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一、问题的缘起
在学习完苏教版小学数学三年级下册“年、月、日”单元时，有这样一道题目：“小明从7月8日开始学习游泳，到月底一共学习了多少天？”全班同学大致呈现了以下两种算法：（1）31-8=23（天）（2）31-8 1=24（天），第一种算法的同学认为，求“经过的天数”就可以用“后一天”去减“前一天”；第二种算法的同学进行了反驳，认为“两头”（指“8日”和“31日”）都要算，所以要加1。在后来的争论中，全班同学达成了共识，同意“两头都算”的观点，但第一种算法的同学仍然不服气，提出了这样一个问题：“两头都算，为什么相减后再加1？”第二种算法的同学也没有说出个所以然，只有几个同学说出了这样的话：“我在奥数班学过，有这样的公式。”后来，笔者翻阅了三年级的《小学数学奥林匹克起跑线》，结果还真是如此。看来，同学们对“31-8 1=24（天）”这个算式本身没有深刻地理解，只是单纯地记忆和模仿。之后，针对此问题，在我校数学教研组内开展了研讨交流，大部分教师同意第二种算法，认为“求经过天数的计算，一般都这样做，这样考填空题时学生就不会做错”，而对其他算法的研究从未涉及，更没有深入地思考。所以，在后来的测试中，很多学生还是会忘记“加1”。
二、问题的现实性追问
追问一，一般都这样做？
显而易见，教师对“经过天数的计算”这一抽象的知识，是根据自身的教学经验，潜意识地把“一般”的模式强加给孩子，认为只要学生循规蹈矩地照做，考试没有太大问题。教师此时关注的焦点只是问题解决的结果，对学生的数学思维并没有关注。而对学生而言，也只是一种“纯记忆”层面上的掌握。教师采取强灌式教学，学生根本不理解其意义，而且也很难让他们理解，其根本原因是教师没有关注学生真实的思考。
追问二，考试不会做错？
很显然，教师教的最终目的只是为了使学生在考试中少出错，让学生死死地记住类似“31-8 1=24（天）”这样的算法，并用它去解决“经过天数的计算”的问题，从而达到应付考试的目的。但是学生在后来的考试中为什么还是会“老忘记加1”呢？因为学生是在被动地接受，缺乏学习过程的真正体验。看来，教师忽视了学生基本活动经验的积累。相反的，如果这一数学结论的建立，是通过有效数学活动的引领，让学生反复验证，在理解中提升，那么学生的记忆也定会更加深刻。因此教师只有基于学生的“学”设计教学过程，学生才会真正理解知识形成的过程，举一反三，灵活运用，从而提升数学思维能力，学校也才能提高教育教学质量。
三、实践的理论性思考
作为一线教师，教学实践会为我们提供很多鲜活真实的案例，诸如上述问题，它会为我们的教学研究提供丰厚的土壤。同时也更加需要我们站在理论的高度剖析案例，这样才会促进研究更加科学和深入。因此教学实践的理论性反思就显得尤为重要。
上面的实例，让我们再一次思考教师的“教”与学生的“学”之间的关系。如何处理好两者的关系，对提升教学质量是至关重要的。但不管选择何种教学方式，一定要基于学生的“学”来展开，从学生的“学”来设计教师的“教”，如果脱离了学生，“教”也就失去了价值。“教”的最终目的是为了让学生学“会”、学“懂”、学“用”。
1.“经过天数的计算”教学中，学生“学”的问题在哪里？
“经过天数的计算”是“年、月、日”单元的练习部分的内容，教材以水稻的生长期为例展开教学，如图1所示。
本题设计的目的一方面是巩固学生对年、月、日单元知识的掌握；另一方面是让学生体会数学与生活的紧密联系。但基于学生的“学”，有很大的难度。具体有以下两个方面：
