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摘要：象与核是线性变换的重要体现.本文在高等代数的基础上讨论了n维线性空间上的两个线性变换核与核的关系。
关键词：线性变换；线性变换的核与核
[中图分类号]O151.2
[文献标识码]A
[文章编号]2095-2627（2017）19-063-02
一、两个线性变换的核与核之间的关系设A，B是V上的两个线性变换.
定理1.1KerAKerB的充分必要条件是：存在V的线性变换C使得CA=B.
证明充分性.设CA=B，α∈KerA，则有Aα=0，而Bα=
CAα=C（Aα）=C（0）=0，从而A-1（0）B-1（0）.即KerAKerB.
必要性.设A-1（0）B-1（0），取A-1（0）的一组基α1，α2，...，αr，
将其扩充为V的基α1，α2，...，αr，...，αn，则Aαr+1，Aαr+2，...，Aαn
线性无关，假设kr+1Aαr+1+kr+2Aαr+2+...+knAαn=0，则有：kr+1αr+1+kr+2αr+2+...+knαn∈A-1（0），
即：kr+1αr+1+kr+2αr+2+＼ldots+knαnn=k1α1+k2α2+...+krαr，k1，k2...，kr为数），因而k1α1+k2α2+...+krαr-kr+1αr+1-kr+2αr+2-...-knαn=0.
由于α1，α2，...，αr，...，αn線性无关，故ki=0，i=r+1，...，n.
将βr+1=Ααr+1，...，βn=Ααn扩充为V的一组基β1，β2，...，βr，...，βn，
由等式：CAαi=Βαi，定义V的一个线性变换C，nnn
即对任意的∑kiβi∈V，C（∑kiβi）=∑kiB（αi），
当i≤r时，有CAαi=C（0）=0.
又αi∈A-1（0）Β-1（0），所以
Βαi=0=（CΑ）αi.
i=1
当i>r时，有Aαi=βi，（CA）αi=Cβi=Bαi，nn
因而CA（∑kiαi）=B（∑kiαi），即CA=B.i=1i=1
推论1.1.1设L（V）是空间上的线性变换组成的集合，A，B∈L（V），则下列3个命题是等价的：
（1）KerAKerB；
（2）存在V的线性变换C，使得CA=B；
（3）变换方程XA=B在L（V）中有解.
推论1.1.2设L（V）是空间上的线性变换组成的集合，A，B∈L（V），则下列3个命题是等价的：
（1）存在V的线性变换C，D，使得A=CB，B=DA；
（2）KerA=KerB；
（3）存在V的可逆线性变换P，使得A=PB.证明（1）（2）任取α∈B-1（0），则Bα=0.
因为Aα=（CB）α=C（Bα）=C（0）=0，故KerBKerA.同理KerAKerB，即KerA=KerB.
（2）（3）任取一组基ε1，ε2，...，εr∈B-1（0），将其扩充为V的一组基ε1，ε2，...，εn，
由于KerA=KerB，则B（εi）=A（εi），
且Aεr+1，Aεr+2，...，Aεn和Bεr+1，Bεr+2，...，Bεn分别是V的两个线性无关组，
则存在可逆线性变换P，使得P（Bεj）=A（εj），（j=r+1，r+2，...，n）.
又P（Bεi）=A（εi），（i=1，2，...，r），故（PB）εk=A（εk），（k=1，2，...，n），即PB=A.（3）（1）设P是V的可逆线性变换，则存在C=P，D=P-1∈L（V），
使得A=PB=PC两边同时左乘P-1，则有P-1A=B，即DA=B.
二、两个线性变换的象与象之间的关系
定理1.2BVAV的充分必要条件是：存在V上的线性变换C，使得B=AC.
证明充分性.设B=AC，任取α∈BV，则存在β∈V，使α=Bβ=（AC）β=A（Cβ）∈AV，即BVAV.必要性.设BVAV，任取V的一组基ε1，ε2，...，εn，则Bεi∈AV，即有α1，α2，...，αn，使得Aαi=Bεi，存在线性变换C，使得Cεi=αi，则有
ΑCεi=Ααi=Bεi，即AC=B.
