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重庆第八中学 400030
摘要:本文以一个与正三角形有关的数学问题为起点进行定值问题的探索,探讨了正三角形内切圆上任一点变为外切圆上任一点、形内任一点、内切椭圆上任一点以及问题的逆命题等定值问题,并对上述命题及其变式进行了推广.
关键词:数学问题;变式探究
问题 P是正三角形A1A2A3的内切圆⊙O上任一点,点P到A1A2,A2A3,A3A1的距离分别为d1,d2,d3,问:当P点位置变动时,d+d+d是否为定值?说明理由.
这是《数学通报》2006年第11期上的第1 637号数学问题,作者运用三角知识对问题作了完善的回答. 文章也从改进问题的解法,建立问题的几何模型,拓展问题至多元方面作了进一步研究,本文拟从问题的变式和引申方面作些探究.
变式1 问题中“点P到三边的距离”变换为“点P到各顶点的距离”,于是得到点P是正三角形A1A2A3的内切圆⊙O上任一点,点P到A1,A2,A3的距离分别为d1,d2,d3,问:当P点位置变动时, d+d+d是否为定值?说明理由.
探究 以圆心O为原点,OA1所在直线为y轴,平行于A2A3且过O点的直线为x轴建系(如图1). 设⊙O半径为r,因△A1A2A3为正三角形,则A1(0,2r),A2(-r,-r),A3(r,-r),又设P点坐标为(rcosθ,rsinθ),于是d+d+d=(rcosθ)2+(rsinθ-2r)2+(rcosθ+r)2+(rsinθ+r)2+(rcosθ-r)2+(rsinθ+r)2=15r2.
因此P点位置变动时,d+d+d为定值,且定值是15r2.
当正三角形A1A2A3变成正方形、正五边形,以至于正n边形时,变式1又将如何?
推广 P是正n边形A1A2A3…An的内切圆⊙O上任一点,点P到A1,A2,A3,…,An的距离分别为d1,d2,d3,…,dn,问:当P点位置变动时,d+d+…+d是否为定值?说明理由.
探究 如图2,设⊙O半径为r,则∠A1OA2=,且△OA1A2为等腰三角形,在Rt△A1B1O中,OA1=,由=-,=0得
2=(-)2=2-2
·+2=2+2=n
2+nr2=nr21+sec2
.
[A1][B1][A2][A3][O][P][Ai]
图2
即d+d+…+d=nr21+sec2
为定值.
变式2 变式1中的“内切圆”变换为“外接圆”,于是得到点P是正三角形A1A2A3的外接圆⊙O上任一点,P到A1,A2,A3的距离分别为d1,d2,d3,问:当P点位置变动时,d+d+d是否为定值?说明理由.
变式2是一个较易解决的问题,为了使变式2更具有一般性,可将它推广为如下问题.
推广1P是正n边形A1A2A3…An的外接圆⊙O上任一点,点P到A1,A2,…,An的距离分别为d1,d2,…,dn,问:当P点位置变动时,d+d+…+d是否为定值?说明理由.
[A1][P][A2][A3][A4][Ai][An][O]
图3
探究 设外接圆半径为R,仿变式1的推广证明得
2=2+2=2nR2,
即d+d+…+d=2nR2为定值.
特别地,n=3时便得变式2中的结果d+d+d=6R2.
推广2 P是以O为圆心,半径为r(任意长)的内切圆上任一点,正n边形A1A2A3…An的外接圆半径为R,P到A1,A2,…,An的距离分别为d1,d2,…,dn . 问:当点P位置变动时,d+d+…+d是否为定值?说明理由.
探究 由推广1便知d+d+…+d为定值n(R2+r2).
变式3 P是正三角形A1A2A3内任一点(点P也可以在三边上),点P到A1A2,A2A3,A3A1的距离分别为d1,d2,d3,且当P点位置变动时,d+d+d始终为定值,求P点的轨迹方程.
探究 如图1,以△A1A2A3的中心为原点建系,设P(x,y),△A1A2A3的边长为a,d+d+d=m(定值),可得A1A2,A3A1,A2A3所在直线方程分别为x-y+a=0,x+y-a=0,y+a=0,于是可以得到d+d+d=
2+
2+
y+a2=,又d+d+d=m(定值),所以x2+y2=.
