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摘 要：单位圆是最简单的一类数学建模，也是数形结合最好的典范，在高中数学以及数学高考、数学竞赛中有着极其广泛的应用。
关键词：单位圆
伟大的神学家兼数学家——毕达哥拉斯在生前，总认为自然界的万事万物是可以用数来量度的.虽然穷其一生都没有完成这个心愿，但是这种伟大的哲学思想，却使人类能够更准确地深刻认识事物的本质，以至于在他临死前还坚信：“数是万物之母”.追溯本原，人类从自然界中最早抽象出来的几何实体就是圆，最后缩影显微在单位圆中，用“0”来刻画来量度，并加以认识放大，体现了人类从无知到有知、从野蛮到文明的认识发展过程.所以说“0”既是数也是图形.单位圆中蕴含的无穷无尽的数，正是体现了人类认识自然用简化繁、以一驭万的自信和伟大.
单位圆是最简单的一类数学建模，也是数形结合最好的典
范.我们知道，割圆极限问题，圆周率的计算，推导-α、±α、π±α的诱导公式，作正弦函数图象都应用到了单位圆.当然，单位圆在高中数学以及数学高考、数学竞赛中，还有着许多广泛的应用.下面挂一漏万诸一罗列如下，以飧读者.
一、利用单位圆求点的坐标
在单位圆上，点、坐标与三角函数值之间是一一对应的关系.我们不仅利用单位圆可以求三角函数值，也可以在单位圆上求各点对应的坐标.
例1 点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则点Q的坐标为（ ）.（2004年全国卷，理第2题，文第5题）
（A） （B）
（C） （D）
分析：如图1.由单位圆的知识易得点Q的坐标为
，即故应选（A）.
简评：深刻地体现了点、坐标与函数值之间的一一对应关系.
二、利用单位圆求线段的长度
在学习新知识遇到新问题时能举一反三应用到单位圆，这是好的思维习惯和学习方法，不仅可以达到事半功倍的效果，也是高考考试命题所大力提倡的.
例2 在平面直角坐标系中，已知两点A（cos80°，sin80°），B（cos20°，sin80°），那么则AB长度的值是什么？（2002年北京卷，第2题）
分析：这个题目如果有意识地运用单位圆，把A、B两点看作是单位圆上的点，那么这两个点与坐标原点连接起来得到的∠AOB=80°-20°= 60°.这样△AOB就是一个等边三角形.所以AB的长度就是单位圆的半径，即为1.
简评：清楚地提示了点与线段之间的关系.
三、利用单位圆判断三角函数值的大小关系
利用三角函数的定义、同角三角函数关系式、两角和与差公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等公式定理计算三角函数值，往往会出现步骤繁琐、过程冗长、计算容易出错等问题.如果利用单位圆却可以弥补存在的这些缺陷和错误.同时，还可以培养学生的形象思想和抽象思维.
例3 已知，则下列正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
分析：取，则.，.显然
，所以.故应选（D）.
另解：如图2.∵，角θ的终边与单位圆的交点是P点，则在其终边上另取一点C.易知OA=cosθ，PA=sinθ，BC=tanθ∴BC>OA>PA，即.故应选（D）.
简评：应用单位圆以简驭繁，有“四两拨千斤”之效.
四、利用单位圆证明两个正数的均值不等式
均值不等式在生活中已经有着极其广泛的应用，但是理解均值不等式要在正数这个条件下，却对大多数学生来说是一件十分头痛的事情.倘若借助于单位圆，就可以使学生茅塞顿开，打消学生头脑中存在的这种一知半解的疑虑，并帮助学生发现均值不等式的数学本质.
例4，证明：当，则有
分析：如图3，作CE⊥AB，取AE=a，BE=b，则，
在Rt△ABC中，由射影定理，得
，
∴
又∵OD≥CE，∴≥
簡评：应用单位圆，可以帮助学生发现均值不等式蕴含的数学本质和数学美.
五、利用单位圆证明三角等式
三角等式符号多、解法灵活、一题多解，符合学生的心理特征和认知特点，如果借助单位圆解决三角等式问题，不仅可以激发学生的数学思维和学习兴趣，还可以提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力.
例5 已知：sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b.求证：当b≠0时，tan3A=a/b.
证明：如图4，因三点A（cosA，sinA）、B（cos3A，sin3A）、C（cos5A，sin5A），均在单位圆上，连结OA、OB、OC，则有∠AOB=∠BOC=2A，于是BA=BC，△ABC为等腰三角形，其重心必在BO上.又△ABC的重心坐标为
故tan3A=a/b.
