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课堂提问是一门艺术，也是一种有效的教学方式，在数学教学中有着极其重要的作用。在教学中，问题设得好，设得巧，不仅能点燃学生思维的火花，激发学生的求知欲，而且能挖掘学生的创造潜能，促进学生思维力生长。本文以苏科版九年级上册“2.4 圆周角”第一课时的教学过程为例，分享笔者对“如何设计问题，促进学生思维力生长”的一些想法。
一、教学实录
1.情境创设。
问题：足球训练场上教练在球门前画了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图1（1），甲、乙两名运动员分别在C、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置对球门AB的张角大。如果你是教练，请评一评他们两个人，谁的位置对球门AB的张角大。
生1：我觉得点C位置比较正，点D位置比较偏，点C的张角比点D大。
生2：我觉得两个位置对球门AB的张角一样大。
师：又来了一名运动员丙，要想对球门AB的张角与甲、乙一样，你觉得应该站在什么位置？
生3：应该站在圆弧上。（在图1（2）中画出丙的位置点Q。）
师：你能给出这样判断的依据吗？（学生陷入思考，给不出推理依据。）
师：我们通过今天的学习来解决这个问题。
2.提炼概念。
师：观察图1中的∠C、∠D，与我们已经学习的圆心角有什么不同？
生4：顶点在圆心的角是圆心角，而这两个角的顶点在圆上，不在圆心。
师：你能再画两个具有相同特征的角吗？
（生4板演展示图2。）
师：老师这边也画了几个角（图3），你觉得与图1中的∠C、∠D的特征一样吗？
生5：我觉得只有图3（4）中的角和∠C、∠D是一类的，都在圆的里面，而图3（1）中角的顶点不在圆上，图3（2）中角在圆的外面，图3（3）中的角的一部分在圆的外面。
师：你能再完善一下图形的特征吗？
生5：顶点在圆上，边与圆相交。
师：这样的角我们称之为圆周角，你能给圆周角下个定义吗？
生5：顶点在圆上，并且两条边都和圆相交的角叫作圆周角。
（教师板书课题及圆周角定义。）
3.探索性质。
【片段1】
师：画出弧BC所对的圆心角和圆周角，并思考这样的圆心角有多少个，圆周角有多少个。
生6：弧BC所对的圆心角只有一个，圆周角有无数个，看我画的图。（投影展示图4。）
师：弧BC所对的圆周角有无数个，你能为它们分类吗？可以小组交流。
生7：连接BC，构造三角形，以三角形的形状分类，分为钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，比方说：△A1BC是钝角三角形，△A3BC是锐角三角形。
师：哇！你结合了我们对三角形的分类标准，想法非常好。但我还有个问题，这个直角三角形你能在图中画出来吗？
生7：过B点作BC的垂线，交⊙O于点E，连接CE即可。
师：太好了，你对几何图形的联想能力很强。
（突然有一位同学兴奋地举手。）
生8：老师，他的分类虽然行，可是我觉得没有和圆的知识联系起来，所以我想用圆心和圆周角的位置不同来分类，分别是圆心在圆周角的边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部，并且这种分类的图形也比较容易画出来。这就是我画的图形。（投影展示图5。）
师：大家觉得哪种分类标准更符合圆的图形特征呢？
生（众）：第二种。
师：好！我们以圆心与圆周角的位置关系进行分类：圆心在角的边上、角的内部、角的外部。（利用几何画板动态演示。）
师：请大家看看以上两种分类之间有什么联系。希望大家课后思考这个问题！
【片段2】
師：弧BC所对的圆周角有无数个，我们已经将它们进行了分类，你认为我们接下来还要研究什么？
生（众）：这些角的大小关系。
师：你们认为这些圆周角的大小关系是什么。动动手，测一测。