所以,当m>时,P点的轨迹方程是以原点(正三角形A1A2A3的中心)为圆心的圆;当m=时,P点的轨迹是点(0,0);当m<时,无轨迹图形.
变式4 变式1的逆命题是否成立呢?为了更具一般性,思考下面的问题.
P是正n边形A1A2…An内任一点(点P也可以在边上),P到A1,A2,…,An的距离分别为d1,d2,…,dn,当P点位置变动时,d+ d+…+d始终为定值,求点P的轨迹方程.
探究 由变式1推广的解法知:d+d+…+d=
2=2+2.
设正n边形内切圆半径为r,设d+d+…+d的定值为m,则
2+2=nr2sec2+2=m,
所以2=m-nr2sec2=n
2.
所以
2=.
所以,当m>nr2sec2时,点P的轨迹是以O为圆心,以
=为半径的圆;当m=nr2sec2时,P的轨迹为点(0,0);当m 变式5 问题中的“内切圆”变换为“△A1A2A3内任一点”,此时结论不一定成立,但其最小值存在.
P是正三角形A1A2A3内的任一点,P到A1A2,A2A3,A3A1的距离为d1,d2,d3,当P点位置变动时,求d+d+d的最小值.
[A1][d3][d1][P][d2][A2][A3]
图4
探究 设正三角形A1A2A3的面积为S,边长为a,则
d1a+d2a+d3a=S,所以d1+d2+d3=.
由柯西不等式有(d+d+d)·(12+12+12)≥(d1+d2+d3)2,
所以d+d+d≥(当且仅当d1=d2=d3时取最小值).
推广1 P是正n边形A1A2A3…An内任一点,P到A1A2,A2A3,…,AnA1的距离分别为d1,d2,…,dn. 设正n边形面积为S,边长为a,当P点的位置变动时,d+d+…+d的最小值为.
推广2 P是n边形A1A2A3…An内任一点,P到A1A2,A2A3,…,AnA1的距离分别为d1,d2,…,dn,记n边形面积为S,边长分别为a1,a2,…,an .
当P点位置变动时,d+d+…+d的最小值为(当且仅当==…=时取最小值).
变式6 问题中“内切圆”变换为“内切椭圆”,结论又将如何?
P是正三角形A1A2A3的内切椭圆上任一点,P到A1A2,A2A3,A3A1的距离分别为d1,d2,d3,问:当P点位置变动时,d+d+d是否为定值?说明理由.
探究 以椭圆中心O为原点,平行于A2A3的直线为x轴,正三角形A1A2A3所在高为y轴建系(如图5),设椭圆方程为+=1(a>b>0),设直线A1A2的方程为y=x+t(t>0),则直线A1A3的方程为y=-x+t. 因P是椭圆上任一点,可设为(x,y),
由
+
=1,
y=x+t 消去y得(b2+3a2)x2+2a2tx+a2t2-a2b2=0.
[y][A1][d3][d1][P][d2][A2][A3][x][O]
图5
因直线AA与椭圆相切,所以Δ=(2·a2t)2-4(b2+3a2)(a2t2-a2b2)=0.
所以t2-b2-3a2=0,即t=.
由直线A1A2,A2A3,A3A1的方程分别为x-y+t=0,y+b=0,x+y-t=0,有d1=,d2=|y+b|,d3=,
所以d+d+d=+(y+b)2+===
y2+
(2b-
)y+2a2+b2(y≤b). (*)
由此可知:P点在椭圆上变动时,d+d+d不为定值.
引申1 P是正三角形A1A2A3的内切椭圆上任一点,P到A1A2,A2A3,A3A1的距离分别为d1,d2,d3,求d+d+d取最大值时,点P的坐标.
探究 由(*)式的二次函数知,当a>b>a时,d+d+d取得最大值,P点的坐标为
±
,
;
当0 引申2 P是正三角形A1A2A3内的一个动点,G是△A1A2A3的中心,PN⊥A2A3于点N,2PG=PN,P到 A1,A2,A3的距离分别为d1,d2,d3,求d+d+d的最小值.