（1）知识本身体系的复杂。“经过天数的计算”是在学生已经掌握了大月、小月、平年、闰年等知识之后的一个综合运用。这些复杂的知识并不是单独存在的，而是相互联系的若干个知识点的糅合，形成“经过天数的计算”的知识储备。反过来，只有让学生熟练掌握这些知识，才会帮助他们形成解决此问题的技能。
正因为“经过天数的计算”牵扯的知识点较多，而学生大脑的存储容量是有限的，根据他们已有的认知水平，理解与运用知识的能力还略显薄弱，因此，学生在实际运用时会有一定的难度。
（2）学生自身思维的定式。针对低年级学生的年龄特征和思维特点，他们在头脑中已经形成的知识体系往往是被“固化”的，极容易造成思维的定式，而且在一定的时期内也是很难被改变的。在学习本知识之前，学生已经学过有关“周年”和“经过时间”的计算。比如：1949年10月1日-2009年10月1日，经过多少周年？列式为：2009-1949=60；上午8时-下午1时，经过了几小时？算式为：13-8=5。以上两种类型的解题方法都是存储于学生大脑的深刻记忆，根据大脑皮层的记忆功能，遇到类似问题时，他们会条件反射地用“后一个年份（时刻）减前一个年份（时刻）”，因此，学生在解决“经过天数的计算”问题时，也会习惯性地类比迁移，用“后一天去减前一天”来解决问题，从而导致在计算过程中出现错误。
2.如何基于学生的“学”，促进学生对数学知识的理解？
（1）借助“形象直观”，顺应学生的思维点拨。数学是思维的科学，在新的课程标准中，也更加强调关注学生的思维发展。小学阶段，学生的思维大多以“具体形象思维”为主，他们往往会借助图形、图像、图式和形象性的符号来思考，从而使问题更具形象性。因此，借助“形象直观”，可以把复杂的问题简单化，把抽象的问题具体化，让学生轻松地获取知识。在分析学生出现的问题后，借助课堂上的再次实践，进行有效的思维点拨。
【教学片段】
师：小明从7月8日开始学习游泳，到本月底一共学习了多少天？你能想出让同学们能理解的方法吗？
生1：可以用手数，8、9、10、11……
生2：这样太麻烦，可以画图。 师追问：画什么图？
生2：画线段图。
师：你为什么会想到画线段图？
生1：因为画图比较清楚。
生2：画图很容易把题做出来
师：你们能画一画，算一算吗？试试看。
全班同学开始进行独立思考，这时有一位同学用了这样的一种表示方法，如图2所示。
师：你是怎么想到线段图的？
生：因为以前在哪里见过，好像是学习24时计时法的时候。
教师这时顺势引导孩子想到了“24时计时法”中的“求经过的时间”，如图3所示。
生2：我比较喜欢用这种方法
……
很显然，学生通过画线段图，清晰地呈现了知识的脉络，便于理解知识间的内在关系。学生们都认为要计算“经过的天数”，就可以用“总天数-不算的天数=经过的天数”，算式为：31-7=24（天），很容易理解与运用，知识的掌握也会更加深刻。
（2）利用“迁移类比”，帮助学生建立数学模型。在新的课程标准中，反复强调了数学的基本思想，其中“模型思想”是比较重要的思想之一。其实数学的本质就是在不断抽象、概括、模式化的过程中发展和丰富起来的。因此，帮助学生建立“经过天数的计算”的数学模型，进行数学问题必要的抽象，才会使学生的数学学习更加深入，才算是一种真正意义上的数学学习。因此我又设计了以下两个层次的教学：
第一层次——巧用迁移，“磨”深数学问题。迁移在心理学上也称学习迁移或训练迁移，是指一种学习对另一种学习的影响。学生对求类似“从7月8日开始学习游泳，到本月底一共学习了多少天？”的问题已经积累了一定的认知经验，因此，可以利用学习迁移，加大数学问题的难度。于是，笔者在原有题目的基础上进行改造：“7月8日开始学习游泳，到8月12日一共学习了多少天？”学生在充分理解的基础上，得出以下方法：先算从7月8日到本月底要经过多少天？31-7=24（天），再算从8月1日到8月12日要经过12天，最后把24天和12天加起来等于36天。看来只要学生理解了问题的发生和发展过程，即使问题变得更难，遇到同类问题时会融会贯通，举一反三。