推论1.2.1设线性变换A，B在基ε1，ε2，...，εn的矩阵分别
为A，B，则以下3个命题是等价的：（1）BVAV；
（2）存在线性变换C，使得AC=B；
（3）变换方程AX=B在V的线性变换空间L（V）中有解.推论1.2.2设A，B是线性空间L（V）的线性变换，则以下3
个命题是等价的：（1）BV=AV；
（2）存在线性变换C，D∈L（V），使A=BC，B=AD；（3）存在可逆的线性变换Q∈L（V），使得A=BQ.此推论的证明方法与推论1.1.2的类似.三、线性变换的象与核之间的关系
定理1.3KerABV的充分必要条件是：KerA=B（KerAB）.证明充分性.设KerA=B（KerAB），则有KerABV.必要性.设KerABV，任取α∈KerABV，则有
Aα=0且α=Bβ，因此Aα=（AB）β=0，即：β∈KerAB，所以KerAB（KerAB）.
任取α∈B（KerAB），则存在β∈KerAB，使得α=Bβ，从而：Aα=ABβ=0，α∈KerA， 即：KerAB（KerAB），故KerA=B（KerAB）.
推论1.3.1KerAAV的充分必要条件是：KerA=A
2（KerA）.
定理1.4BVKerA的充分必要条件是：AB=0.
证明充分性.设AB=0，Bα∈BV，则有A（Bα）=（AB）α=（0）α=0，
因此：Bα∈KerA，所以BVKerA.
必要性.设BVKerA，任取α∈AV，则有Aα∈BVKerA，因此：A（Bα）=0，即（AB）α=0，所以：AB=0.四、特殊的线性变换的象与核之间的关系
定义1设V是数域P上的线性空间，A是V的一个线性变换，如果A2=0，则称A是线性空间V的一个幂零变换.
由定理1.4可以得到幂零变换的象与核的关系.
推论1.4.1AVkerA的充分必要条件是：A2=0.
推论1.41的证明只需将定理1.4中的B换成A即可得到.定义2设V是数域P上的线性空间，A是V的一个线性变换，如果A2=A，则称A是线性空间V的一个幂等变换.
定理1.5设A是V上的一个线性变换，若A2=A，则KerA={ξ-Aξ|ξ∈V}，且V=KerAAV.
证明已知A2=A，
（1）任取α∈KerA，则有A（α）=0，于是α=α-Aα，则α∈{ξ-Aξ|ξ∈V}，即KerA{ξ-Aξ|ξ∈V}.反之，任取β∈{ξ-Aξ|ξ∈V}，则存在ξ∈V，使得β=ξ-Aξ，于是A（β）=A（ξ-Aξ）=Aξ-A2ξ=Aξ-Aξ=0，则：β∈KerA，即KerA{ξ-Aξ|ξ∈V}，故：KerA={ξ-Aξ|ξ∈V}.（2）显然，KerA+AVV，又任取ξ∈V，ξ=ξ-Aξ+Aξ=0，
由（1）可知ξ-Aξ∈KerA，又Aξ∈AV，则ξ∈KerA+AV，即：KerA+AVV，则KerA+AV=V.又：dimV=dim（KerA）+dim（AV），所以：V=KerAAV.
例1设A，B是V上的两个幂等变换，即A2=A，B2=B，证明：
（1）A与B有相同的值域的充分必要条件是：AB=B，BA=A；
（2）A与B有相同的核的充分必要条件是：AB=A，BA=B.证明（1）必要性.若AV=BV，任取α∈V，则有Bα∈BV=AV，故存在β∈V，使Bα=Aβ，
于是ABα=A2β=Aβ=Bα，
由α的任意性，故有AB=B.同理可证BA=A.
充分性.若AB=B，BA=A，任取Aα∈AVV，则有Aα=BAα=B（Aα）∈BV，即AVBV.
同理可证BVAV，故AV=BV.
（2）必要性.若KerA=KerB.任取β∈V，使α=β-Aβ.因为：A（α）=A（β-Aβ）=Aβ-A2β=Aβ-Aβ=0，所以：β-Aβ∈KerA=KerB，从而B（β-Aβ）=Bβ-BAβ=0，
即：Bβ=BAβ.由β的任意性，故有BA=B.
同理可证AB=A.