探究 取A1G为x轴,A1G的垂直平分线为y轴建立直角坐标系(如图6),设正三角形边长为a,易知
G
a,0,A1-
a,0,A2
a,-
,A3
a,
·
[y][A3][P][N][x][G][O][A2][A1]
图6
因为=,所以点P(x,y)的轨迹是以G为焦点,直线A2A3为准线的椭圆(在△A1A2A3内的弧上). 设椭圆方程为+=1(m>n>0),
因为A2A3的方程为x=a=,而=|OG|=a,
所以m2=a2,n2=a2,所以椭圆方程为+=1.
直线A1A3的方程y=·x+
a与椭圆+=1联立得x=,从而P(x,y)的横坐标取值范围是 所以d+d+d=x+
a2+y2+x-
a2+
y+2+x-
a2+y-
2=3x2+3y2-ax+a2=x2-·ax+a2=
x-a2+a2·
≤a.
当x=a时,d+d+d取得最小值a2.
请读者思考:题目中其他条件不变,若=λ(0<λ<1)时,结果的变化情况,此处不再赘述.
引申3△A1A2A3内接于椭圆,P是椭圆的一个焦点,有∠A1PA2=∠A2PA3=∠A3PA1. 设P到A1,A2,A3的距离分别为d1,d2,d3,证明++为定值,并求此定值.
探究 如图7建系,设椭圆方程为+=1(a>b>0),P为右焦点,则P(c,0)(其中c=). 右准线l的方程为x=,记椭圆右顶点为A,并设∠APAi=αi(i=1,2,3),不失一般性,设0≤α1≤π,且α2=α1+π,α3=α1+π. 又设Ai在l上的射影为Bi,从而有
|PAi|=|AiBi|e=
-c-|PAi|cosαie=-|PAi|cosαi,
所以=(i=1,2,3).
因此++=+(cosα1+cosα2+cosα3)=+cosα1+cosα1+
π+cosα1+
π=.
推广 n边形A1A2A3…An内接于椭圆,P是椭圆的一个焦点,若∠A1PA2=∠A2PA3=∠A3PA4=…=∠AnPA1,设P到A1,A2,…,An的距离分别为d1,d2,…,dn,则++…+必为定值,且定值为.
探究 由引申3的探究知:==(i=1,2,…,n),
所以++…+=+(cosα1+cosα2+…+cosαn)=+cosα1+cosα1+
+cosα1
+2×+…+cosα1+(n-1)×
.
又由三角知识可得:cosα+cos(α+β)+cos(α+2β)+…+cos[α+(n-1)β]
=.
所以cosα1+cosα1
++cosα1+2×
+…+cosα1+(n-1)×
=0.
所以++…+=.
摘要:本文以一个与正三角形有关的数学问题为起点进行定值问题的探索,探讨了正三角形内切圆上任一点变为外切圆上任一点、形内任一点、内切椭圆上任一点以及问题的逆命题等定值问题,并对上述命题及其变式进行了推广.
关键词:数学问题;变式探究
问题 P是正三角形A1A2A3的内切圆⊙O上任一点,点P到A1A2,A2A3,A3A1的距离分别为d1,d2,d3,问:当P点位置变动时,d+d+d是否为定值?说明理由.
这是《数学通报》2006年第11期上的第1 637号数学问题,作者运用三角知识对问题作了完善的回答. 文章也从改进问题的解法,建立问题的几何模型,拓展问题至多元方面作了进一步研究,本文拟从问题的变式和引申方面作些探究.
变式1 问题中“点P到三边的距离”变换为“点P到各顶点的距离”,于是得到点P是正三角形A1A2A3的内切圆⊙O上任一点,点P到A1,A2,A3的距离分别为d1,d2,d3,问:当P点位置变动时, d+d+d是否为定值?说明理由.
探究 以圆心O为原点,OA1所在直线为y轴,平行于A2A3且过O点的直线为x轴建系(如图1). 设⊙O半径为r,因△A1A2A3为正三角形,则A1(0,2r),A2(-r,-r),A3(r,-r),又设P点坐标为(rcosθ,rsinθ),于是d+d+d=(rcosθ)2+(rsinθ-2r)2+(rcosθ+r)2+(rsinθ+r)2+(rcosθ-r)2+(rsinθ+r)2=15r2.
因此P点位置变动时,d+d+d为定值,且定值是15r2.
当正三角形A1A2A3变成正方形、正五边形,以至于正n边形时,变式1又将如何?
推广 P是正n边形A1A2A3…An的内切圆⊙O上任一点,点P到A1,A2,A3,…,An的距离分别为d1,d2,d3,…,dn,问:当P点位置变动时,d+d+…+d是否为定值?说明理由.
