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◆摘 要:现代教学论认为数学教学,实质上是数学思维活动的教学,没有思维,就谈不上数学教学,更谈不上培养能力、开发智力,因为思维是智力的核心。该文以“圆柱的侧面积”的教学为例,策划有效的学习活动,在创设情境、操作实验、推理归纳的过程中,训练学生的数学思维。让学生在数学活动中体验、感悟和反思,从而获取经验,提高学生的数学素养。
◆关键词:数学思维;猜想;验证;经验
荷兰哲学家斯宾诺莎说过:“智慧,不是死的默念,而是生的沉思。”数学思维是以数和形为对象,以数学语言和符号为载体的一种思维活动,数学思维具有抽象性、整体性、相似性、问题性等特征。训练学生的数学思维是数学教学的核心任务。数学思维训练如同抽丝剥茧,不能一刀剪开,而要由外到内,一根一根地抽取,才能得到完整的“丝线”。下面以“圆柱的侧面积”这一课的教学为例,论述如何引领学生追根究底寻觅本质,抽丝剥茧展现思维。
一、创设情境中联想猜测——启萌直觉思维
在小学数学课堂教学中,教师应为学生创设感性情境,诱导学生在观察中联想,从而产生瞬间顿悟,发现事物的内在联系。
例如,在“圆柱的侧面积”一课的教学中,老师给学生播放了一段压路机工作的视频,着重引导学生观察压路机的工作方式,观察滚筒滚动后留下的印迹,让学生思考讨论:压路机滚动后留下的痕迹是什么形状的?直观形象的情景让学生懂得滚筒滚动一周后,所留下的印迹是长方形,建立了初步的表象。
【教学片段一】验证猜想,获取初步活动经验
师:伟大的发现多源于猜想,今天,我们就来猜想一下,圆柱的侧面展开能得到什么形状 ?
生1:长方形。
生2:正方形。
师:请同学们拿出课前自制的笔筒,把贴在笔筒侧面的彩纸剪开,验证你的前猜想是否正确。验证之前,先想想可以怎样剪。
生1,:直接用剪刀剪开。
生2:可以先在圆柱的侧面上画一条直线,再沿着这条直线剪开,这样可以使边缘齐整。
生3,:在圆柱的侧面上画出高,然后沿着高剪开,就可以知道是什么图形了。
师:把剪开的彩紙恢复成圆柱的侧面,用心观察,你有什么发现? 请大家分小组讨论,然后进行交流和分享。
组1:展开得到的长方形的大小和圆柱侧面的大小相等。
组2:展开得到的长方形的面积等于圆柱的侧面积。
组3:展开得到的长方形的长是圆柱的底面周长。
组4:长方形的宽是圆柱的高。
活动到此,本课时的教学任务似乎已经完成,学生已具备了初步的活动经验,那么是不是只要再通过练习来巩固学生的经验就可以了? 答案是否定的。教学要为学生的可持续发展服务,学生可持续发展的动力来源于思维的发散与创新。也就是说,当学生缺乏基本活动经验时,应让学生根据指令进行操作以获取活动经验;当学生具备一定的基本活动经验时,就要放手让学生自主操作,从而丰富活动经验。
二、动手操作中模拟实验——启发形象思维
数学探究如同科学研究一样,同样要经历“猜想——实验——结论”的过程,学生在直觉思维下的猜测为接下去的探究定准了方向,接下去要做的是顺藤摸瓜,一步步探寻问题的本质。实验验证是至关重要的一步,学生可通过亲手操作验证自己的猜测。
【教学片段二】运用经验,深入探究
师:对于圆柱侧面的展开你还想探究什么问题?
(学生动手操作,将圆柱的侧面剪开后展开,研究圆柱的侧面积计算)
师:大家还发现了什么?
生1:我们把圆柱的侧面展开后得到一个长方形,这个长方形的长就是圆柱的底面周长,宽是圆柱的高。
生2:圆柱的侧面积就是这个长方形的面积。
生3:要求圆柱的侧面积,只要量出这长方形的长和宽就行了。
生4:也就是说圆柱的侧面积应该等于底面周长乘高。
师:同学们真会动脑筋,得出了圆柱侧面积的计算方法……
(这时,有一生欲言又止,手举了又放下,眼中充满疑惑,教师示意他大胆发言)
生:大家看,(边说边出示他的圆柱侧面展开图)我刚才把圆柱侧面剪开时,剪歪了,结果展开后得到的不是长方形,那面积还等于圆柱的底面周长乘高吗?
