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江苏省盐城市第一中学 陆 凯 224001
解三角形是在原有的三角函数和三角恒等变换的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，用数量关系对三角形进行进一步的研究，主要内容是揭示三角形边角关系的正弦定理、余弦定理以及正、余弦定理在测量和几何计算中的应用，是高考命题的一个热点内容．
在高考试题中出现有关解三角形方面的试题大多数为容易题、中档题，主要考查正、余弦定理及其应用、三角恒等变形的能力、运算能力及转化思想的应用能力．本文选用2010年全国各地高考试卷为研究材料，归纳出解三角形的考查题型与解法．
一、 正、余弦定理及其应用
利用正、余弦定理可以解决四类三角形问题：（1） 已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2） 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；（3） 已知三边，求三个角；（4） 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．即已知一个三角形三个角三条边中的任意三个条件（其中至少有一边），就可以解这个三角形．在解三角形时，常常将正、余弦定理结合在一起使用，要注意恰当的选取定理，简化运算过程，提高计算速度，同时注意与平面几何中的有关性质、定理相结合．
（1） 边角的求解问题
在边角求解时一般要注意几解的问题，一般用正、余弦定理或结合三角形内角和定理、大边对大角等性质来判断几解问题．在求角的大小时一定要注意两个条件：① 角的范围；② 角的某一个三角函数的值．在由三角函数值来判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性．
例1 （2010江苏卷）在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，ba+ab=6cosC，则tanCtanA+tanCtanB= ．
解析：本题考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想，一题多解．
解：（法一）ba+ab=6cosC6abcosC=a2+b2，6ab•a2+b2-c22ab=a2+b2，a2+b2=3c22，
tanCtanA+tanCtanB=sinCcosC•cosBsinA+sinBcosAsinAsinB=sinCcosC•sin(A+B)sinAsinB=1cosC•sin2CsinAsinB=2aba2+b2-c2•c2cb=2c2a2+b2-c2=4.
（法二） 考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性．
当A=B或a=b时满足题意，如图：取a=b=1则cosC=13，则tanC=22
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=43，则AB=c=233=2AD，则tanA=tanB=CDAD=2，tanCtanA+tanCtanB= 4．
（2） 判断三角形的形状问题
判断三角形的形状时应围绕三角形的边角关系进行思考，解题思路主要从边和角两方面入手，将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系（化边为角、化角为边），要注意转化的等价性，再用三角变换或代数式的恒等关系变形求解，同时要注意三角形中的一些隐含条件．
例2 （2010辽宁文数）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且2asinA=（2a+c）sinB+(2c+b)sinC．
（1） 求A的大小；
（2） 若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状．
解析：本题考查解三角形中的正、余弦定理在边角方面的转化应用．
解：（1）由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，即a2=b2+c2+bc，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，故cosA=-12，又0＜A＜π，∴ A=120°．
（2） 由（1）得：sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，又sinB+sinC=1，得sinB=sinC=12，∵ 0＜B＜π2，0＜C＜π2，∴ B=C，∴ △ABC是等腰的钝角三角形．
（3） 求与面积有关的问题
通过三角形的常用面积公式，选择恰当的面积公式可以建立边角关系式，结合其他一些条件，运用正、余弦定理以及三角形的性质、三角恒等变换来解决这类问题．
例3 （2010浙江文数）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足S=34（a2+b2-c2）．
（1） 求角C的大小；
（2） 求sinA+sinB的最大值．
解析：本题考查正、余弦定理、三角面积公式、三角恒等变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力．
解：（1） 由题意 S=34（a2+b2-c2）=34•2abcosC=12absinC，
∴ tanC=3，
∵ 0＜C＜π，∴ C=π3.
（2） sinA+sinB=sinA+sin2π3-A=sinA+32cosA+12sinA=3sinA+π6
∵0＜A＜2π3，∴ A=π3时sinA+sinB的最大值为3
二、 解三角形在实际中的应用
解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际、有关向量的计算、物理学中都有广泛的应用．近年的高考题中，以解三角形为背景的应用题又开始成为命题的热点，可以说这是还原三角学的本质了．
解三角形应用题的一般步骤：
（1） 审清题意
分析题意、准确理解题意，分清已知与所求，尤其理解应用题中的有关名词、术语，如：视角、仰角、俯角、方向角、方位角、象限角、坡度等，并能准确地找出这些角．
（2） 建立数学模型
① 根据题意画出图形或示意图；
② 将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，建立数学模型．
（3） 解决数学模型
合理运用正弦定理、余弦定理、三角公式以及平面几何中的性质正确求解．
（4） 回归实际问题
检验解出的答案是否具有实际意义，作出应用题的答案．
例4 （2010江苏卷）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．
（1） 该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；
（2） 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α-β最大？
解析：本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及基本不等式的应用，考查数学建摸能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力．
解：（1） HAD=tanβAD=Htanβ，同理：AB=Htanα，BD=htanβ．
AD—AB=DB，故得Htanβ-Htanα=htanβ，解得： H=htanαtanβ-tanα=4×124124-120=124．
因此，算出的电视塔的高度H是124m．
（2） 由题设知d=AB，得tanα=Hd，tanβ=HAD=hDB=H-hd，tan（α-β）=tanα-tanβ1+tanα•tanβ=Hd-H-hd1+Hd•H-hd=hdd2+H（H-h）=hd+H(H-h)dd+H（H-h）d≥2H（H-h），（当且仅当d=H(H-h)=125×121=555时，取等号）
故当d=555时， tan（α-β）最大．
