎样“授人以渔”？我们先来看下面几个案例.在教授平方差公式时，三位老师的不同做法.
案例1：教师甲在教授时是这样的，首先“开门见山”，告诉学生今天的学习内容是“平方差公式a2-b2=a+ba-b”，再让学生证明这个结论，然后就是应用，找一些设计好的例题训练.当然，为了响应学生的主体性，老师也会让学生自己完成证明和应用题，然后才讲评，由于教师的精心选题，将题型归纳的很到位，学生掌握的很好，很多补习机构大多都是此类方法，“快餐式”教学.
案例2：教师乙设计了一个几何情境，“（如图1）在边长为a的正方形中，减去一个边长为b的正方形，求余下的面积？”余下面积可表示为a2-b2，也可以通过拼接成一个长为a+b，宽为a-b的长方形，所以面积可表示为a+ba-b，显然a2-b2=a+ba-b，然后跟教师甲一样，代数证明，在进行训练.
可以看出教师乙比较用心，学生接受新知识，不会觉得突兀，消除学生对陌生问题的抵触情绪和畏难情绪，而且数形结合比纯代数也更能吸引学生的注意力，不会那么枯燥，学生掌握得会更好，此类方法，是学校里成熟型教师常用的方法，也即“情境式”教学.
案例3：教师丙从一道题开始，“x+3x+k展开式中不含一次项，求k的值”，学生自行推导x+3x+k=x2+k+3x+3k，不含一次项，即k+3=0所以k=-3，教师给出变式，x+kx-5展开式中不含一次项，则k=5.教师进一步提出要求，“将两题的等式写在一起，x+3x-3=x2-9x+5x-5=x2-25，你有什么发现吗？”让学生总结归纳出一个公式a+ba-b=a2-b2，（训练学生从特殊到一般的抽象概括的能力，给学生善于发现问题的眼睛）教师进一步提出要求，“看到a2，想到正方形的面积公式就是边长的平方，不知道能不能从几何面积的层面验证这个公式？对于a2-b2，你如何构造呢？”教师不断引导学生设计出几何证明的方法，此方法也就是教师乙引入时用到的几何情境，（培养学生思维的严密性，引导学生富有探索精神，因为教师没有固定成教师乙用的图形，而是让学生自己思考，所以课堂会生成很多意想不到的方法，比如图3图4描述的方法），证明完了以后，教师强调“这种用几何解决代数问题的方法很强大，等一下讲完再给大家一些代数问题，大家课下设计出几何证明方法.”接下来，我们给它取一个名字吧，a2-b2是两个数分别平方再做差，就叫平方差吧！教师问学生，这个公式有什么用呢？我们能不能出一些用了这个公式后很方便的题呢？如果学生有困难，教师可先做一个示范，然后鼓励学生出题，大力表扬出的很好的学生，展示不同类型或新颖的出题，然后教师展示学生没有出到的比较重要类型的题，并一起解决这些问题.
教师丙的教学方式跟前面两位教师很不一样，之所以这样选择是教育观念的不一样，前面两位教师追求的是“如何最好地将知识传授给学生”，在教学过程中教师的主导作用很明显，但学生的主体地位没有得到体现，学生一直在教师的精心安排下，被动地接受学习.而教师丙定位自己是教学的组织者、引导者，学生才是学习的主体，整节课堂在教师的组织引导下，学生通过自主探究合作交流来获得知识，在获得知识的同时，学生的自学能力，发现问题，分析问题和解决问题的能力都得到很大的提高，另外由于是主动去寻求知识，所以大大提高了学生的学习兴趣，在求知中获得成就感，让学生热爱学习热爱思考热爱生活，属于“研究型”教学.
真正的“主体性”绝不只是让学生自主地走老师设计好的路，更重要的是让他们开拓学习.在具体的教学中，多让学生自主探究，设计课题，设计例题，设计解决问题的方案.
例如，在教授高中数学必修五《等比数列的通项》时，笔者是这样上的这节课，首先提出问题“听说纸如果能被折叠42次就可以上月球”？你们觉得可能吗？然后整节课都围绕解决这个问题展开，首先是查地理书看月球到地球的平均距离为384000千米，通过一定的测量方法，我们估计一张纸的厚度为0.1毫米，折叠42次厚度为0.1mm×242=439804651110.4mm≈4.398×105km>3.84×105km（地月平均距离），探究完得出结论，这句话是对的.
整节课都在快乐的求知中完成，老师也就是提出了个问题，大多时间都是同学们自己查资料，想办法，测量，计算解决了问题.
三、“渔”的作用与意义
国家教育方针中提出，要在德智体等方面全面发展，其“智”不仅仅是掌握科学文化知识和技能，发展智力，还包括养成科学态度和探索精神，为了实现这样的方教育理念，国家提出了新课改，新课改的理念是“倡导自主合作，探究的学习方式，强调要把课堂还给学生，要求学生积极主动地学习，在课堂教学当中，要充分发挥学生的主体作用.”为了检测新课改的成效，国家在中考高考指向中也逐渐加强能力的考察查，这对我们新时代的教师，特别是数学教师也提出了新的要求，在知识传授的同时，更要注重学生能力的提高，其中传授知识是为“标”，培养各方面的能力是为“本”;数学教学不能只是治“标”而不治“本”，其中，“标”就是“鱼”，“本”就是捕鱼的方法的“渔”.所以笔者认为，对于数学教学，“授人以鱼不如授人以渔”.
参考文献：
[1]叶圣陶.叶圣陶语文教育论集[M].北京：教育科学出版社，2015.
[2]乔纳森.学会用技术解决问题———一个建构主义者的视角[M].任友群等译，北京：教育科学出版社，2007：2.
[3]杜威.民主主义与教育[M].王承绪译，人民教育出版社，1990：167-176.
[责任编辑：李 璟]