生9：我测量了好几个，发现它们的度数一样，所以我觉得这些圆周角的度数不变。
师：这个发现很好！我们再来看看这些圆周角和弧BC所对的圆心角有什么关系呢。
生10：我经过测量，发现弧BC所对的圆周角等于弧BC所对圆心角的一半。
（教师先把这两个发现写下来，同时借助几何画板分别度量出每个角的度数，肯定学生的这个发现，激发学生验证这一发现的求知欲。）
师：怎么验证我们的发现呢？
生11：我们的发现有两个：1.同弧所对的圆周角相等；2.同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半。这两个发现中只要验证了第二个，那么第一个就自然成立。所以我觉得应该首先来验证同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
师：想法不错！可是一条弧所对的圆周角有无数个，那我们怎么来验证呢？
生12：刚才我们把这无数个圆周角分成了3种情况，可以分情况去证明。
师：你认为应该从哪种情况入手呢？
生12：我觉得先从最特殊的情况证明吧，就是当圆心在圆周角的边上时（如图6（1））。
师：现在大家根据这位同学给出的想法先思考一下。
（给每一名学生思考的时间，等待2分钟后，请学生回答，教师板书。）
生13：在⊙O中，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B。
在△OAB中，
∵∠BOC=∠A+∠B，
∴∠A=[12]∠BOC。
师：其他两种情况如何验证呢？大家可以小组交流一下。 （在学生思考交流的时候，教师到每个小组，捕捉学生的想法或了解学生遇到的难点。其实这两种情况的验证还是有一些难度的，学生一时没有完整的思路也不必着急，可以先从他们已有的想法入手，逐渐深入。）
师：我们在解决从一般到特殊的图形问题时，大家还记得通常的研究方法吗，能类比试试吗？
生14：我接下来想解决圆心在圆周角内部的情况。首先过点A作直径AD（如图7），这样就出现了第一种情况的图形，可以利用第一种情况的结论证明。
可得：∠BAD=[12]∠BOD，∠CAD=[12]∠COD，
从而∠BAD+∠CAD=[12]∠BOD+[12]∠COD
=[12]（∠BOD+∠COD），即∠BAC=[12]∠BOC。
师：这个想法很好，找到了两种情况之间的联系，大家为他鼓掌！第三种情况又怎么解决呢？
生15：我根据刚才第二种情况的解法，过点A作直径AD（如图8），也出现了第一种情况的图形，可得：∠BAD=[12]∠BOD，∠CAD=[12]∠COD，
从而∠BAD-∠CAD=[12]∠BOD-[12]∠COD
=[12]（∠BOD-∠COD），即∠BAC=[12]∠BOC。
师：到这里，我们已经证实了最初的发现，谁来总结一下。
生16：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；同弧所对的圆周角相等。
师：我们回头评一评问题中两个运动员的射门角度大小如何，你的依据是什么？
生17：两个运动员的射门角度∠C、∠D一样大，因为同弧所对的圆周角相等。
二、课后反思
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，激励学生的创造性思维。教师作为组织者、引导者，可以通过设计恰当的问题，激发学生好奇心，促进学生思维力生长。
1. 精心预设课堂问题。
教师在备课时，就要对课堂提问进行预设，在预设问题时，要思考几个方面：（1）从知识内容考虑，如何抓住重点、突破难点。本节课圆周角的定义是一个重点，笔者通过设计一系列问题，引导学生自主探究出圆周角的特征。（2）从学生情况考虑，充分认识学生的认知规律，对学生的学习情况、学习习惯有清晰的判断。如在圆周角定义形成时，学生往往对圆周角的特征理解不深刻，所以笔者添加了一个辨析问题，巩固概念。（3）学生是否具备学习新知识所需的知识与技能或相关的生活经验。如在“圆周角”的教学设计中，为了让学生体会圆周角的定义，笔者创设了一个足球运动员射门训练的情境，这也是学生比较熟悉的一项运动。