因为0＜β＜α＜π2，则0＜α-β＜π2，所以当d=555时，α-β最大．故所求的d是555m．
解三角形是在原有的三角函数和三角恒等变换的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，用数量关系对三角形进行进一步的研究，主要内容是揭示三角形边角关系的正弦定理、余弦定理以及正、余弦定理在测量和几何计算中的应用，是高考命题的一个热点内容．
在高考试题中出现有关解三角形方面的试题大多数为容易题、中档题，主要考查正、余弦定理及其应用、三角恒等变形的能力、运算能力及转化思想的应用能力．本文选用2010年全国各地高考试卷为研究材料，归纳出解三角形的考查题型与解法．
一、 正、余弦定理及其应用
利用正、余弦定理可以解决四类三角形问题：（1） 已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2） 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；（3） 已知三边，求三个角；（4） 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．即已知一个三角形三个角三条边中的任意三个条件（其中至少有一边），就可以解这个三角形．在解三角形时，常常将正、余弦定理结合在一起使用，要注意恰当的选取定理，简化运算过程，提高计算速度，同时注意与平面几何中的有关性质、定理相结合．
（1） 边角的求解问题
在边角求解时一般要注意几解的问题，一般用正、余弦定理或结合三角形内角和定理、大边对大角等性质来判断几解问题．在求角的大小时一定要注意两个条件：① 角的范围；② 角的某一个三角函数的值．在由三角函数值来判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性．
例1 （2010江苏卷）在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，ba+ab=6cosC，则tanCtanA+tanCtanB= ．
解析：本题考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想，一题多解．
解：（法一）ba+ab=6cosC6abcosC=a2+b2，6ab•a2+b2-c22ab=a2+b2，a2+b2=3c22，
tanCtanA+tanCtanB=sinCcosC•cosBsinA+sinBcosAsinAsinB=sinCcosC•sin(A+B)sinAsinB=1cosC•sin2CsinAsinB=2aba2+b2-c2•c2cb=2c2a2+b2-c2=4.
（法二） 考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性．
当A=B或a=b时满足题意，如图：取a=b=1则cosC=13，则tanC=22
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=43，则AB=c=233=2AD，则tanA=tanB=CDAD=2，tanCtanA+tanCtanB= 4．
（2） 判断三角形的形状问题
判断三角形的形状时应围绕三角形的边角关系进行思考，解题思路主要从边和角两方面入手，将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系（化边为角、化角为边），要注意转化的等价性，再用三角变换或代数式的恒等关系变形求解，同时要注意三角形中的一些隐含条件．
例2 （2010辽宁文数）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且2asinA=（2a+c）sinB+(2c+b)sinC．
（1） 求A的大小；
（2） 若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状．
解析：本题考查解三角形中的正、余弦定理在边角方面的转化应用．
解：（1）由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，即a2=b2+c2+bc，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，故cosA=-12，又0＜A＜π，∴ A=120°．
（2） 由（1）得：sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，又sinB+sinC=1，得sinB=sinC=12，∵ 0＜B＜π2，0＜C＜π2，∴ B=C，∴ △ABC是等腰的钝角三角形．
（3） 求与面积有关的问题
通过三角形的常用面积公式，选择恰当的面积公式可以建立边角关系式，结合其他一些条件，运用正、余弦定理以及三角形的性质、三角恒等变换来解决这类问题．
例3 （2010浙江文数）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足S=34（a2+b2-c2）．
（1） 求角C的大小；
（2） 求sinA+sinB的最大值．
解析：本题考查正、余弦定理、三角面积公式、三角恒等变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力．
解：（1） 由题意 S=34（a2+b2-c2）=34•2abcosC=12absinC，
∴ tanC=3，
∵ 0＜C＜π，∴ C=π3.
（2） sinA+sinB=sinA+sin2π3-A=sinA+32cosA+12sinA=3sinA+π6
∵0＜A＜2π3，∴ A=π3时sinA+sinB的最大值为3
二、 解三角形在实际中的应用
解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际、有关向量的计算、物理学中都有广泛的应用．近年的高考题中，以解三角形为背景的应用题又开始成为命题的热点，可以说这是还原三角学的本质了．
解三角形应用题的一般步骤：
（1） 审清题意
分析题意、准确理解题意，分清已知与所求，尤其理解应用题中的有关名词、术语，如：视角、仰角、俯角、方向角、方位角、象限角、坡度等，并能准确地找出这些角．
（2） 建立数学模型
① 根据题意画出图形或示意图；
② 将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，建立数学模型．
（3） 解决数学模型
合理运用正弦定理、余弦定理、三角公式以及平面几何中的性质正确求解．
（4） 回归实际问题
检验解出的答案是否具有实际意义，作出应用题的答案．
例4 （2010江苏卷）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．
（1） 该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；
（2） 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α-β最大？
解析：本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及基本不等式的应用，考查数学建摸能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力．
解：（1） HAD=tanβAD=Htanβ，同理：AB=Htanα，BD=htanβ．
AD—AB=DB，故得Htanβ-Htanα=htanβ，解得： H=htanαtanβ-tanα=4×124124-120=124．
因此，算出的电视塔的高度H是124m．
（2） 由题设知d=AB，得tanα=Hd，tanβ=HAD=hDB=H-hd，tan（α-β）=tanα-tanβ1+tanα•tanβ=Hd-H-hd1+Hd•H-hd=hdd2+H（H-h）=hd+H(H-h)dd+H（H-h）d≥2H（H-h），（当且仅当d=H(H-h)=125×121=555时，取等号）
故当d=555时， tan（α-β）最大．
因为0＜β＜α＜π2，则0＜α-β＜π2，所以当d=555时，α-β最大．故所求的d是555m．