探究 如图2,设⊙O半径为r,则∠A1OA2=,且△OA1A2为等腰三角形,在Rt△A1B1O中,OA1=,由=-,=0得
2=(-)2=2-2
·+2=2+2=n
2+nr2=nr21+sec2
.
图2
即d+d+…+d=nr21+sec2
为定值.
变式2 变式1中的“内切圆”变换为“外接圆”,于是得到点P是正三角形A1A2A3的外接圆⊙O上任一点,P到A1,A2,A3的距离分别为d1,d2,d3,问:当P点位置变动时,d+d+d是否为定值?说明理由.
变式2是一个较易解决的问题,为了使变式2更具有一般性,可将它推广为如下问题.
推广1P是正n边形A1A2A3…An的外接圆⊙O上任一点,点P到A1,A2,…,An的距离分别为d1,d2,…,dn,问:当P点位置变动时,d+d+…+d是否为定值?说明理由.
图3
探究 设外接圆半径为R,仿变式1的推广证明得
2=2+2=2nR2,
即d+d+…+d=2nR2为定值.
特别地,n=3时便得变式2中的结果d+d+d=6R2.
推广2 P是以O为圆心,半径为r(任意长)的内切圆上任一点,正n边形A1A2A3…An的外接圆半径为R,P到A1,A2,…,An的距离分别为d1,d2,…,dn . 问:当点P位置变动时,d+d+…+d是否为定值?说明理由.
探究 由推广1便知d+d+…+d为定值n(R2+r2).
变式3 P是正三角形A1A2A3内任一点(点P也可以在三边上),点P到A1A2,A2A3,A3A1的距离分别为d1,d2,d3,且当P点位置变动时,d+d+d始终为定值,求P点的轨迹方程.
探究 如图1,以△A1A2A3的中心为原点建系,设P(x,y),△A1A2A3的边长为a,d+d+d=m(定值),可得A1A2,A3A1,A2A3所在直线方程分别为x-y+a=0,x+y-a=0,y+a=0,于是可以得到d+d+d=
2+
2+
y+a2=,又d+d+d=m(定值),所以x2+y2=.
所以,当m>时,P点的轨迹方程是以原点(正三角形A1A2A3的中心)为圆心的圆;当m=时,P点的轨迹是点(0,0);当m<时,无轨迹图形.
变式4 变式1的逆命题是否成立呢?为了更具一般性,思考下面的问题.
P是正n边形A1A2…An内任一点(点P也可以在边上),P到A1,A2,…,An的距离分别为d1,d2,…,dn,当P点位置变动时,d+ d+…+d始终为定值,求点P的轨迹方程.
探究 由变式1推广的解法知:d+d+…+d=
2=2+2.
设正n边形内切圆半径为r,设d+d+…+d的定值为m,则
2+2=nr2sec2+2=m,
所以2=m-nr2sec2=n
2.
所以
2=.
所以,当m>nr2sec2时,点P的轨迹是以O为圆心,以
=为半径的圆;当m=nr2sec2时,P的轨迹为点(0,0);当m
P是正三角形A1A2A3内的任一点,P到A1A2,A2A3,A3A1的距离为d1,d2,d3,当P点位置变动时,求d+d+d的最小值.
图4
探究 设正三角形A1A2A3的面积为S,边长为a,则
d1a+d2a+d3a=S,所以d1+d2+d3=.
由柯西不等式有(d+d+d)·(12+12+12)≥(d1+d2+d3)2,
所以d+d+d≥(当且仅当d1=d2=d3时取最小值).
推广1 P是正n边形A1A2A3…An内任一点,P到A1A2,A2A3,…,AnA1的距离分别为d1,d2,…,dn. 设正n边形面积为S,边长为a,当P点的位置变动时,d+d+…+d的最小值为.
推广2 P是n边形A1A2A3…An内任一点,P到A1A2,A2A3,…,AnA1的距离分别为d1,d2,…,dn,记n边形面积为S,边长分别为a1,a2,…,an .
当P点位置变动时,d+d+…+d的最小值为(当且仅当==…=时取最小值).
变式6 问题中“内切圆”变换为“内切椭圆”,结论又将如何?
