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摘 要
数学综合与实践课的实施是数学发展与数学教学发展的必然要求，在杂乱无序的课堂教学中，探究综合与实践课的课型范式，可以让教师既能规范课堂流程、优化课堂结构，又能适时灵活调整，形成有个人特色的综合与实践课。课型范式的探究有利于推进综合与实践课常态化实施，有利于改进教师专业化指导，有利于促进学生长足发展。
关键词
数学综合与实践课 课型范式 必要性 实施建议
一、探究综合与实践课的课型范式的教学案例
数学综合与实践课的特点是自主性、创新性、趣味性、渗透性、实践性、灵活性，因此课堂教学要以学生为主体，以活动为手段，以提高能力为目的，逐步唤醒学生学习的意识，引发学生积极思考，改变学习方式，增强综合运用所学知识解决问题的能力。这种教学模式的组织流程可用如下简明的示意图表示：
下面结合《探索三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件》具体案例浅谈初中数学综合与实践课的课型范式。
1.自主实践初步学。
（1）抓拍生活题材，创设数学情境。
问题1：小区内有一个三角形小花坛（如图2），它的三个角分别为36°、72°、72°。现该小区物业公司想把它分割成两个等腰三角形，使之种上不同品种的花卉，你可以帮助该物业公司设计一个满足要求的方案吗？
追问1：如果小花坛为如图3、图4所示的三角形，你还能分割成两个等腰三角形吗？请你试一试。
教学分析：教师从学生熟悉的生活情境入手，以学生常见的特殊三角形切入，讓学生通过数学直觉和简单操作设计方案。既为呈现数学问题提供素材，也为解决问题埋下伏笔。
（2）尝试操作活动，积累数学素材。
问题2：请任意做一个三角形（标好内角度数），探究能否将所做三角形分割成两个等腰三角形？如果能，画出分割线，并标出每个角的度数；如果不能，直接写出三角形的内角度数。
教学分析：学生做出的三角形形状各异，这种操作活动，既能为课堂上探究规律提供第一手素材，又能润物细无声般让学生学会由特殊到一般的探究数学问题的方法，也通过操作实践，让学生初步摸索能被分割成两个等腰三角形需满足的条件，课前先提前活跃学生思维。
2.合作探究深化学。
（1）师生顺势而为，呈现数学问题。
教师：在课前自主学习中，你有什么发现或有什么疑问？
学生1：我发现所画的三角形中一部分能分割成两个等腰三角形，但也有一部分目前还没有办法分割。
学生2：我想知道当三角形满足什么条件时，才能被分割成两个等腰三角形？
教学分析：在学生课前独立思考的基础上，交流学生的收获和问题，呈现问题探究的主题，激发学生的学习情趣和思维活力，培养学生善于发现问题、勇于提出问题的精神。
（2）自主探究学习，建立数学模型。
教师：借助图形，将发现的问题建立数学模型，试一试用规范的数学语言来描述！
学生3：在△ABC中，∠A=α，∠B=β，∠C=γ，过点A作∠BAD=β，交BC于点D；
（1）∠ADC= ，∠DAC= （用含字母α、β的代数式表示）。
（2）猜想：当三角形满足什么条件时，能被分割成两个等腰三角形？
（3）请通过作图验证你的猜想。
教学分析：结合图形，引导学生在已有知识经验的基础上，分析如何把文字语言转化为符号语言，形成自己的理解，同时让学生体会数学建模的意义和重要性。其次，将问题转化为三个层次。在学生自主探究的过程中，第（1）问能轻松解决，第（2）、（3）问存在问题，很多学生止步在第（2）问。当各个层次的学生产生不同的困难时，合作学习自然成为后续探究的趋势。
（3）合作交流学习，探究数学活动。
教师：下面请各小组按要求组织小组合作探究，作好记录并展示成果。主要交流：你是如何探索出三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件的？
（学生分组合作探究，积极发表各自想法）
教师：哪个小组验证好了各种情形？请展示成果。
学生4：我通过观察，大胆猜想这三类三角形肯定能被分割：（1）原三角形是直角三角形；（2）原三角形中有一个角为另一个角的3倍；（3）原三角形中有一个角为另一个角的2倍。