师:(把问题抛给了大家)咦,这样还能证实圆柱的侧面积等于圆柱的底面周长乘高吗?
(各小组自觉地合作探究后,相互交流)
小组1:这样剪开后得到的图形虽然不是长方形,但是我们可以把它转化成一个长方形,大家看(边说边操作)。
转化后的长方形的长是圆柱的底面周长,宽是圆柱的高,所以圆柱的侧面积还是等于底面周长乘高。
小组2:我们小组把这个图形分成两部分来看( 边说边折)。
上部分是个长方形,它的长是圆柱的底面周长,宽设为a。下部分是个平行四边形,底是圆柱的底面周长,高设为b。那么,圆柱的侧面积=柱的底面周长×( a+b)=圆柱的底面周长×高。
小组3:我们发现,即使随手把圆柱的侧面撕开,得到的图形的面积也是圆柱的底面周长乘高。大家看( 边说边操作)。
虽然展开后得到的图形不是长方形,但我们可以把这个图形转化成长方形。转化成的长方形的长是圆柱的底面周长,宽是圆柱的高,所以圆柱的侧面积等于底面周长乘高。
整个教学过程,学生探究的热情很高,学得非常积极主动,对圆柱侧面积的计算有了更为深刻的认识。笔者认为,教学成功的关键在于教师关注了学生的学习过程,尊重个体的数学“ 现实”,为学生创设了一个平等、和谐、开放的学习氛围,放手让学生自主探索,充分挖掘“意外生成”资源,从而使学生在获得知识的同时,培养了探究精神,开发了学生的求异思维能力。 三、推理归纳中显露本质——启悟逻辑思维
抽丝剥茧的最后一道程序是“复摇整理”,只有将抽出来的蚕丝整理完毕才算结束。学生的模拟实验只是验证了“可以将圆柱侧面转化为长方形”的猜想,并没有完成整个探究任务,计算圆柱形罐头的侧面积才是问题的核心,推导出圆柱侧面积的计算方法才是问题的本质。
在“圆柱的侧面积”一课的实验探究阶段,教师引导学生理解了“化曲为直”的转化策略后,着重启悟学生逻辑思维,引领学生在推理归纳中显露本质。学生对圆柱侧面展开图与圆柱侧面进行比较分析,和学生共同探寻圆柱侧面与长方形各部分之間的关系:长方形的长与圆柱的底面周长相等,长方形的宽与圆柱的高相等,圆柱的侧面积与长方形的面积相等,因此圆柱的侧面积等于底面周长乘高。显然,逻辑思维在推导圆柱侧面积计算方法的过程中发挥了主导功能,学生通过逻辑推理追根究底,渐渐逼近问题的本质,在层层推理中归纳出圆柱侧面积计算方法。
四、生活实际中延伸拓展——启迪创新思维
2011版《数学课程标准》强调:“数学教学要紧密联系学生的生活实际,从学生的生活经验和已有知识出发,创设生动有趣的情境,引导学生从数学角度去观察事物,思考问题,发展学生的思维能力,让学生体验学习数学的乐趣。”所以,学习数学的最终目的是学生能直接运用所学的知识和技能,以及日常生活中积累的经验,灵活合理地去解决实际生活中的数学问题。
【教学片段三】 巩固深化,促进经验向能力的转化
(课件出示当堂训练题目,学生独立完成)
1.将一个底面直径12 厘米、高1O厘米的圆柱的侧面沿其中一条高展开,得到一个( )形 ,它的长是( )厘米,宽是( )厘米 ,面积是( )平方厘米。
2.制作10节底面直径 2分米、高2米的圆柱形铁皮通风管(接头处忽略不计),至少需要多少铁皮?
教学中,教师尽可能地引入更多的具有真实意义的问题,努力为学生在生活中寻找解题的依托,让他们用生活经验解决问题,用数学知识解释生活现象,形成解决问题的基本策略,增进对数学的理解和学好数学的信心。学习数学服务生活的观念,把数学知识生活化,生活问题数学化,使数学真正为生活所用,让学生的数学思维异彩缤纷。
“数学教学是数学思维活动的教学”,让我们立足数学课堂,用抽丝剥茧的手法开展教学,帮助学生启萌直觉思维,启发形象思维,启悟逻辑思维,启迪创新思维,真正实现学生学习数学思维多元的发展。
参考文献
[1]王秀清.试论小学数学教学中学生数学思维能力的培养[J].中国校外教育,2017.