2. 灵活处理生成问题。
课堂教学的成功基于课前的精心设计，但课堂的精彩之处往往在于教师引导学生智慧处理教学过程中的生成问题。所以提问不能仅局限于课前设计的问题，学生是一个个鲜活的思维个体，预设不可能将课堂中出现的所有问题都考虑在内，所以教师的预设也要具备一定的弹性，要能接纳和吸收学生在课堂上生成的新问题。如本节课在设计圆周角如何分类时，预设的答案是“以圓心与圆周角的位置”为标准进行分类，而在课堂上有学生给出“以三角形是锐角、直角、钝角三角形”为标准进行分类，这时立刻就生成了一个问题“两种分类之间有什么联系”，把学生的思维引向深入。课堂生成是一种教学资源，是学生全身心投入的表现，是师生、生生对话、碰撞激起的智慧火花。
3.课堂提问巧“留白”。
“留白”一词指书画艺术创作中为使整个作品画面、章法更为协调精美而有意留下相应的空白，留有想象的空间。数学课堂提问“留白”可以增加学生探索的欲望和动力，拓宽学生思维的广度和深度。如在本节课的引入环节，笔者通过“射门”训练，在规定的圆弧上什么位置射门最好，学生只能凭借自己的感觉给出判断，但不能说明判断的理由。学生急切地想知道原因，这时教师乘胜追击：“你们一定很想知道原因，我们就通过今天的学习，一起来寻找答案吧！”有些问题由于时间原因可以问而不答，留给学生更多的思维空间。如在圆周角的分类时，得到两种分类标准之后，提出：“请大家看看，以上两种分类之间有什么联系？希望大家课后思考这个问题！”这样的问题引导学生课后继续探索。
笔者通过“课前设计—教学实践—课后反思”，不断地探索提高学生思维力的方法。但学生思维力生长是一个长期发展的过程，如何根据不同的教学内容和学生的实际情况设计出有效的问题，引领学生思维走向深入，是每一位数学教师需要不断思考的课题。
（作者单位：1南京市天景山中学，2南京市竹山中学）
本文系南京市江宁区初中数学乡村骨干教师培育站研修项目“基于初中生思维力生长的问题导学式课堂教学”的研究成果。
一、教学实录
1.情境创设。
问题：足球训练场上教练在球门前画了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图1（1），甲、乙两名运动员分别在C、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置对球门AB的张角大。如果你是教练，请评一评他们两个人，谁的位置对球门AB的张角大。
生1：我觉得点C位置比较正，点D位置比较偏，点C的张角比点D大。
生2：我觉得两个位置对球门AB的张角一样大。
师：又来了一名运动员丙，要想对球门AB的张角与甲、乙一样，你觉得应该站在什么位置？
生3：应该站在圆弧上。（在图1（2）中画出丙的位置点Q。）
师：你能给出这样判断的依据吗？（学生陷入思考，给不出推理依据。）
师：我们通过今天的学习来解决这个问题。
2.提炼概念。
师：观察图1中的∠C、∠D，与我们已经学习的圆心角有什么不同？
生4：顶点在圆心的角是圆心角，而这两个角的顶点在圆上，不在圆心。
师：你能再画两个具有相同特征的角吗？
（生4板演展示图2。）
师：老师这边也画了几个角（图3），你觉得与图1中的∠C、∠D的特征一样吗？
生5：我觉得只有图3（4）中的角和∠C、∠D是一类的，都在圆的里面，而图3（1）中角的顶点不在圆上，图3（2）中角在圆的外面，图3（3）中的角的一部分在圆的外面。
师：你能再完善一下图形的特征吗？
生5：顶点在圆上，边与圆相交。
师：这样的角我们称之为圆周角，你能给圆周角下个定义吗？
生5：顶点在圆上，并且两条边都和圆相交的角叫作圆周角。
（教师板书课题及圆周角定义。）
3.探索性质。
