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【摘要】通过学习与实践，根据数学概念的教学要求，本文分析了数学概念是什么，为什么要加强概念教学，理清概念间的关系，了解概念的内涵和外延，真正地提高学生的数学素质.
【关键词】数学；概念学习；内涵与外延
通过多年来数学教学工作，我体会到概念教学在数学教学中的重要性.因为每一段数学内容都是由概念、命题及命题的推理而组成.只有正确地理解数学的每一个概念，才能系统地学好数学，但由于升学的压力，学生在学习过程中，容易出现重实用，轻视概念的倾向.我们只有运用认知理论，根据数学学习的客观规律，循序渐进，才能真正地学好数学概念，掌握好数学的精髓.
一、数学概念的认识
认知心理学认为概念学习是辨别一类事物或概念的共同特征.事物所固有的，具有规律性的性质称为事物的本质属性，根据该性质可以将此事物和其他事物区分开.人们是在实践中认识周围的事物（对象），通过实践，运用比较分析、综合、抽象等一系列逻辑方法，抓住客观对象最主要的本质属性而产生概念.因此，概念是客观的对象及其本质属性在人们思维中的反映.而数学是研究现实世界形式和数量关系的科学，数学概念是现实世界中空间形式的反映.一个数学概念通常用一个词（名称）或符号来表示.例如，用Q，N，Z，R分别表示有理数集、自然数集、整数集和实数集.数学概念的产生与发展有各种不同的途径.有些是直接从事物的空间形式和数量关系中反映出来，如自然数概念是从事物排列的空间形式和数量关系反映出.几何中的点、线、面、体、平行、垂直、圆柱、锥、台、球等概念是从形状及大小位置关系抽象出来的.有些概念是在抽象的数学概念的基础上经过多次复杂的抽象概括过程才产生和发展而成，如“复数”的概念是在实数的概念的基础上产生的，而实数的概念又是在有理数的基础上产生的.有些概念是经过思维加工把事物的属性理想化、纯粹化得来的，如群、环的概念.数学概念的形成不论如何复杂、抽象，它们总是在一定的感性认识的基础上，不断上升到理性认识的层次上而逐步发展起来的.
为了正确地进行思维、判断和推理，概念必须明确.要做到概念明确，就必须弄清楚概念的内涵和外延.任何一个概念都具有明确的内涵和外延这两方面，它们是最基本的逻辑特征.学习一个概念就是要明确概念所指的对象是什么，其所反映的对象有哪些本质属性，只有对概念的内涵和外延两方面都有了准确的了解，才能说对概念的理解是明确的.
二、概念间的关系
概念间的关系主要是指概念的外延间的关系，因为概念的具体的对象，它的整体实为集合，所以探讨外延的关系就归之为讨论集合之间的关系，并可用图形直观表示出来，根据两个概念的外延有无共同之处，概念间的关系分为相容关系和不相容关系.相容概念又可分为完全重合和部分重合，故相容关系又分为同一关系、属种关系和交叉关系三种.
（1）同一关系（又称全同关系）：如果两个概念的外延完全重合，则两个概念的关系是同一关系（全同关系）.例如，“等边矩形”和“等对角线矩形”这两个概念的外延相等，是同一关系.了解更多的同一概念可以对反映同一事物的概念的内涵做全方位的揭示.有利于认识对象，在同一论证过程中，具有同一关系的两个概念可以互相代替，有利于论证，例如，等边三角形的“外心”“内心”“垂心”“重心”均指同一个点，四心是合一的，论证时常常互相代替.
（2）属种关系（从属关系、真包含关系）：如果两个概念之间，一个概念的外延完全包含在另一个概念的外延之中，而且仅仅成为另一个概念的外延的一部分，则这两个概念之间的关系是属种关系，外延大的且包含另一个概念的那个概念叫作属概念（有时称上位概念），外延小的概念叫作种概念.例如，四边形和平行四边形、实数和有理数分别是具有属种关系的概念.