简评：数学建模是学习数学的关键，而构造单位圆有利于学生数学建模能力的培养.
六、利用单位圆巧解IMO和数学竞赛试题
IMO和数学竞赛试题难度大、知识容量丰富，用常规解法不易求解，
很难奏效.如果把握住其宗旨是重在培养创新思想、创新意识，那么打破思维常规，另辟蹊径，可能会“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”.
例6 证明：.（1996年第12届前苏联数学竞赛题）
分析：本题若用三角方法来证明，则很难奏效.倘若借助单位圆，利用面积公式，便可得证.
在如图5的单位圆中，不妨取，有
例7（1989年IMO第2题）设为实数，且
.
试证：
分析：只须证明 即证：
设A（cosx，sinx），B（cosy，siny），C（cosz，sinz）为单位圆上的三点，则分别过A、B、C作x轴、y轴的垂线得到如图6中的3个矩形，若设其面积分别为s1、s2、s3，（1）左端就是s1、s2、
s3之和，显然，这就证得了结论.
简评：两例解法简捷、直观，沟通了数学知识的相互联系，有利于开拓学生的解题思路，有利于提高学生分析问题、解决问题的能力，从而增强了学生的创新意识和创新思想.
七、利用单位圆解决简谐振动应用题
简谐振动是最简单的一类机械振动，其图象是一条正弦曲线.也就是说简谐振动的数学模型是单位圆，规律正是正弦型函数在物理机械运动学中的具体运用.在数学问题中，单位圆是最简单的一类数学模型，而建立数学模型是学习中学数学的关键，也是解决实际问题的有效手段.如果巧妙地将实际问题转化为单位圆这个数学模型，可能使复杂问题简单化，从而揭开自然界的神秘面纱，有助于提高学生学习数学的信心和原动力.
例8 发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线的电流强度分别是时间t的函数.，求
解：在直角坐标平面内，容易得
三点均在单位圆上.又因为
故A、B、C三
点是一个正三角形的三个顶点，所以的重心G与外心O（坐标原点）重合，而重心G的纵坐标是：
简评：物理问题数学化，打破了学科领域的禁区，使思维变得明朗化.
八、利用单位圆求最值
单纯从集合、函数、方程、不等式、三角、解几、立几等方向来解决数学问题也可能使问题变得复杂，导致思维僵化，走进了死胡同.但是利用单位圆，换一个角度重新思考数学问题，可能会出现“柳暗花明又一村”的不可臆想效果.
例9 求使不等式（a>0，y>0）恒成立的a的最小值.
分析：此不等式可以转化为
通过拆项，借助于换元法和数形结合，在单位圆中，便发现了一个特殊的隐含条件：
简评：真可谓“他山之石可以攻玉”.
九、利用单位圆解决解析几何问题
通过解析几何的办法来判断直线与圆的位置关系复杂、繁琐，过程又冗长，不利于解决实际问题.如果借助于单位圆巧妙地将一个复杂的代数问题，转化为比較简单的几何问题引刃而解，这不能不说是单位圆的桥梁媒介作用，也显示出了数形结合思想的强大数学魅力.
例10 设点P（x0，y0）位于单位圆x2+y2=1的外部，则直线x0x+y0y=1与此圆的位置关系是（ ）
（A）相离 （B）相切 （C）相交 （D）不能确定
分析：如图7.点P（x0，y0）是单位圆外部的一点，则直线x0x+y0y=1是过点P且以OP为半径的圆上的一条切线，显然与单位圆x2+y2=1的位置关系是相离.
点评：利用单位圆，再借助于数形结合的思想，判断直线与圆的位置关系准确、速度快、不易出错 .
十、利用单位圆证明两角和与差的余弦公式
证明两角和与差的余弦公式，虽然证明方法多，但都是在单位圆中解决的.为此，借助于向量的知识，来管窥单位圆在数学中的地位与作用.
例11 证明公式：
分析：如图8.在单位圆中作向量OA、OB，与x轴正向的夹角分别是α、β，则点A的坐标是（cosα，sinα），点B的坐标是（cosβ，sinβ），则有
又，则等式成立.
当然，由α+β=α-（-β）代入两角差的余弦公式，便可推导出两角和的余弦公式：
COS（α+β）=COSαCOSβ - SinαSinβ.
简评：单位圆与向量的结合是一种新的思想方法，打破了学生的常规思维习惯，形成了新的探索途径，容易激发学生的学习兴趣和创新意识，使学生积极参与到课堂教学中来，体验在互动学习中的快乐和乐趣.
