在平面直角坐标系中研究直线是利用直线与二元一次方程的关系，建立直线的方程，并通过方程来研究直线，从而把对几何问题的讨论从定性的研究推进到可以定量计算的层面。本文将通过构建空间直角坐标系，建立平面的方程，类比研究直线的方法来分析点到平面的距离、两平行平面的距离、二面角大小的计算问题。
　　定理1：空间中任一平面的方程都可以表示成一个关于变量x,y,z的一次方程；反过来，每一个关于变数x,y,z的一次方程都表示一个平面。
　　如果M0(X0,Z0,Y0)是平面 上一给定点， 是平面 的法向量，
　　设M(X,Z,Y)是平面 上任意一点，
　　由
　　
　　令：
　　可得方程： ①
　　方程①叫做平面的一般方程
　　例1：如图2，AC1是棱长为1的正方体，如图建立空间直角坐标系，求平面 ACD1方程
　　解析：由题可知：
　　
　　由：
　　
　　
　　所以平面ACD1的法向量 =(1,1,1)
　　设平面ACD1的方程是：x+y+z+D=0
　　由A(1,0,0) 面ACD1，得：D=-1
　　所以：平面ACD1方程是x+y+z-1=0
　　结论1：Q(x0,y0,z0)到平面 ：Ax+By+Cz+D=0的距离
　　
　　
　　证法1：斜线段PQ在法向量 方向上的投影的绝对值即为点到面的距离
　　设 是平面 上一点，则
　　 ,设Q到平面 的距离为d
　　所以：
　　
　　
　　又： 故：
　　所以：
　　
　　证法2：过点Q作面 的垂线，点Q与垂足O连线段的长度及为点面距
　　过点Q作QO⊥ 与O，设Q到平面 的距离为d，则
　　设 ,则
　　
　　由（2）可得：
　　
　　 所以：
　　
　　又
　　
　　
　　代(3)(4)入(1)得：
　　例2：如图2，求点B1到平面ACD1的距离。
　　解：由例1知：平面ACD1方程是x+y+z-1=0，B1(1,1,1)
　　则：
　　
　　定理2：对于平面
　　
　　设其法向量分别为 ，若 ，则 ;若 ，则
　　结论2：两平行平面
　　的距离
　　
　　证明：设 是平面 上任意一点，则两平行平面 , 的距离d等于 到平面 的距离；
　　由结论（1）可得：
　　
　　又
　　由（1）（2）得：
　　
　　例3：如图三，AC1是棱长为1的正方体，如图建立空间直角坐标系，求平面ACD1和平面A1BC1的距离
　　解：易证：平面ACD1 平面A1BC1
　　由例1知：平面ACD1方程是
　　x+y+z-1=0，
　　由定理2，可设平面A1BC1方程是
　　x+y+z+m=0，
　　由：B(1,1,0) 平面A1BC1，则m=-2
　　所以：面A1BC1方程是x+y+z-2=0，
　　所以：平面ACD1和平面A1BC1的距离
　　
　　结论3：平面
　　设其法向量分别为 ，设二面角 的大小为 ，则
　　 或
　　
　　注释：（1）平面 的法向量 （ 且 不共线）的方向可由“右手法则”确定，即：手掌立在 、 所在平面的向量 上，掌心向 ，那么大拇指方向就是垂直于该平面的方向；
　　（2）当且仅当 时，
　　例4：已知平面 ； ，求平面 所成锐二面角的大小。
　　解：设平面 所成锐二面角为
　　则
　　
　　所以：
　　
　　【参考文献】
　　1．吕林根、许子道：解析几何（第三版），高等教育出版社
　　2．全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上），人民教育出版社
　　3．川大版物理系专用教材第二册
　　（作者单位：618000四川省德阳市德阳中学）