第二层次——活用类比，“模”化数学模型。对于上述问题，如果我们的教学止步于此，看似学生学会了，其实学得不够彻底，不够深入。数学教学就是要引导帮助学生从已有的知识经验出发，让学生经历将现实问题抽象成数学模型的过程，也就是让学生经历“数学化”的过程，这种教学才是深远而又有价值的。
因此，在学生掌握了具体求“经过天数的计算”的方法后，笔者又把问题进行及时的梳理与总结，利用类比思维帮助学生建立数学模型，让学生在概括中提升，在“建模”中内化。
学生通过独立思考、小组交流后，有以下发现：
（1）“经过天数的计算”如果计算范围是在同一个月的，可以用“总天数-不算的天数=经过的天数”；如果计算范围不是在一个月的，也可以先算到本月月底要经过多少天，再接着算出后面的天数。
（2）有的小组用了这样一个式子来表示：b-a-1，并且还在a-1的下面用“ ”标记，说明先算……
（3）关于这类问题的运用，大部分学生想到了考试、学籍、比赛中的“排序号”问题，比如：15到30；这个考场一共有多少名考生；三（6）班学籍号是从25到66，这个班有多少人；等等
通过以上发现，我们不难看出，教师抓住了知识间的联系，让学生充分展开探索的过程，而并非直接的讲解和告诉，主要训练和培养学生抽象、概括、举一反三的学习能力，再借助“直观线段图”的形象支撑，建立起求“经过天数的计算”的模型。这种模型的建立既加深了学生对知识的理解，又帮助学生实现了数学抽象以及运用抽象模型的能力，为后续学习打下了坚实的基础。
总之，在教学中我们要基于学生的“学”，关注学生“学”中的问题，来合理选择教师的“教”，让“教”与“学”互动交融，缔造出和谐有效的数学课堂。
（作者单位：江苏省徐州市铜山区实验小学）
（责任编辑：陈淑燕）
在学习完苏教版小学数学三年级下册“年、月、日”单元时，有这样一道题目：“小明从7月8日开始学习游泳，到月底一共学习了多少天？”全班同学大致呈现了以下两种算法：（1）31-8=23（天）（2）31-8 1=24（天），第一种算法的同学认为，求“经过的天数”就可以用“后一天”去减“前一天”；第二种算法的同学进行了反驳，认为“两头”（指“8日”和“31日”）都要算，所以要加1。在后来的争论中，全班同学达成了共识，同意“两头都算”的观点，但第一种算法的同学仍然不服气，提出了这样一个问题：“两头都算，为什么相减后再加1？”第二种算法的同学也没有说出个所以然，只有几个同学说出了这样的话：“我在奥数班学过，有这样的公式。”后来，笔者翻阅了三年级的《小学数学奥林匹克起跑线》，结果还真是如此。看来，同学们对“31-8 1=24（天）”这个算式本身没有深刻地理解，只是单纯地记忆和模仿。之后，针对此问题，在我校数学教研组内开展了研讨交流，大部分教师同意第二种算法，认为“求经过天数的计算，一般都这样做，这样考填空题时学生就不会做错”，而对其他算法的研究从未涉及，更没有深入地思考。所以，在后来的测试中，很多学生还是会忘记“加1”。
二、问题的现实性追问
追问一，一般都这样做？
显而易见，教师对“经过天数的计算”这一抽象的知识，是根据自身的教学经验，潜意识地把“一般”的模式强加给孩子，认为只要学生循规蹈矩地照做，考试没有太大问题。教师此时关注的焦点只是问题解决的结果，对学生的数学思维并没有关注。而对学生而言，也只是一种“纯记忆”层面上的掌握。教师采取强灌式教学，学生根本不理解其意义，而且也很难让他们理解，其根本原因是教师没有关注学生真实的思考。
追问二，考试不会做错？