学生5： 我是借助第（1）问的结论，分三种情形逐一分析：（1）当AD =AC时，可得2β=γ，（2）当AD =CD时，α-β=γ，可得α=90°；（3）当AC=CD时，可得α=3β。
教师：学生4是通过观察具体实例中蕴含的特殊关系，猜想出条件的，学生5是通过用代数式表示角度，分类讨论推导出条件的，都非常好！是否满足上述三种情形之一的三角形都能分割呢？如果不能，你能画出一个反例吗？
学生6：在△ABC中，若∠A=38°，∠B=76°，∠C=66°，满足∠B=2∠A，但我不会分割。
教师：此时需要增加什么条件呢？
学生7：在△ABC中，若∠B=2∠C，过∠A作的直线AD所分的三角形是等腰三角形，可得∠C<45°，∠A=180°-3∠C>45°，即∠A要大于45°。
教师：考虑得非常全面！请各小组完善过程。
教学分析：以学生初步分析遇到的问题为契机，鼓励学生说出思维的断裂点，通过小组合作、质疑展示的方式，教授学生由特殊到一般的解决问题的思路、由猜想到证明的探究问题的方法，培养学生分类讨论的数学思想，加强学生思维的灵活性和严密性。
3.总结拓展提升学。
（1）补充总结归纳，形成数学方法。
教师：通过问题探究，解决此类问题你有什么心得可以与同学分享吗？ 学生8：我通过思维导图总结出了方法。（投影思维导图）
教学分析：教师指导学生从具体问题的分析中归纳出问题的本质和规律性结论，并通过思维导图的形式将解决问题的方法形象地表达出来，加深学生的理解，得到解决一类问题的通法。
（2）应用拓展变式，提升数学思维。
问题4：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线。请你在下图中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数。（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
教学分析：教师引导学生将原始问题转化成两个等腰三角形的问题，使之感受到虽然问题形式上发生变化，但其本质不变，体會“变”中“不变”。其次，培养学生的转化思维，有助于学生深化和巩固知识，增强对知识之间的再认识，拓展思维的概括性。
二、探究综合与实践课的课型范式的价值
1.有利于推进综合与实践课常态化实施。
综合与实践课注重的是对学生创新精神和实践能力的培养，这就要求教师改变已有的教学组织方式，但目前综合与实践课基本教学组织形式缺乏规范，过程指导缺乏基本行为规范。只有探究综合与实践课的课型范式，建立课程实施的基本框架，开展课堂教学组织形式建模，才能指引综合与实践课常态化实施。
2.有利于促进教师专业化发展。
探究综合与实践课的课型范式，能够确立教师结构意识，给教师一个具体的框架，引导和规范课堂教学，明确教师的指导作用，提高教学指导的专业化程度。同时促进了教师的学习和研究，解放教师的思想，更新教师的观念，提升教师的素养，发展教师的能力。
3.有利于促进学生的长远发展。
探究综合与实践课的课型范式，便于让学生主动参与探究活动的全过程，让学生参与实践操作活动，亲自体验获取数学知识的过程。在自主研读初步学、合作探究深化学、总结拓展提升学三个环节中，为学生提供尝试操作、探究发现、大胆质疑、调查研究、实验论证、合作交流、汇报展示的机会和平台，为学生终身学习奠定基础。
数学综合与实践课的课型应根据实际情况灵活处理，课堂不是一成不变的流水线，不能公式化地生搬硬套，可由课题内容、课堂生成、学生差异、教师个人风格等因素有目的性的改变，坚持“课无定型”的最高境界。
（作者为江苏省常州市武进区湖塘实验中学教师）
【参考文献】
[1] 史宁中. 义务教育数学课程标准（2011版）解读[M]. 北京： 北京师范大学出版社， 2012.
[2] 孙福明， 承锡生， 徐淮源. 课型范式与实施策略·中学数学[M]. 南京： 江苏教育出版社， 2012.
[3]张小亚. 课型范式与实施策略·综合实践活动[M]. 南京： 江苏教育出版社， 2012.