【片段1】
师：画出弧BC所对的圆心角和圆周角，并思考这样的圆心角有多少个，圆周角有多少个。
生6：弧BC所对的圆心角只有一个，圆周角有无数个，看我画的图。（投影展示图4。）
师：弧BC所对的圆周角有无数个，你能为它们分类吗？可以小组交流。
生7：连接BC，构造三角形，以三角形的形状分类，分为钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，比方说：△A1BC是钝角三角形，△A3BC是锐角三角形。
师：哇！你结合了我们对三角形的分类标准，想法非常好。但我还有个问题，这个直角三角形你能在图中画出来吗？
生7：过B点作BC的垂线，交⊙O于点E，连接CE即可。
师：太好了，你对几何图形的联想能力很强。
（突然有一位同学兴奋地举手。）
生8：老师，他的分类虽然行，可是我觉得没有和圆的知识联系起来，所以我想用圆心和圆周角的位置不同来分类，分别是圆心在圆周角的边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部，并且这种分类的图形也比较容易画出来。这就是我画的图形。（投影展示图5。）
师：大家觉得哪种分类标准更符合圆的图形特征呢？
生（众）：第二种。
师：好！我们以圆心与圆周角的位置关系进行分类：圆心在角的边上、角的内部、角的外部。（利用几何画板动态演示。）
师：请大家看看以上两种分类之间有什么联系。希望大家课后思考这个问题！
【片段2】
師：弧BC所对的圆周角有无数个，我们已经将它们进行了分类，你认为我们接下来还要研究什么？
生（众）：这些角的大小关系。
师：你们认为这些圆周角的大小关系是什么。动动手，测一测。
生9：我测量了好几个，发现它们的度数一样，所以我觉得这些圆周角的度数不变。
师：这个发现很好！我们再来看看这些圆周角和弧BC所对的圆心角有什么关系呢。
生10：我经过测量，发现弧BC所对的圆周角等于弧BC所对圆心角的一半。
（教师先把这两个发现写下来，同时借助几何画板分别度量出每个角的度数，肯定学生的这个发现，激发学生验证这一发现的求知欲。）
师：怎么验证我们的发现呢？
生11：我们的发现有两个：1.同弧所对的圆周角相等；2.同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半。这两个发现中只要验证了第二个，那么第一个就自然成立。所以我觉得应该首先来验证同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
师：想法不错！可是一条弧所对的圆周角有无数个，那我们怎么来验证呢？
生12：刚才我们把这无数个圆周角分成了3种情况，可以分情况去证明。
师：你认为应该从哪种情况入手呢？
生12：我觉得先从最特殊的情况证明吧，就是当圆心在圆周角的边上时（如图6（1））。
师：现在大家根据这位同学给出的想法先思考一下。
（给每一名学生思考的时间，等待2分钟后，请学生回答，教师板书。）
生13：在⊙O中，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B。
在△OAB中，
∵∠BOC=∠A+∠B，
∴∠A=[12]∠BOC。
师：其他两种情况如何验证呢？大家可以小组交流一下。 （在学生思考交流的时候，教师到每个小组，捕捉学生的想法或了解学生遇到的难点。其实这两种情况的验证还是有一些难度的，学生一时没有完整的思路也不必着急，可以先从他们已有的想法入手，逐渐深入。）
师：我们在解决从一般到特殊的图形问题时，大家还记得通常的研究方法吗，能类比试试吗？
生14：我接下来想解决圆心在圆周角内部的情况。首先过点A作直径AD（如图7），这样就出现了第一种情况的图形，可以利用第一种情况的结论证明。
可得：∠BAD=[12]∠BOD，∠CAD=[12]∠COD，