充分性.若AB=A，BA=B，任取α∈KerA，由于Bα=（BA）α=B（Aα）=B（0）=0，所以α∈KerB，从而KerAKerB.类似的方法可以证明KerAKerB，因而有KerA=KerB定义3设V是数域P上的线性空间，A，B是V的一个线性
变换，如果AB=BA，则称A，B可交换.
定理1.6设V是数域P上的线性空间，A，B是V的一个线性变换，如果AB=BA，则KerA，AV是B的不变子空间，KerB，BV是A的不变子空间.
证明任取β∈BV，则存在α∈V，使得β=Bα，则：A（α）=A（Bα）=（AB）α=（BA）α=B（Aα）∈BV，所以：A（α）∈BV，故BV是A的不变子空间.
任取α∈KerB，则B（α）=0，有B（A（α））=A（B（α））=AB（α）=BA（α）=A（Bα）=A（0）
故：Aα∈KerB，KerB是A的不变子空间.同理，KerA，AV是B的不变子空间.由可交换的线性变换的性质，可得到象与核的其它内在关系.
推论1.6.1设A是可逆变换，且存在V的线性变换B，使
AB=0，则A，B可交换，且BVKerA，AVKerB.
证明若AB=0，A可逆，则B=（AA-1）B=A-1（AB）=0，从而：BA=0，故AB=BA.
由：AB=0，任取α∈V，Bα∈BV，则有：A（Bα）=（AB）α=
（BA）α=B（Aα）=0，
从而：Bα∈KerA，即BVKerA.
同理，AVKerB.
推论1.6.2设A是可逆变换，且存在V的线性变换B，使
A=AB或A=BA，则A，B可交换，且BVAV.
证明若A=AB，A是可逆变换，则：B=B（AA-1）=（BA）
A-1=AA-1=E，
故：AB=BA，同理，當A=BA时，AB=BA，设：A=AB，任取α∈V，Bα∈BV，则A（Bα）=（AB）α=
（BA）α=Aα∈AV，则Bα∈AV，故BVAV.五、保持象变换与保持核变换的形式的刻划线性变换的象与核与相应的矩阵相对应.刻划矩阵间保不变量的线性变换问题称为“线性保持问题”.
F是数域，V，W是F上的n维线性空间，L（V，W）是V到W的所有线性变换组成的集合构成的线性空间.
关键词：线性变换；线性变换的核与核
[中图分类号]O151.2
[文献标识码]A
[文章编号]2095-2627（2017）19-063-02
一、两个线性变换的核与核之间的关系设A，B是V上的两个线性变换.
定理1.1KerAKerB的充分必要条件是：存在V的线性变换C使得CA=B.
证明充分性.设CA=B，α∈KerA，则有Aα=0，而Bα=
CAα=C（Aα）=C（0）=0，从而A-1（0）B-1（0）.即KerAKerB.
必要性.设A-1（0）B-1（0），取A-1（0）的一组基α1，α2，...，αr，
将其扩充为V的基α1，α2，...，αr，...，αn，则Aαr+1，Aαr+2，...，Aαn
线性无关，假设kr+1Aαr+1+kr+2Aαr+2+...+knAαn=0，则有：kr+1αr+1+kr+2αr+2+...+knαn∈A-1（0），
即：kr+1αr+1+kr+2αr+2+＼ldots+knαnn=k1α1+k2α2+...+krαr，k1，k2...，kr为数），因而k1α1+k2α2+...+krαr-kr+1αr+1-kr+2αr+2-...-knαn=0.
由于α1，α2，...，αr，...，αn線性无关，故ki=0，i=r+1，...，n.
将βr+1=Ααr+1，...，βn=Ααn扩充为V的一组基β1，β2，...，βr，...，βn，
由等式：CAαi=Βαi，定义V的一个线性变换C，nnn
即对任意的∑kiβi∈V，C（∑kiβi）=∑kiB（αi），
当i≤r时，有CAαi=C（0）=0.
又αi∈A-1（0）Β-1（0），所以
Βαi=0=（CΑ）αi.
i=1
当i>r时，有Aαi=βi，（CA）αi=Cβi=Bαi，nn
因而CA（∑kiαi）=B（∑kiαi），即CA=B.i=1i=1
推论1.1.1设L（V）是空间上的线性变换组成的集合，A，B∈L（V），则下列3个命题是等价的：
（1）KerAKerB；
（2）存在V的线性变换C，使得CA=B；
（3）变换方程XA=B在L（V）中有解.
