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摘 要：数的起源是数学史研究中不可忽视的问题。本文主要是从石器时代到春秋时期，基于中国古代文献记载和传说探讨数的起源并对古代传说进行汇总，介绍中国文化起源，考察古代记数法的基本情况。
关键词：数的起源;中国古代;历史文献;神话;记数法
一、问题提出
人们对于数的认识，并不是天生就有的。远古时代，人们靠采集和围猎为生。有无猎物或果实，关系到古人的生存，而“有”和“无”的问题，孕育了人类最初的数学思想。对“有”的进一步认识，又产生了另一个数学问题：“多”与“少”，要想知道有多少果实或猎物，就要作个比较，和什么作比较呢？
二、文献综述
在以往的研究中，民族学的方法是一些学者探讨数的起源最常用的一种方法。这是依据当代所谓“原始”部族中的数的观念的有关材料去解释原始人类的数的观念。例如，当代民族学有用手指和脚趾计数的资料。持这种研究方法的学者便认为，原始人类首先是用手指和脚趾来计数的，且一般表现为十进位或者二十进位。这其实已是较后的发展了的数的观念，远非起源阶段的数的观念。
三、研究目的及意义
上述诸种现状，使数的起源问题有继续探讨的必要。这种探讨不应仅仅表现为对数的起源作理性思辩的概貌性描述，也不能仅仅表现为对民族学材料的研究，更不是简单化地进行直观式类比判断，它需要追溯数的起源中的每一个别步骤，看它们是怎样一步一步走到纯悴的数的观念的。而历史从哪里开始，逻辑亦从哪里开始，因此这种起源历史的追溯过程，正是数的起源问题解决的过程。
四、从中国古代文献看数的起源
1.古代传说中的人物与数的起源
1.1伏羲
“伏羲，又作必羲、厄牺（亦称泡牺氏）、伏戏，亦称牺皇、皇羲、包镁，《史记》中称伏牺”，【1】这些名称上古音近，故有不同的写法。伏羲与女蜗在《列子·黄帝》和古代石刻和画像中都是人面蛇身的人物。其实伏羲并非人首蛇身，而是真正的道家的创始人，人首蛇身即是“道”字的原型，用其表示道。伏羲根据天地问阴阳变化之理，创造了八卦，即以八种简单却寓义深刻的符号来概括天地之间的万事万物。
1.2黄帝
“黄帝少典之子，本姓公孙，长居姬水，因改姓姬，居轩辕之丘（在今河南新郑西北），故号轩辕氏，出生、创业和建都于有熊（今河南新郑），故亦称有熊氏，因有土德之瑞，故号黄帝”。【1】黄帝被视为中华民族的始祖。司马迁的《史记》记述中国历史，就从黄帝讲起。古史传说也将数学和科学技术的许多发明创造归功于黄帝或黄帝时代。
1.3大挠造甲子
《世本》所说大挠造甲子是说明应用干支纪日法，即甲子纪日法，乃是以十干和十二支交相组合，而成六十单位。以一个单位（如甲子）代表一日。在两个月内甲子是不重冲的，可以依序排成六行：
甲子，乙丑，丙寅，丁卯，戊辰，己巳，庚午，辛未，壬申，癸酉;
甲戍，乙亥，丙子，丁丑，戊寅，己卯，庚辰，辛巳，壬午，癸未;
甲申，乙酉，丙戌，丁亥，戊子，己丑，庚寅，辛卯，壬辰，癸巳;
甲午，乙未，丙申，丁亥，戊戌，己亥，庚子，辛丑，壬寅，癸卯;
甲辰，乙巳，丙午，丁未，戊申，己酉，庚戌，辛亥，壬子，癸丑;
甲寅，乙卯，丙辰，丁巳，戊午，己未，庚申，辛酉，壬戌，癸亥。
这六行都以甲为开始，所以汉唐称做为“六甲”。
干支纪日在晚殷卜辞，兽骨刻辞和铜器铭文都可以看到。【2】
1.4隶首
传说隶首是黄帝的臣子。《世本》有隶首作数的记载，只是辑本不同而记载稍异。宋衷注曰：“隶首，黄帝史也”。从后世的理解来看，数和算，前者为抽象的概念，后者为计数的工具，两者又互为表里。黄帝时有了抽象程度较高的数的概念，应是可以理解的。隶首作数或作算数的传说，不应理解为后世的算筹卜，而是黄帝时代用竹、木等制成的长条形实物来计数的反映。