（3）交叉关系：例如，“等腰三角形”和“直角三角形”是交叉概念，交集是“等腰直角三角形”.
概念间的不相容关系（也称全异关系）：所谓概念间的不相容关系是指属于同一个属概念中的两个在外延上没有任何重合部分的种概念之间的关系，不相容关系又分为反对关系和矛盾关系.
三、内涵和外延的反变关系，限定和扩大
具有属种关系的两个概念，它的外延和内涵具有反变关系，即指一个概念的外延愈大则它的内涵愈少；反之，一个概念的外延愈小，则它的内涵愈多.例如，“平行四边形”这个概念的内涵增加“邻边相等”就成为“菱形”，后者比前者的外延小.
应当注意的是，这种反变关系只能对一个概念可列入另一个概念的外延中的那些概念而言，即属种关系的那些概念.概念的外延和内涵变化方式有两种，概念的限定（又称为概念的收缩）和概念的扩大（又称为概念的概括），概念的限定（收缩）就是由外延丰富的内涵贫乏的概念出发，不断丰富概念的内涵，同时也相应地缩小其外延.这个逐次形成新概念的过程，是使概念从一般愈来愈趋向特殊化的过程.例如，平行四边形要是加邻边相等就会变成菱形，如果再加其中有一个角为直角，就变成了正方形.
总之，概念的学习中要注重概念的本质、概念产生的基礎；善于解剖概念，把握好概念的内涵和外延.对数学概念的学习，要充分发挥学生的主动性，培养学生自主学习的能力.要学会读书，并且能通过概念的认识，归纳字面上的信息，抓住数学概念的本质，并通过练习来巩固，真正地学好数学，提高自身的数学素质.
【参考文献】
[1]吴宪芳，等.数学教育学[M].武汉：华中师范大学，2010.
[2]罗伯特·L·索尔索.认知心理学[M].北京：教育科学出版社，2009.
[3]徐胜三.中学教育心理学[M].北京：人民教育出版社，2013.
【关键词】数学；概念学习；内涵与外延
通过多年来数学教学工作，我体会到概念教学在数学教学中的重要性.因为每一段数学内容都是由概念、命题及命题的推理而组成.只有正确地理解数学的每一个概念，才能系统地学好数学，但由于升学的压力，学生在学习过程中，容易出现重实用，轻视概念的倾向.我们只有运用认知理论，根据数学学习的客观规律，循序渐进，才能真正地学好数学概念，掌握好数学的精髓.
一、数学概念的认识
认知心理学认为概念学习是辨别一类事物或概念的共同特征.事物所固有的，具有规律性的性质称为事物的本质属性，根据该性质可以将此事物和其他事物区分开.人们是在实践中认识周围的事物（对象），通过实践，运用比较分析、综合、抽象等一系列逻辑方法，抓住客观对象最主要的本质属性而产生概念.因此，概念是客观的对象及其本质属性在人们思维中的反映.而数学是研究现实世界形式和数量关系的科学，数学概念是现实世界中空间形式的反映.一个数学概念通常用一个词（名称）或符号来表示.例如，用Q，N，Z，R分别表示有理数集、自然数集、整数集和实数集.数学概念的产生与发展有各种不同的途径.有些是直接从事物的空间形式和数量关系中反映出来，如自然数概念是从事物排列的空间形式和数量关系反映出.几何中的点、线、面、体、平行、垂直、圆柱、锥、台、球等概念是从形状及大小位置关系抽象出来的.有些概念是在抽象的数学概念的基础上经过多次复杂的抽象概括过程才产生和发展而成，如“复数”的概念是在实数的概念的基础上产生的，而实数的概念又是在有理数的基础上产生的.有些概念是经过思维加工把事物的属性理想化、纯粹化得来的，如群、环的概念.数学概念的形成不论如何复杂、抽象，它们总是在一定的感性认识的基础上，不断上升到理性认识的层次上而逐步发展起来的.