数学综合与实践课的实施是数学发展与数学教学发展的必然要求，在杂乱无序的课堂教学中，探究综合与实践课的课型范式，可以让教师既能规范课堂流程、优化课堂结构，又能适时灵活调整，形成有个人特色的综合与实践课。课型范式的探究有利于推进综合与实践课常态化实施，有利于改进教师专业化指导，有利于促进学生长足发展。
关键词
数学综合与实践课 课型范式 必要性 实施建议
一、探究综合与实践课的课型范式的教学案例
数学综合与实践课的特点是自主性、创新性、趣味性、渗透性、实践性、灵活性，因此课堂教学要以学生为主体，以活动为手段，以提高能力为目的，逐步唤醒学生学习的意识，引发学生积极思考，改变学习方式，增强综合运用所学知识解决问题的能力。这种教学模式的组织流程可用如下简明的示意图表示：
下面结合《探索三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件》具体案例浅谈初中数学综合与实践课的课型范式。
1.自主实践初步学。
（1）抓拍生活题材，创设数学情境。
问题1：小区内有一个三角形小花坛（如图2），它的三个角分别为36°、72°、72°。现该小区物业公司想把它分割成两个等腰三角形，使之种上不同品种的花卉，你可以帮助该物业公司设计一个满足要求的方案吗？
追问1：如果小花坛为如图3、图4所示的三角形，你还能分割成两个等腰三角形吗？请你试一试。
教学分析：教师从学生熟悉的生活情境入手，以学生常见的特殊三角形切入，讓学生通过数学直觉和简单操作设计方案。既为呈现数学问题提供素材，也为解决问题埋下伏笔。
（2）尝试操作活动，积累数学素材。
问题2：请任意做一个三角形（标好内角度数），探究能否将所做三角形分割成两个等腰三角形？如果能，画出分割线，并标出每个角的度数；如果不能，直接写出三角形的内角度数。
教学分析：学生做出的三角形形状各异，这种操作活动，既能为课堂上探究规律提供第一手素材，又能润物细无声般让学生学会由特殊到一般的探究数学问题的方法，也通过操作实践，让学生初步摸索能被分割成两个等腰三角形需满足的条件，课前先提前活跃学生思维。
2.合作探究深化学。
（1）师生顺势而为，呈现数学问题。
教师：在课前自主学习中，你有什么发现或有什么疑问？
学生1：我发现所画的三角形中一部分能分割成两个等腰三角形，但也有一部分目前还没有办法分割。
学生2：我想知道当三角形满足什么条件时，才能被分割成两个等腰三角形？
教学分析：在学生课前独立思考的基础上，交流学生的收获和问题，呈现问题探究的主题，激发学生的学习情趣和思维活力，培养学生善于发现问题、勇于提出问题的精神。
（2）自主探究学习，建立数学模型。
教师：借助图形，将发现的问题建立数学模型，试一试用规范的数学语言来描述！
学生3：在△ABC中，∠A=α，∠B=β，∠C=γ，过点A作∠BAD=β，交BC于点D；
（1）∠ADC= ，∠DAC= （用含字母α、β的代数式表示）。
（2）猜想：当三角形满足什么条件时，能被分割成两个等腰三角形？
（3）请通过作图验证你的猜想。
教学分析：结合图形，引导学生在已有知识经验的基础上，分析如何把文字语言转化为符号语言，形成自己的理解，同时让学生体会数学建模的意义和重要性。其次，将问题转化为三个层次。在学生自主探究的过程中，第（1）问能轻松解决，第（2）、（3）问存在问题，很多学生止步在第（2）问。当各个层次的学生产生不同的困难时，合作学习自然成为后续探究的趋势。
（3）合作交流学习，探究数学活动。
教师：下面请各小组按要求组织小组合作探究，作好记录并展示成果。主要交流：你是如何探索出三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件的？
（学生分组合作探究，积极发表各自想法）
教师：哪个小组验证好了各种情形？请展示成果。
学生4：我通过观察，大胆猜想这三类三角形肯定能被分割：（1）原三角形是直角三角形；（2）原三角形中有一个角为另一个角的3倍；（3）原三角形中有一个角为另一个角的2倍。