推论1.1.2设L（V）是空间上的线性变换组成的集合，A，B∈L（V），则下列3个命题是等价的：
（1）存在V的线性变换C，D，使得A=CB，B=DA；
（2）KerA=KerB；
（3）存在V的可逆线性变换P，使得A=PB.证明（1）（2）任取α∈B-1（0），则Bα=0.
因为Aα=（CB）α=C（Bα）=C（0）=0，故KerBKerA.同理KerAKerB，即KerA=KerB.
（2）（3）任取一组基ε1，ε2，...，εr∈B-1（0），将其扩充为V的一组基ε1，ε2，...，εn，
由于KerA=KerB，则B（εi）=A（εi），
且Aεr+1，Aεr+2，...，Aεn和Bεr+1，Bεr+2，...，Bεn分别是V的两个线性无关组，
则存在可逆线性变换P，使得P（Bεj）=A（εj），（j=r+1，r+2，...，n）.
又P（Bεi）=A（εi），（i=1，2，...，r），故（PB）εk=A（εk），（k=1，2，...，n），即PB=A.（3）（1）设P是V的可逆线性变换，则存在C=P，D=P-1∈L（V），
使得A=PB=PC两边同时左乘P-1，则有P-1A=B，即DA=B.
二、两个线性变换的象与象之间的关系
定理1.2BVAV的充分必要条件是：存在V上的线性变换C，使得B=AC.
证明充分性.设B=AC，任取α∈BV，则存在β∈V，使α=Bβ=（AC）β=A（Cβ）∈AV，即BVAV.必要性.设BVAV，任取V的一组基ε1，ε2，...，εn，则Bεi∈AV，即有α1，α2，...，αn，使得Aαi=Bεi，存在线性变换C，使得Cεi=αi，则有
ΑCεi=Ααi=Bεi，即AC=B.
推论1.2.1设线性变换A，B在基ε1，ε2，...，εn的矩阵分别
为A，B，则以下3个命题是等价的：（1）BVAV；
（2）存在线性变换C，使得AC=B；
（3）变换方程AX=B在V的线性变换空间L（V）中有解.推论1.2.2设A，B是线性空间L（V）的线性变换，则以下3
个命题是等价的：（1）BV=AV；
（2）存在线性变换C，D∈L（V），使A=BC，B=AD；（3）存在可逆的线性变换Q∈L（V），使得A=BQ.此推论的证明方法与推论1.1.2的类似.三、线性变换的象与核之间的关系
定理1.3KerABV的充分必要条件是：KerA=B（KerAB）.证明充分性.设KerA=B（KerAB），则有KerABV.必要性.设KerABV，任取α∈KerABV，则有
Aα=0且α=Bβ，因此Aα=（AB）β=0，即：β∈KerAB，所以KerAB（KerAB）.
任取α∈B（KerAB），则存在β∈KerAB，使得α=Bβ，从而：Aα=ABβ=0，α∈KerA， 即：KerAB（KerAB），故KerA=B（KerAB）.
推论1.3.1KerAAV的充分必要条件是：KerA=A
2（KerA）.
定理1.4BVKerA的充分必要条件是：AB=0.
证明充分性.设AB=0，Bα∈BV，则有A（Bα）=（AB）α=（0）α=0，
因此：Bα∈KerA，所以BVKerA.
必要性.设BVKerA，任取α∈AV，则有Aα∈BVKerA，因此：A（Bα）=0，即（AB）α=0，所以：AB=0.四、特殊的线性变换的象与核之间的关系
定义1设V是数域P上的线性空间，A是V的一个线性变换，如果A2=0，则称A是线性空间V的一个幂零变换.
由定理1.4可以得到幂零变换的象与核的关系.
推论1.4.1AVkerA的充分必要条件是：A2=0.
推论1.41的证明只需将定理1.4中的B换成A即可得到.定义2设V是数域P上的线性空间，A是V的一个线性变换，如果A2=A，则称A是线性空间V的一个幂等变换.
定理1.5设A是V上的一个线性变换，若A2=A，则KerA={ξ-Aξ|ξ∈V}，且V=KerAAV.