[2]宋彩红.浅谈小学数学教学中的逻辑思维方法[J].新课程学习:基础教育,2011.
[3]丁小冬.在数学教学中发展学生思维能力[J].小学科学(教师版),2019年11期.
◆关键词:数学思维;猜想;验证;经验
荷兰哲学家斯宾诺莎说过:“智慧,不是死的默念,而是生的沉思。”数学思维是以数和形为对象,以数学语言和符号为载体的一种思维活动,数学思维具有抽象性、整体性、相似性、问题性等特征。训练学生的数学思维是数学教学的核心任务。数学思维训练如同抽丝剥茧,不能一刀剪开,而要由外到内,一根一根地抽取,才能得到完整的“丝线”。下面以“圆柱的侧面积”这一课的教学为例,论述如何引领学生追根究底寻觅本质,抽丝剥茧展现思维。
一、创设情境中联想猜测——启萌直觉思维
在小学数学课堂教学中,教师应为学生创设感性情境,诱导学生在观察中联想,从而产生瞬间顿悟,发现事物的内在联系。
例如,在“圆柱的侧面积”一课的教学中,老师给学生播放了一段压路机工作的视频,着重引导学生观察压路机的工作方式,观察滚筒滚动后留下的印迹,让学生思考讨论:压路机滚动后留下的痕迹是什么形状的?直观形象的情景让学生懂得滚筒滚动一周后,所留下的印迹是长方形,建立了初步的表象。
【教学片段一】验证猜想,获取初步活动经验
师:伟大的发现多源于猜想,今天,我们就来猜想一下,圆柱的侧面展开能得到什么形状 ?
生1:长方形。
生2:正方形。
师:请同学们拿出课前自制的笔筒,把贴在笔筒侧面的彩纸剪开,验证你的前猜想是否正确。验证之前,先想想可以怎样剪。
生1,:直接用剪刀剪开。
生2:可以先在圆柱的侧面上画一条直线,再沿着这条直线剪开,这样可以使边缘齐整。
生3,:在圆柱的侧面上画出高,然后沿着高剪开,就可以知道是什么图形了。
师:把剪开的彩紙恢复成圆柱的侧面,用心观察,你有什么发现? 请大家分小组讨论,然后进行交流和分享。
组1:展开得到的长方形的大小和圆柱侧面的大小相等。
组2:展开得到的长方形的面积等于圆柱的侧面积。
组3:展开得到的长方形的长是圆柱的底面周长。
组4:长方形的宽是圆柱的高。
活动到此,本课时的教学任务似乎已经完成,学生已具备了初步的活动经验,那么是不是只要再通过练习来巩固学生的经验就可以了? 答案是否定的。教学要为学生的可持续发展服务,学生可持续发展的动力来源于思维的发散与创新。也就是说,当学生缺乏基本活动经验时,应让学生根据指令进行操作以获取活动经验;当学生具备一定的基本活动经验时,就要放手让学生自主操作,从而丰富活动经验。
二、动手操作中模拟实验——启发形象思维
数学探究如同科学研究一样,同样要经历“猜想——实验——结论”的过程,学生在直觉思维下的猜测为接下去的探究定准了方向,接下去要做的是顺藤摸瓜,一步步探寻问题的本质。实验验证是至关重要的一步,学生可通过亲手操作验证自己的猜测。
【教学片段二】运用经验,深入探究
师:对于圆柱侧面的展开你还想探究什么问题?
(学生动手操作,将圆柱的侧面剪开后展开,研究圆柱的侧面积计算)
师:大家还发现了什么?
生1:我们把圆柱的侧面展开后得到一个长方形,这个长方形的长就是圆柱的底面周长,宽是圆柱的高。
生2:圆柱的侧面积就是这个长方形的面积。
生3:要求圆柱的侧面积,只要量出这长方形的长和宽就行了。
生4:也就是说圆柱的侧面积应该等于底面周长乘高。
师:同学们真会动脑筋,得出了圆柱侧面积的计算方法……
(这时,有一生欲言又止,手举了又放下,眼中充满疑惑,教师示意他大胆发言)
生:大家看,(边说边出示他的圆柱侧面展开图)我刚才把圆柱侧面剪开时,剪歪了,结果展开后得到的不是长方形,那面积还等于圆柱的底面周长乘高吗?
师:(把问题抛给了大家)咦,这样还能证实圆柱的侧面积等于圆柱的底面周长乘高吗?