P是正三角形A1A2A3的内切椭圆上任一点,P到A1A2,A2A3,A3A1的距离分别为d1,d2,d3,问:当P点位置变动时,d+d+d是否为定值?说明理由.
探究 以椭圆中心O为原点,平行于A2A3的直线为x轴,正三角形A1A2A3所在高为y轴建系(如图5),设椭圆方程为+=1(a>b>0),设直线A1A2的方程为y=x+t(t>0),则直线A1A3的方程为y=-x+t. 因P是椭圆上任一点,可设为(x,y),
由
+
=1,
y=x+t 消去y得(b2+3a2)x2+2a2tx+a2t2-a2b2=0.
图5
因直线AA与椭圆相切,所以Δ=(2·a2t)2-4(b2+3a2)(a2t2-a2b2)=0.
所以t2-b2-3a2=0,即t=.
由直线A1A2,A2A3,A3A1的方程分别为x-y+t=0,y+b=0,x+y-t=0,有d1=,d2=|y+b|,d3=,
所以d+d+d=+(y+b)2+===
y2+
(2b-
)y+2a2+b2(y≤b). (*)
由此可知:P点在椭圆上变动时,d+d+d不为定值.
引申1 P是正三角形A1A2A3的内切椭圆上任一点,P到A1A2,A2A3,A3A1的距离分别为d1,d2,d3,求d+d+d取最大值时,点P的坐标.
探究 由(*)式的二次函数知,当a>b>a时,d+d+d取得最大值,P点的坐标为
±
,
;
当0 引申2 P是正三角形A1A2A3内的一个动点,G是△A1A2A3的中心,PN⊥A2A3于点N,2PG=PN,P到 A1,A2,A3的距离分别为d1,d2,d3,求d+d+d的最小值.
探究 取A1G为x轴,A1G的垂直平分线为y轴建立直角坐标系(如图6),设正三角形边长为a,易知
G
a,0,A1-
a,0,A2
a,-
,A3
a,
·
图6
因为=,所以点P(x,y)的轨迹是以G为焦点,直线A2A3为准线的椭圆(在△A1A2A3内的弧上). 设椭圆方程为+=1(m>n>0),
因为A2A3的方程为x=a=,而=|OG|=a,
所以m2=a2,n2=a2,所以椭圆方程为+=1.
直线A1A3的方程y=·x+
a与椭圆+=1联立得x=,从而P(x,y)的横坐标取值范围是
a2+y2+x-
a2+
y+2+x-
a2+y-
2=3x2+3y2-ax+a2=x2-·ax+a2=
x-a2+a2·
当x=a时,d+d+d取得最小值a2.
请读者思考:题目中其他条件不变,若=λ(0<λ<1)时,结果的变化情况,此处不再赘述.
引申3△A1A2A3内接于椭圆,P是椭圆的一个焦点,有∠A1PA2=∠A2PA3=∠A3PA1. 设P到A1,A2,A3的距离分别为d1,d2,d3,证明++为定值,并求此定值.
探究 如图7建系,设椭圆方程为+=1(a>b>0),P为右焦点,则P(c,0)(其中c=). 右准线l的方程为x=,记椭圆右顶点为A,并设∠APAi=αi(i=1,2,3),不失一般性,设0≤α1≤π,且α2=α1+π,α3=α1+π. 又设Ai在l上的射影为Bi,从而有
|PAi|=|AiBi|e=
-c-|PAi|cosαie=-|PAi|cosαi,
所以=(i=1,2,3).
因此++=+(cosα1+cosα2+cosα3)=+cosα1+cosα1+
π+cosα1+
π=.
推广 n边形A1A2A3…An内接于椭圆,P是椭圆的一个焦点,若∠A1PA2=∠A2PA3=∠A3PA4=…=∠AnPA1,设P到A1,A2,…,An的距离分别为d1,d2,…,dn,则++…+必为定值,且定值为.
探究 由引申3的探究知:==(i=1,2,…,n),
所以++…+=+(cosα1+cosα2+…+cosαn)=+cosα1+cosα1+
+cosα1
+2×+…+cosα1+(n-1)×
.
又由三角知识可得:cosα+cos(α+β)+cos(α+2β)+…+cos[α+(n-1)β]
=.
所以cosα1+cosα1
++cosα1+2×
+…+cosα1+(n-1)×
=0.
所以++…+=.