很显然，教师教的最终目的只是为了使学生在考试中少出错，让学生死死地记住类似“31-8 1=24（天）”这样的算法，并用它去解决“经过天数的计算”的问题，从而达到应付考试的目的。但是学生在后来的考试中为什么还是会“老忘记加1”呢？因为学生是在被动地接受，缺乏学习过程的真正体验。看来，教师忽视了学生基本活动经验的积累。相反的，如果这一数学结论的建立，是通过有效数学活动的引领，让学生反复验证，在理解中提升，那么学生的记忆也定会更加深刻。因此教师只有基于学生的“学”设计教学过程，学生才会真正理解知识形成的过程，举一反三，灵活运用，从而提升数学思维能力，学校也才能提高教育教学质量。
三、实践的理论性思考
作为一线教师，教学实践会为我们提供很多鲜活真实的案例，诸如上述问题，它会为我们的教学研究提供丰厚的土壤。同时也更加需要我们站在理论的高度剖析案例，这样才会促进研究更加科学和深入。因此教学实践的理论性反思就显得尤为重要。
上面的实例，让我们再一次思考教师的“教”与学生的“学”之间的关系。如何处理好两者的关系，对提升教学质量是至关重要的。但不管选择何种教学方式，一定要基于学生的“学”来展开，从学生的“学”来设计教师的“教”，如果脱离了学生，“教”也就失去了价值。“教”的最终目的是为了让学生学“会”、学“懂”、学“用”。
1.“经过天数的计算”教学中，学生“学”的问题在哪里？
“经过天数的计算”是“年、月、日”单元的练习部分的内容，教材以水稻的生长期为例展开教学，如图1所示。
本题设计的目的一方面是巩固学生对年、月、日单元知识的掌握；另一方面是让学生体会数学与生活的紧密联系。但基于学生的“学”，有很大的难度。具体有以下两个方面：
（1）知识本身体系的复杂。“经过天数的计算”是在学生已经掌握了大月、小月、平年、闰年等知识之后的一个综合运用。这些复杂的知识并不是单独存在的，而是相互联系的若干个知识点的糅合，形成“经过天数的计算”的知识储备。反过来，只有让学生熟练掌握这些知识，才会帮助他们形成解决此问题的技能。
正因为“经过天数的计算”牵扯的知识点较多，而学生大脑的存储容量是有限的，根据他们已有的认知水平，理解与运用知识的能力还略显薄弱，因此，学生在实际运用时会有一定的难度。
（2）学生自身思维的定式。针对低年级学生的年龄特征和思维特点，他们在头脑中已经形成的知识体系往往是被“固化”的，极容易造成思维的定式，而且在一定的时期内也是很难被改变的。在学习本知识之前，学生已经学过有关“周年”和“经过时间”的计算。比如：1949年10月1日-2009年10月1日，经过多少周年？列式为：2009-1949=60；上午8时-下午1时，经过了几小时？算式为：13-8=5。以上两种类型的解题方法都是存储于学生大脑的深刻记忆，根据大脑皮层的记忆功能，遇到类似问题时，他们会条件反射地用“后一个年份（时刻）减前一个年份（时刻）”，因此，学生在解决“经过天数的计算”问题时，也会习惯性地类比迁移，用“后一天去减前一天”来解决问题，从而导致在计算过程中出现错误。
2.如何基于学生的“学”，促进学生对数学知识的理解？
（1）借助“形象直观”，顺应学生的思维点拨。数学是思维的科学，在新的课程标准中，也更加强调关注学生的思维发展。小学阶段，学生的思维大多以“具体形象思维”为主，他们往往会借助图形、图像、图式和形象性的符号来思考，从而使问题更具形象性。因此，借助“形象直观”，可以把复杂的问题简单化，把抽象的问题具体化，让学生轻松地获取知识。在分析学生出现的问题后，借助课堂上的再次实践，进行有效的思维点拨。
【教学片段】
师：小明从7月8日开始学习游泳，到本月底一共学习了多少天？你能想出让同学们能理解的方法吗？
生1：可以用手数，8、9、10、11……