2.相关典籍中关于数的起源的记述
《李俨钱宝踪科学史全集》（第一卷）中所收录的钱宝琼的《古算考源》对于计数法进行了详细的描述。从太古结绳开始，到算筹，再到珠算都有介绍。李俨的《中国算学小史》自上古期的太古算学写到黄帝、尧、舜时代，再到周、秦时代和九九都对数学起源进行了简单的概括，只是叙述较为简单。李俨的《中国算学史》中写到上古之初未有文字，先以“结绳”为记。后按时间顺序出现了书契，也就是数字。考证的根据是殷代、周秦及东汉的甲骨文。
2.1绳结记数法
上古之初，未有文字，先以“结绳”为记。结绳既为记事之用，也作记数之用。《周易·系辞下》写到：“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契。”《庄子肤筐篇》写到：“昔者容成氏，大庭氏，伯皇氏，中央氏，栗陆氏，骊畜氏，轩辕氏，赫青氏，尊卢氏，伏羲氏，神农氏，当是时也，民结绳而用之。”“庄子为哲理学家，其所著内容尚待考证，而上古已有结绳之制，则无可疑。日本德川时代的能登、骏河二国，今日的北美土著人，琉球土著人，都有用结绳记数的习惯”，【3】这些足以证明古代文献所叙不虚。
2.2书契记数法
和结绳几乎同时或者稍后的一种记数方法，要算是书契了。书契，就是刻、划，在竹、木、龟甲上留下刻痕，留下“记”号。《释名》一书中说：“契，刻也，刻识其数也。”意思是在某种物件上刻划一些符号，以记数。《经典释文》注《尚书序》说“书者文字;契者刻木而书其侧，故曰书契也。一云以书契约其事也。”郑玄云：“以书书木边言其事，刻其木，谓之书契也”。汉刘熙《释名》卷六说“契，刻也，刻识其数也”“书，庶也，纪庶物也，亦言著也”，都说明书、契有别。《列子》“说符”篇和《墨子》“公孟”篇的故事说明刻木记事、记数以为凭证，在春秋战国时代还有使用的。
2.3筹算记数法
太古结绳而治，而记数方法目前并不十分详细。“有史料称伏羲时造书契以代结绳之政;黄帝使大挠作甲子，隶首作算数。记数之制，大概在黄帝时代始得完备”。中国古代的记数方法，除了结绳、书契外，还有“积算”之法。
算筹的发明就是在结绳、书契这些记数方法的历史发展中逐渐产生的。它最早出现在何时，现在已经不可查考了，《老子》提到：“善计者不用筹策”，因此筹算应该完成于春秋战国时期。
总之，数概念产生之初为结绳、刻木和书契。关于古代记数方法最有实例的是殷代卜辞图形，后来才有了用筹算记数的方法。十进位值制记数法的起源时期倾向于殷代，甲骨文和金文中每到十的倍数就有专门的符号标一记就是最好的例证。珠算应该是从古人筹算中产生而来。
五、结论
大概是7000多年前，我国最早出现“数”的观念，并已掌握了一定的“数量”概念。我国古代最早利用结绳记数，而后又有了书契记数。从西安半坡人时期数学符号的面世，演变到甲骨文数字表示，十进制的位值制记数法发展到商代己形成了完整的体系。
通过研究发现，中国古代数的观念尚有待于外化为固定的符號表达方式，这是数的观念起源历史的最后一步，这最后一步是与文字同步产生的。而由数学史课程知道，数的符号表达的形成期大约在新石器时代末期和文明时代之初的那一段时期。此时，古代人民在创造数的表达符号时，可能会将彩陶纹饰的某些符号形式借来赋予新的意义，表达数的概念。这还有待于进一步的研究。
参考文献：
[1]段垒垒：“试论中国传统数学的起源与功用观念的转变”，天津师范大学研究生学位论文2011年4月第11——13页.
[2]蒋书庆：“从中国古代彩陶花纹看数的起源”，兰州铁道学院学报（社会科学版）第18卷 第4期第9页.