为了正确地进行思维、判断和推理，概念必须明确.要做到概念明确，就必须弄清楚概念的内涵和外延.任何一个概念都具有明确的内涵和外延这两方面，它们是最基本的逻辑特征.学习一个概念就是要明确概念所指的对象是什么，其所反映的对象有哪些本质属性，只有对概念的内涵和外延两方面都有了准确的了解，才能说对概念的理解是明确的.
二、概念间的关系
概念间的关系主要是指概念的外延间的关系，因为概念的具体的对象，它的整体实为集合，所以探讨外延的关系就归之为讨论集合之间的关系，并可用图形直观表示出来，根据两个概念的外延有无共同之处，概念间的关系分为相容关系和不相容关系.相容概念又可分为完全重合和部分重合，故相容关系又分为同一关系、属种关系和交叉关系三种.
（1）同一关系（又称全同关系）：如果两个概念的外延完全重合，则两个概念的关系是同一关系（全同关系）.例如，“等边矩形”和“等对角线矩形”这两个概念的外延相等，是同一关系.了解更多的同一概念可以对反映同一事物的概念的内涵做全方位的揭示.有利于认识对象，在同一论证过程中，具有同一关系的两个概念可以互相代替，有利于论证，例如，等边三角形的“外心”“内心”“垂心”“重心”均指同一个点，四心是合一的，论证时常常互相代替.
（2）属种关系（从属关系、真包含关系）：如果两个概念之间，一个概念的外延完全包含在另一个概念的外延之中，而且仅仅成为另一个概念的外延的一部分，则这两个概念之间的关系是属种关系，外延大的且包含另一个概念的那个概念叫作属概念（有时称上位概念），外延小的概念叫作种概念.例如，四边形和平行四边形、实数和有理数分别是具有属种关系的概念.
（3）交叉关系：例如，“等腰三角形”和“直角三角形”是交叉概念，交集是“等腰直角三角形”.
概念间的不相容关系（也称全异关系）：所谓概念间的不相容关系是指属于同一个属概念中的两个在外延上没有任何重合部分的种概念之间的关系，不相容关系又分为反对关系和矛盾关系.
三、内涵和外延的反变关系，限定和扩大
具有属种关系的两个概念，它的外延和内涵具有反变关系，即指一个概念的外延愈大则它的内涵愈少；反之，一个概念的外延愈小，则它的内涵愈多.例如，“平行四边形”这个概念的内涵增加“邻边相等”就成为“菱形”，后者比前者的外延小.
应当注意的是，这种反变关系只能对一个概念可列入另一个概念的外延中的那些概念而言，即属种关系的那些概念.概念的外延和内涵变化方式有两种，概念的限定（又称为概念的收缩）和概念的扩大（又称为概念的概括），概念的限定（收缩）就是由外延丰富的内涵贫乏的概念出发，不断丰富概念的内涵，同时也相应地缩小其外延.这个逐次形成新概念的过程，是使概念从一般愈来愈趋向特殊化的过程.例如，平行四边形要是加邻边相等就会变成菱形，如果再加其中有一个角为直角，就变成了正方形.
总之，概念的学习中要注重概念的本质、概念产生的基礎；善于解剖概念，把握好概念的内涵和外延.对数学概念的学习，要充分发挥学生的主动性，培养学生自主学习的能力.要学会读书，并且能通过概念的认识，归纳字面上的信息，抓住数学概念的本质，并通过练习来巩固，真正地学好数学，提高自身的数学素质.
【参考文献】
[1]吴宪芳，等.数学教育学[M].武汉：华中师范大学，2010.
[2]罗伯特·L·索尔索.认知心理学[M].北京：教育科学出版社，2009.
[3]徐胜三.中学教育心理学[M].北京：人民教育出版社，2013.