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函数模型应用问题是高考常考的应用题,经常涉及物价、路程、产值、环保等现实生活中的实际问题,也叮涉及角度、面积、体积等问题。解此类问题,首先需要在实际的情境中去理解、分析所给的一系列数据,舍弃与解题无关的因素,再转化为数学模型。
一、分段函数模型
例1 某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元。该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购1个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元。
(l)一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元?
(2)一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式。
(3)销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个,利润又是多少元?(工厂售出1个零件的利润=实际出厂单价-成本)
解:(l)设一次订购量为x。个时,每个零件的实际出厂价恰好降为51元。
由题意可得
因此,当一次订购量为550个时,每个零件的实际出厂价恰降为51元。
(2)当0 当lOO 当x≥550时,P=51。
所以函数P=f(x)
(3)设销售商一次订购量为x个时,该厂获得的利润为L元。
由题意可得L=(P-40)x
500时,L=6000;当x=1000时,L=11000。
因此,当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6000元;如果一次订购1000个零件,该厂获得的利润是11000元。
点评
求分段函数的最值,应先求出函数在各段上的最值,然后加以比较,其中最大(小)者就是分段函数在整个定义域上的最大(小)值。
二、指数函数模型
例2 某城市现有人口总数为100万,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题:
(l)写出该城市人口总数y(万)与年份x(年)的函数关系式。
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1)。
(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)。
解:(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%).
2年后该城市人口总数为
3年后该城市人口总数为
4年后该城市人口总数为
由上可得,x年后该城市人口总数为
(2)10年后该城市人口总数为
所以10年后该城市人口总数为l12.7万。
(3)设x年后该城市人口总数将达到120万,即
解得
所以大约15年后该城市人口将达到120万人。
点评
指数函数的应用十分广泛,且是高考的常考点。
三、对数函数模型
例3 科学家研究得出:对声音有不同感觉,这与它的强度有关。声音的强度I用W/㎡表示,但在实际测量时,常用声音的强度水平L表示。它们满足以下公式(单位:dB,L≥0),其中,这是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端。
回答以下问题:
(1)树叶沙沙声的强度是,耳语声的强度是,恬静的无线电广播声的强度是,试分别求出它们声音的强度水平。
(2)某一新建的安静小区规定:小区内公共场所声音的强度水平必须保持在50dB以下,试求声音强度I的取值范围。
解:(l)由题意可知,树叶沙沙声的强度是则,所以即树叶沙沙声的强度水平为O dB。
耳语声的强度是,所以,即耳语声的强度水平为20 dB。
恬静的无线电广播声的强度是,则,所以恬静的无线电广播声的强度水平为40 dB。
(2)由题意知,0≤L<50,即,可得,解得。
所以新建的安静小区的声音强度I大于或等于,同时应小于
点评
当函数模型给定后,只需套用现成的公式,对问题进行定量分析。
一、分段函数模型
例1 某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元。该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购1个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元。
(l)一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元?
(2)一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式。
(3)销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个,利润又是多少元?(工厂售出1个零件的利润=实际出厂单价-成本)
解:(l)设一次订购量为x。个时,每个零件的实际出厂价恰好降为51元。
由题意可得
因此,当一次订购量为550个时,每个零件的实际出厂价恰降为51元。
(2)当0
所以函数P=f(x)
(3)设销售商一次订购量为x个时,该厂获得的利润为L元。
由题意可得L=(P-40)x
500时,L=6000;当x=1000时,L=11000。
因此,当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6000元;如果一次订购1000个零件,该厂获得的利润是11000元。
点评
求分段函数的最值,应先求出函数在各段上的最值,然后加以比较,其中最大(小)者就是分段函数在整个定义域上的最大(小)值。
二、指数函数模型
例2 某城市现有人口总数为100万,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题:
(l)写出该城市人口总数y(万)与年份x(年)的函数关系式。
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1)。
(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)。
解:(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%).
2年后该城市人口总数为
3年后该城市人口总数为
4年后该城市人口总数为
由上可得,x年后该城市人口总数为
(2)10年后该城市人口总数为
所以10年后该城市人口总数为l12.7万。
(3)设x年后该城市人口总数将达到120万,即
解得
所以大约15年后该城市人口将达到120万人。
点评
指数函数的应用十分广泛,且是高考的常考点。
三、对数函数模型
例3 科学家研究得出:对声音有不同感觉,这与它的强度有关。声音的强度I用W/㎡表示,但在实际测量时,常用声音的强度水平L表示。它们满足以下公式(单位:dB,L≥0),其中,这是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端。
回答以下问题:
(1)树叶沙沙声的强度是,耳语声的强度是,恬静的无线电广播声的强度是,试分别求出它们声音的强度水平。
(2)某一新建的安静小区规定:小区内公共场所声音的强度水平必须保持在50dB以下,试求声音强度I的取值范围。
解:(l)由题意可知,树叶沙沙声的强度是则,所以即树叶沙沙声的强度水平为O dB。
耳语声的强度是,所以,即耳语声的强度水平为20 dB。
恬静的无线电广播声的强度是,则,所以恬静的无线电广播声的强度水平为40 dB。
(2)由题意知,0≤L<50,即,可得,解得。
所以新建的安静小区的声音强度I大于或等于,同时应小于
点评
当函数模型给定后,只需套用现成的公式,对问题进行定量分析。