[3]韩祥临：“从中算学谈数的起源与认识”，湖州师专学报1994年第6期第5——7页.
关键词：数的起源;中国古代;历史文献;神话;记数法
一、问题提出
人们对于数的认识，并不是天生就有的。远古时代，人们靠采集和围猎为生。有无猎物或果实，关系到古人的生存，而“有”和“无”的问题，孕育了人类最初的数学思想。对“有”的进一步认识，又产生了另一个数学问题：“多”与“少”，要想知道有多少果实或猎物，就要作个比较，和什么作比较呢？
二、文献综述
在以往的研究中，民族学的方法是一些学者探讨数的起源最常用的一种方法。这是依据当代所谓“原始”部族中的数的观念的有关材料去解释原始人类的数的观念。例如，当代民族学有用手指和脚趾计数的资料。持这种研究方法的学者便认为，原始人类首先是用手指和脚趾来计数的，且一般表现为十进位或者二十进位。这其实已是较后的发展了的数的观念，远非起源阶段的数的观念。
三、研究目的及意义
上述诸种现状，使数的起源问题有继续探讨的必要。这种探讨不应仅仅表现为对数的起源作理性思辩的概貌性描述，也不能仅仅表现为对民族学材料的研究，更不是简单化地进行直观式类比判断，它需要追溯数的起源中的每一个别步骤，看它们是怎样一步一步走到纯悴的数的观念的。而历史从哪里开始，逻辑亦从哪里开始，因此这种起源历史的追溯过程，正是数的起源问题解决的过程。
四、从中国古代文献看数的起源
1.古代传说中的人物与数的起源
1.1伏羲
“伏羲，又作必羲、厄牺（亦称泡牺氏）、伏戏，亦称牺皇、皇羲、包镁，《史记》中称伏牺”，【1】这些名称上古音近，故有不同的写法。伏羲与女蜗在《列子·黄帝》和古代石刻和画像中都是人面蛇身的人物。其实伏羲并非人首蛇身，而是真正的道家的创始人，人首蛇身即是“道”字的原型，用其表示道。伏羲根据天地问阴阳变化之理，创造了八卦，即以八种简单却寓义深刻的符号来概括天地之间的万事万物。
1.2黄帝
“黄帝少典之子，本姓公孙，长居姬水，因改姓姬，居轩辕之丘（在今河南新郑西北），故号轩辕氏，出生、创业和建都于有熊（今河南新郑），故亦称有熊氏，因有土德之瑞，故号黄帝”。【1】黄帝被视为中华民族的始祖。司马迁的《史记》记述中国历史，就从黄帝讲起。古史传说也将数学和科学技术的许多发明创造归功于黄帝或黄帝时代。
1.3大挠造甲子
《世本》所说大挠造甲子是说明应用干支纪日法，即甲子纪日法，乃是以十干和十二支交相组合，而成六十单位。以一个单位（如甲子）代表一日。在两个月内甲子是不重冲的，可以依序排成六行：
甲子，乙丑，丙寅，丁卯，戊辰，己巳，庚午，辛未，壬申，癸酉;
甲戍，乙亥，丙子，丁丑，戊寅，己卯，庚辰，辛巳，壬午，癸未;
甲申，乙酉，丙戌，丁亥，戊子，己丑，庚寅，辛卯，壬辰，癸巳;
甲午，乙未，丙申，丁亥，戊戌，己亥，庚子，辛丑，壬寅，癸卯;
甲辰，乙巳，丙午，丁未，戊申，己酉，庚戌，辛亥，壬子，癸丑;
甲寅，乙卯，丙辰，丁巳，戊午，己未，庚申，辛酉，壬戌，癸亥。
这六行都以甲为开始，所以汉唐称做为“六甲”。
干支纪日在晚殷卜辞，兽骨刻辞和铜器铭文都可以看到。【2】
1.4隶首
传说隶首是黄帝的臣子。《世本》有隶首作数的记载，只是辑本不同而记载稍异。宋衷注曰：“隶首，黄帝史也”。从后世的理解来看，数和算，前者为抽象的概念，后者为计数的工具，两者又互为表里。黄帝时有了抽象程度较高的数的概念，应是可以理解的。隶首作数或作算数的传说，不应理解为后世的算筹卜，而是黄帝时代用竹、木等制成的长条形实物来计数的反映。
2.相关典籍中关于数的起源的记述