生2：这样太麻烦，可以画图。 师追问：画什么图？
生2：画线段图。
师：你为什么会想到画线段图？
生1：因为画图比较清楚。
生2：画图很容易把题做出来
师：你们能画一画，算一算吗？试试看。
全班同学开始进行独立思考，这时有一位同学用了这样的一种表示方法，如图2所示。
师：你是怎么想到线段图的？
生：因为以前在哪里见过，好像是学习24时计时法的时候。
教师这时顺势引导孩子想到了“24时计时法”中的“求经过的时间”，如图3所示。
生2：我比较喜欢用这种方法
……
很显然，学生通过画线段图，清晰地呈现了知识的脉络，便于理解知识间的内在关系。学生们都认为要计算“经过的天数”，就可以用“总天数-不算的天数=经过的天数”，算式为：31-7=24（天），很容易理解与运用，知识的掌握也会更加深刻。
（2）利用“迁移类比”，帮助学生建立数学模型。在新的课程标准中，反复强调了数学的基本思想，其中“模型思想”是比较重要的思想之一。其实数学的本质就是在不断抽象、概括、模式化的过程中发展和丰富起来的。因此，帮助学生建立“经过天数的计算”的数学模型，进行数学问题必要的抽象，才会使学生的数学学习更加深入，才算是一种真正意义上的数学学习。因此我又设计了以下两个层次的教学：
第一层次——巧用迁移，“磨”深数学问题。迁移在心理学上也称学习迁移或训练迁移，是指一种学习对另一种学习的影响。学生对求类似“从7月8日开始学习游泳，到本月底一共学习了多少天？”的问题已经积累了一定的认知经验，因此，可以利用学习迁移，加大数学问题的难度。于是，笔者在原有题目的基础上进行改造：“7月8日开始学习游泳，到8月12日一共学习了多少天？”学生在充分理解的基础上，得出以下方法：先算从7月8日到本月底要经过多少天？31-7=24（天），再算从8月1日到8月12日要经过12天，最后把24天和12天加起来等于36天。看来只要学生理解了问题的发生和发展过程，即使问题变得更难，遇到同类问题时会融会贯通，举一反三。
第二层次——活用类比，“模”化数学模型。对于上述问题，如果我们的教学止步于此，看似学生学会了，其实学得不够彻底，不够深入。数学教学就是要引导帮助学生从已有的知识经验出发，让学生经历将现实问题抽象成数学模型的过程，也就是让学生经历“数学化”的过程，这种教学才是深远而又有价值的。
因此，在学生掌握了具体求“经过天数的计算”的方法后，笔者又把问题进行及时的梳理与总结，利用类比思维帮助学生建立数学模型，让学生在概括中提升，在“建模”中内化。
学生通过独立思考、小组交流后，有以下发现：
（1）“经过天数的计算”如果计算范围是在同一个月的，可以用“总天数-不算的天数=经过的天数”；如果计算范围不是在一个月的，也可以先算到本月月底要经过多少天，再接着算出后面的天数。
（2）有的小组用了这样一个式子来表示：b-a-1，并且还在a-1的下面用“ ”标记，说明先算……
（3）关于这类问题的运用，大部分学生想到了考试、学籍、比赛中的“排序号”问题，比如：15到30；这个考场一共有多少名考生；三（6）班学籍号是从25到66，这个班有多少人；等等
通过以上发现，我们不难看出，教师抓住了知识间的联系，让学生充分展开探索的过程，而并非直接的讲解和告诉，主要训练和培养学生抽象、概括、举一反三的学习能力，再借助“直观线段图”的形象支撑，建立起求“经过天数的计算”的模型。这种模型的建立既加深了学生对知识的理解，又帮助学生实现了数学抽象以及运用抽象模型的能力，为后续学习打下了坚实的基础。
总之，在教学中我们要基于学生的“学”，关注学生“学”中的问题，来合理选择教师的“教”，让“教”与“学”互动交融，缔造出和谐有效的数学课堂。
（作者单位：江苏省徐州市铜山区实验小学）
（责任编辑：陈淑燕）