证明已知A2=A，
（1）任取α∈KerA，则有A（α）=0，于是α=α-Aα，则α∈{ξ-Aξ|ξ∈V}，即KerA{ξ-Aξ|ξ∈V}.反之，任取β∈{ξ-Aξ|ξ∈V}，则存在ξ∈V，使得β=ξ-Aξ，于是A（β）=A（ξ-Aξ）=Aξ-A2ξ=Aξ-Aξ=0，则：β∈KerA，即KerA{ξ-Aξ|ξ∈V}，故：KerA={ξ-Aξ|ξ∈V}.（2）显然，KerA+AVV，又任取ξ∈V，ξ=ξ-Aξ+Aξ=0，
由（1）可知ξ-Aξ∈KerA，又Aξ∈AV，则ξ∈KerA+AV，即：KerA+AVV，则KerA+AV=V.又：dimV=dim（KerA）+dim（AV），所以：V=KerAAV.
例1设A，B是V上的两个幂等变换，即A2=A，B2=B，证明：
（1）A与B有相同的值域的充分必要条件是：AB=B，BA=A；
（2）A与B有相同的核的充分必要条件是：AB=A，BA=B.证明（1）必要性.若AV=BV，任取α∈V，则有Bα∈BV=AV，故存在β∈V，使Bα=Aβ，
于是ABα=A2β=Aβ=Bα，
由α的任意性，故有AB=B.同理可证BA=A.
充分性.若AB=B，BA=A，任取Aα∈AVV，则有Aα=BAα=B（Aα）∈BV，即AVBV.
同理可证BVAV，故AV=BV.
（2）必要性.若KerA=KerB.任取β∈V，使α=β-Aβ.因为：A（α）=A（β-Aβ）=Aβ-A2β=Aβ-Aβ=0，所以：β-Aβ∈KerA=KerB，从而B（β-Aβ）=Bβ-BAβ=0，
即：Bβ=BAβ.由β的任意性，故有BA=B.
同理可证AB=A.
充分性.若AB=A，BA=B，任取α∈KerA，由于Bα=（BA）α=B（Aα）=B（0）=0，所以α∈KerB，从而KerAKerB.类似的方法可以证明KerAKerB，因而有KerA=KerB定义3设V是数域P上的线性空间，A，B是V的一个线性
变换，如果AB=BA，则称A，B可交换.
定理1.6设V是数域P上的线性空间，A，B是V的一个线性变换，如果AB=BA，则KerA，AV是B的不变子空间，KerB，BV是A的不变子空间.
证明任取β∈BV，则存在α∈V，使得β=Bα，则：A（α）=A（Bα）=（AB）α=（BA）α=B（Aα）∈BV，所以：A（α）∈BV，故BV是A的不变子空间.
任取α∈KerB，则B（α）=0，有B（A（α））=A（B（α））=AB（α）=BA（α）=A（Bα）=A（0）
故：Aα∈KerB，KerB是A的不变子空间.同理，KerA，AV是B的不变子空间.由可交换的线性变换的性质，可得到象与核的其它内在关系.
推论1.6.1设A是可逆变换，且存在V的线性变换B，使
AB=0，则A，B可交换，且BVKerA，AVKerB.
证明若AB=0，A可逆，则B=（AA-1）B=A-1（AB）=0，从而：BA=0，故AB=BA.
由：AB=0，任取α∈V，Bα∈BV，则有：A（Bα）=（AB）α=
（BA）α=B（Aα）=0，
从而：Bα∈KerA，即BVKerA.
同理，AVKerB.
推论1.6.2设A是可逆变换，且存在V的线性变换B，使
A=AB或A=BA，则A，B可交换，且BVAV.
证明若A=AB，A是可逆变换，则：B=B（AA-1）=（BA）
A-1=AA-1=E，
故：AB=BA，同理，當A=BA时，AB=BA，设：A=AB，任取α∈V，Bα∈BV，则A（Bα）=（AB）α=
（BA）α=Aα∈AV，则Bα∈AV，故BVAV.五、保持象变换与保持核变换的形式的刻划线性变换的象与核与相应的矩阵相对应.刻划矩阵间保不变量的线性变换问题称为“线性保持问题”.
F是数域，V，W是F上的n维线性空间，L（V，W）是V到W的所有线性变换组成的集合构成的线性空间.