从而∠BAD+∠CAD=[12]∠BOD+[12]∠COD
=[12]（∠BOD+∠COD），即∠BAC=[12]∠BOC。
师：这个想法很好，找到了两种情况之间的联系，大家为他鼓掌！第三种情况又怎么解决呢？
生15：我根据刚才第二种情况的解法，过点A作直径AD（如图8），也出现了第一种情况的图形，可得：∠BAD=[12]∠BOD，∠CAD=[12]∠COD，
从而∠BAD-∠CAD=[12]∠BOD-[12]∠COD
=[12]（∠BOD-∠COD），即∠BAC=[12]∠BOC。
师：到这里，我们已经证实了最初的发现，谁来总结一下。
生16：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；同弧所对的圆周角相等。
师：我们回头评一评问题中两个运动员的射门角度大小如何，你的依据是什么？
生17：两个运动员的射门角度∠C、∠D一样大，因为同弧所对的圆周角相等。
二、课后反思
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，激励学生的创造性思维。教师作为组织者、引导者，可以通过设计恰当的问题，激发学生好奇心，促进学生思维力生长。
1. 精心预设课堂问题。
教师在备课时，就要对课堂提问进行预设，在预设问题时，要思考几个方面：（1）从知识内容考虑，如何抓住重点、突破难点。本节课圆周角的定义是一个重点，笔者通过设计一系列问题，引导学生自主探究出圆周角的特征。（2）从学生情况考虑，充分认识学生的认知规律，对学生的学习情况、学习习惯有清晰的判断。如在圆周角定义形成时，学生往往对圆周角的特征理解不深刻，所以笔者添加了一个辨析问题，巩固概念。（3）学生是否具备学习新知识所需的知识与技能或相关的生活经验。如在“圆周角”的教学设计中，为了让学生体会圆周角的定义，笔者创设了一个足球运动员射门训练的情境，这也是学生比较熟悉的一项运动。
2. 灵活处理生成问题。
课堂教学的成功基于课前的精心设计，但课堂的精彩之处往往在于教师引导学生智慧处理教学过程中的生成问题。所以提问不能仅局限于课前设计的问题，学生是一个个鲜活的思维个体，预设不可能将课堂中出现的所有问题都考虑在内，所以教师的预设也要具备一定的弹性，要能接纳和吸收学生在课堂上生成的新问题。如本节课在设计圆周角如何分类时，预设的答案是“以圓心与圆周角的位置”为标准进行分类，而在课堂上有学生给出“以三角形是锐角、直角、钝角三角形”为标准进行分类，这时立刻就生成了一个问题“两种分类之间有什么联系”，把学生的思维引向深入。课堂生成是一种教学资源，是学生全身心投入的表现，是师生、生生对话、碰撞激起的智慧火花。
3.课堂提问巧“留白”。
“留白”一词指书画艺术创作中为使整个作品画面、章法更为协调精美而有意留下相应的空白，留有想象的空间。数学课堂提问“留白”可以增加学生探索的欲望和动力，拓宽学生思维的广度和深度。如在本节课的引入环节，笔者通过“射门”训练，在规定的圆弧上什么位置射门最好，学生只能凭借自己的感觉给出判断，但不能说明判断的理由。学生急切地想知道原因，这时教师乘胜追击：“你们一定很想知道原因，我们就通过今天的学习，一起来寻找答案吧！”有些问题由于时间原因可以问而不答，留给学生更多的思维空间。如在圆周角的分类时，得到两种分类标准之后，提出：“请大家看看，以上两种分类之间有什么联系？希望大家课后思考这个问题！”这样的问题引导学生课后继续探索。
笔者通过“课前设计—教学实践—课后反思”，不断地探索提高学生思维力的方法。但学生思维力生长是一个长期发展的过程，如何根据不同的教学内容和学生的实际情况设计出有效的问题，引领学生思维走向深入，是每一位数学教师需要不断思考的课题。
（作者单位：1南京市天景山中学，2南京市竹山中学）
本文系南京市江宁区初中数学乡村骨干教师培育站研修项目“基于初中生思维力生长的问题导学式课堂教学”的研究成果。