学生5： 我是借助第（1）问的结论，分三种情形逐一分析：（1）当AD =AC时，可得2β=γ，（2）当AD =CD时，α-β=γ，可得α=90°；（3）当AC=CD时，可得α=3β。
教师：学生4是通过观察具体实例中蕴含的特殊关系，猜想出条件的，学生5是通过用代数式表示角度，分类讨论推导出条件的，都非常好！是否满足上述三种情形之一的三角形都能分割呢？如果不能，你能画出一个反例吗？
学生6：在△ABC中，若∠A=38°，∠B=76°，∠C=66°，满足∠B=2∠A，但我不会分割。
教师：此时需要增加什么条件呢？
学生7：在△ABC中，若∠B=2∠C，过∠A作的直线AD所分的三角形是等腰三角形，可得∠C<45°，∠A=180°-3∠C>45°，即∠A要大于45°。
教师：考虑得非常全面！请各小组完善过程。
教学分析：以学生初步分析遇到的问题为契机，鼓励学生说出思维的断裂点，通过小组合作、质疑展示的方式，教授学生由特殊到一般的解决问题的思路、由猜想到证明的探究问题的方法，培养学生分类讨论的数学思想，加强学生思维的灵活性和严密性。
3.总结拓展提升学。
（1）补充总结归纳，形成数学方法。
教师：通过问题探究，解决此类问题你有什么心得可以与同学分享吗？ 学生8：我通过思维导图总结出了方法。（投影思维导图）
教学分析：教师指导学生从具体问题的分析中归纳出问题的本质和规律性结论，并通过思维导图的形式将解决问题的方法形象地表达出来，加深学生的理解，得到解决一类问题的通法。
（2）应用拓展变式，提升数学思维。
问题4：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线。请你在下图中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数。（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
教学分析：教师引导学生将原始问题转化成两个等腰三角形的问题，使之感受到虽然问题形式上发生变化，但其本质不变，体會“变”中“不变”。其次，培养学生的转化思维，有助于学生深化和巩固知识，增强对知识之间的再认识，拓展思维的概括性。
二、探究综合与实践课的课型范式的价值
1.有利于推进综合与实践课常态化实施。
综合与实践课注重的是对学生创新精神和实践能力的培养，这就要求教师改变已有的教学组织方式，但目前综合与实践课基本教学组织形式缺乏规范，过程指导缺乏基本行为规范。只有探究综合与实践课的课型范式，建立课程实施的基本框架，开展课堂教学组织形式建模，才能指引综合与实践课常态化实施。
2.有利于促进教师专业化发展。
探究综合与实践课的课型范式，能够确立教师结构意识，给教师一个具体的框架，引导和规范课堂教学，明确教师的指导作用，提高教学指导的专业化程度。同时促进了教师的学习和研究，解放教师的思想，更新教师的观念，提升教师的素养，发展教师的能力。
3.有利于促进学生的长远发展。
探究综合与实践课的课型范式，便于让学生主动参与探究活动的全过程，让学生参与实践操作活动，亲自体验获取数学知识的过程。在自主研读初步学、合作探究深化学、总结拓展提升学三个环节中，为学生提供尝试操作、探究发现、大胆质疑、调查研究、实验论证、合作交流、汇报展示的机会和平台，为学生终身学习奠定基础。
数学综合与实践课的课型应根据实际情况灵活处理，课堂不是一成不变的流水线，不能公式化地生搬硬套，可由课题内容、课堂生成、学生差异、教师个人风格等因素有目的性的改变，坚持“课无定型”的最高境界。
（作者为江苏省常州市武进区湖塘实验中学教师）
【参考文献】
[1] 史宁中. 义务教育数学课程标准（2011版）解读[M]. 北京： 北京师范大学出版社， 2012.
[2] 孙福明， 承锡生， 徐淮源. 课型范式与实施策略·中学数学[M]. 南京： 江苏教育出版社， 2012.
[3]张小亚. 课型范式与实施策略·综合实践活动[M]. 南京： 江苏教育出版社， 2012.