《李俨钱宝踪科学史全集》（第一卷）中所收录的钱宝琼的《古算考源》对于计数法进行了详细的描述。从太古结绳开始，到算筹，再到珠算都有介绍。李俨的《中国算学小史》自上古期的太古算学写到黄帝、尧、舜时代，再到周、秦时代和九九都对数学起源进行了简单的概括，只是叙述较为简单。李俨的《中国算学史》中写到上古之初未有文字，先以“结绳”为记。后按时间顺序出现了书契，也就是数字。考证的根据是殷代、周秦及东汉的甲骨文。
2.1绳结记数法
上古之初，未有文字，先以“结绳”为记。结绳既为记事之用，也作记数之用。《周易·系辞下》写到：“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契。”《庄子肤筐篇》写到：“昔者容成氏，大庭氏，伯皇氏，中央氏，栗陆氏，骊畜氏，轩辕氏，赫青氏，尊卢氏，伏羲氏，神农氏，当是时也，民结绳而用之。”“庄子为哲理学家，其所著内容尚待考证，而上古已有结绳之制，则无可疑。日本德川时代的能登、骏河二国，今日的北美土著人，琉球土著人，都有用结绳记数的习惯”，【3】这些足以证明古代文献所叙不虚。
2.2书契记数法
和结绳几乎同时或者稍后的一种记数方法，要算是书契了。书契，就是刻、划，在竹、木、龟甲上留下刻痕，留下“记”号。《释名》一书中说：“契，刻也，刻识其数也。”意思是在某种物件上刻划一些符号，以记数。《经典释文》注《尚书序》说“书者文字;契者刻木而书其侧，故曰书契也。一云以书契约其事也。”郑玄云：“以书书木边言其事，刻其木，谓之书契也”。汉刘熙《释名》卷六说“契，刻也，刻识其数也”“书，庶也，纪庶物也，亦言著也”，都说明书、契有别。《列子》“说符”篇和《墨子》“公孟”篇的故事说明刻木记事、记数以为凭证，在春秋战国时代还有使用的。
2.3筹算记数法
太古结绳而治，而记数方法目前并不十分详细。“有史料称伏羲时造书契以代结绳之政;黄帝使大挠作甲子，隶首作算数。记数之制，大概在黄帝时代始得完备”。中国古代的记数方法，除了结绳、书契外，还有“积算”之法。
算筹的发明就是在结绳、书契这些记数方法的历史发展中逐渐产生的。它最早出现在何时，现在已经不可查考了，《老子》提到：“善计者不用筹策”，因此筹算应该完成于春秋战国时期。
总之，数概念产生之初为结绳、刻木和书契。关于古代记数方法最有实例的是殷代卜辞图形，后来才有了用筹算记数的方法。十进位值制记数法的起源时期倾向于殷代，甲骨文和金文中每到十的倍数就有专门的符号标一记就是最好的例证。珠算应该是从古人筹算中产生而来。
五、结论
大概是7000多年前，我国最早出现“数”的观念，并已掌握了一定的“数量”概念。我国古代最早利用结绳记数，而后又有了书契记数。从西安半坡人时期数学符号的面世，演变到甲骨文数字表示，十进制的位值制记数法发展到商代己形成了完整的体系。
通过研究发现，中国古代数的观念尚有待于外化为固定的符號表达方式，这是数的观念起源历史的最后一步，这最后一步是与文字同步产生的。而由数学史课程知道，数的符号表达的形成期大约在新石器时代末期和文明时代之初的那一段时期。此时，古代人民在创造数的表达符号时，可能会将彩陶纹饰的某些符号形式借来赋予新的意义，表达数的概念。这还有待于进一步的研究。
参考文献：
[1]段垒垒：“试论中国传统数学的起源与功用观念的转变”，天津师范大学研究生学位论文2011年4月第11——13页.
[2]蒋书庆：“从中国古代彩陶花纹看数的起源”，兰州铁道学院学报（社会科学版）第18卷 第4期第9页.
[3]韩祥临：“从中算学谈数的起源与认识”，湖州师专学报1994年第6期第5——7页.