(各小组自觉地合作探究后,相互交流)
小组1:这样剪开后得到的图形虽然不是长方形,但是我们可以把它转化成一个长方形,大家看(边说边操作)。
转化后的长方形的长是圆柱的底面周长,宽是圆柱的高,所以圆柱的侧面积还是等于底面周长乘高。
小组2:我们小组把这个图形分成两部分来看( 边说边折)。
上部分是个长方形,它的长是圆柱的底面周长,宽设为a。下部分是个平行四边形,底是圆柱的底面周长,高设为b。那么,圆柱的侧面积=柱的底面周长×( a+b)=圆柱的底面周长×高。
小组3:我们发现,即使随手把圆柱的侧面撕开,得到的图形的面积也是圆柱的底面周长乘高。大家看( 边说边操作)。
虽然展开后得到的图形不是长方形,但我们可以把这个图形转化成长方形。转化成的长方形的长是圆柱的底面周长,宽是圆柱的高,所以圆柱的侧面积等于底面周长乘高。
整个教学过程,学生探究的热情很高,学得非常积极主动,对圆柱侧面积的计算有了更为深刻的认识。笔者认为,教学成功的关键在于教师关注了学生的学习过程,尊重个体的数学“ 现实”,为学生创设了一个平等、和谐、开放的学习氛围,放手让学生自主探索,充分挖掘“意外生成”资源,从而使学生在获得知识的同时,培养了探究精神,开发了学生的求异思维能力。 三、推理归纳中显露本质——启悟逻辑思维
抽丝剥茧的最后一道程序是“复摇整理”,只有将抽出来的蚕丝整理完毕才算结束。学生的模拟实验只是验证了“可以将圆柱侧面转化为长方形”的猜想,并没有完成整个探究任务,计算圆柱形罐头的侧面积才是问题的核心,推导出圆柱侧面积的计算方法才是问题的本质。
在“圆柱的侧面积”一课的实验探究阶段,教师引导学生理解了“化曲为直”的转化策略后,着重启悟学生逻辑思维,引领学生在推理归纳中显露本质。学生对圆柱侧面展开图与圆柱侧面进行比较分析,和学生共同探寻圆柱侧面与长方形各部分之間的关系:长方形的长与圆柱的底面周长相等,长方形的宽与圆柱的高相等,圆柱的侧面积与长方形的面积相等,因此圆柱的侧面积等于底面周长乘高。显然,逻辑思维在推导圆柱侧面积计算方法的过程中发挥了主导功能,学生通过逻辑推理追根究底,渐渐逼近问题的本质,在层层推理中归纳出圆柱侧面积计算方法。
四、生活实际中延伸拓展——启迪创新思维
2011版《数学课程标准》强调:“数学教学要紧密联系学生的生活实际,从学生的生活经验和已有知识出发,创设生动有趣的情境,引导学生从数学角度去观察事物,思考问题,发展学生的思维能力,让学生体验学习数学的乐趣。”所以,学习数学的最终目的是学生能直接运用所学的知识和技能,以及日常生活中积累的经验,灵活合理地去解决实际生活中的数学问题。
【教学片段三】 巩固深化,促进经验向能力的转化
(课件出示当堂训练题目,学生独立完成)
1.将一个底面直径12 厘米、高1O厘米的圆柱的侧面沿其中一条高展开,得到一个( )形 ,它的长是( )厘米,宽是( )厘米 ,面积是( )平方厘米。
2.制作10节底面直径 2分米、高2米的圆柱形铁皮通风管(接头处忽略不计),至少需要多少铁皮?
教学中,教师尽可能地引入更多的具有真实意义的问题,努力为学生在生活中寻找解题的依托,让他们用生活经验解决问题,用数学知识解释生活现象,形成解决问题的基本策略,增进对数学的理解和学好数学的信心。学习数学服务生活的观念,把数学知识生活化,生活问题数学化,使数学真正为生活所用,让学生的数学思维异彩缤纷。
“数学教学是数学思维活动的教学”,让我们立足数学课堂,用抽丝剥茧的手法开展教学,帮助学生启萌直觉思维,启发形象思维,启悟逻辑思维,启迪创新思维,真正实现学生学习数学思维多元的发展。
参考文献
[1]王秀清.试论小学数学教学中学生数学思维能力的培养[J].中国校外教育,2017.
[2]宋彩红.浅谈小学数学教学中的逻辑思维方法[J].新课程学习:基础教育,2011.
[3]丁小冬.在数学教学中发展学生思维能力[J].小学科学(教师版),2019年11期.