参考文献
[1]程光宇.利用单位圆解三角函数题[J].中学数学杂志，2010（3）.
[2]王冬岩.高中生对用单位圆定义三角函数的理解的调查[J].中学数学月刊，2014（4）.
[3]肖如松、李庆社.“单位圆与三角函数线”在教学中的几点应用[J]..中学数学，2010（1），10-12.
[4]王国江、彭家麒、任升录.高中数学探究与创新性问题[M].上海：华东理工大学出版社，2014，4.
（作者单位：浙江省义乌市国际商贸学校）
关键词：单位圆
伟大的神学家兼数学家——毕达哥拉斯在生前，总认为自然界的万事万物是可以用数来量度的.虽然穷其一生都没有完成这个心愿，但是这种伟大的哲学思想，却使人类能够更准确地深刻认识事物的本质，以至于在他临死前还坚信：“数是万物之母”.追溯本原，人类从自然界中最早抽象出来的几何实体就是圆，最后缩影显微在单位圆中，用“0”来刻画来量度，并加以认识放大，体现了人类从无知到有知、从野蛮到文明的认识发展过程.所以说“0”既是数也是图形.单位圆中蕴含的无穷无尽的数，正是体现了人类认识自然用简化繁、以一驭万的自信和伟大.
单位圆是最简单的一类数学建模，也是数形结合最好的典
范.我们知道，割圆极限问题，圆周率的计算，推导-α、±α、π±α的诱导公式，作正弦函数图象都应用到了单位圆.当然，单位圆在高中数学以及数学高考、数学竞赛中，还有着许多广泛的应用.下面挂一漏万诸一罗列如下，以飧读者.
一、利用单位圆求点的坐标
在单位圆上，点、坐标与三角函数值之间是一一对应的关系.我们不仅利用单位圆可以求三角函数值，也可以在单位圆上求各点对应的坐标.
例1 点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则点Q的坐标为（ ）.（2004年全国卷，理第2题，文第5题）
（A） （B）
（C） （D）
分析：如图1.由单位圆的知识易得点Q的坐标为
，即故应选（A）.
简评：深刻地体现了点、坐标与函数值之间的一一对应关系.
二、利用单位圆求线段的长度
在学习新知识遇到新问题时能举一反三应用到单位圆，这是好的思维习惯和学习方法，不仅可以达到事半功倍的效果，也是高考考试命题所大力提倡的.
例2 在平面直角坐标系中，已知两点A（cos80°，sin80°），B（cos20°，sin80°），那么则AB长度的值是什么？（2002年北京卷，第2题）
分析：这个题目如果有意识地运用单位圆，把A、B两点看作是单位圆上的点，那么这两个点与坐标原点连接起来得到的∠AOB=80°-20°= 60°.这样△AOB就是一个等边三角形.所以AB的长度就是单位圆的半径，即为1.
简评：清楚地提示了点与线段之间的关系.
三、利用单位圆判断三角函数值的大小关系
利用三角函数的定义、同角三角函数关系式、两角和与差公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等公式定理计算三角函数值，往往会出现步骤繁琐、过程冗长、计算容易出错等问题.如果利用单位圆却可以弥补存在的这些缺陷和错误.同时，还可以培养学生的形象思想和抽象思维.
例3 已知，则下列正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
分析：取，则.，.显然
，所以.故应选（D）.
另解：如图2.∵，角θ的终边与单位圆的交点是P点，则在其终边上另取一点C.易知OA=cosθ，PA=sinθ，BC=tanθ∴BC>OA>PA，即.故应选（D）.
简评：应用单位圆以简驭繁，有“四两拨千斤”之效.
四、利用单位圆证明两个正数的均值不等式
均值不等式在生活中已经有着极其广泛的应用，但是理解均值不等式要在正数这个条件下，却对大多数学生来说是一件十分头痛的事情.倘若借助于单位圆，就可以使学生茅塞顿开，打消学生头脑中存在的这种一知半解的疑虑，并帮助学生发现均值不等式的数学本质.
例4，证明：当，则有
分析：如图3，作CE⊥AB，取AE=a，BE=b，则，
在Rt△ABC中，由射影定理，得
，
∴
又∵OD≥CE，∴≥
簡评：应用单位圆，可以帮助学生发现均值不等式蕴含的数学本质和数学美.
五、利用单位圆证明三角等式
三角等式符号多、解法灵活、一题多解，符合学生的心理特征和认知特点，如果借助单位圆解决三角等式问题，不仅可以激发学生的数学思维和学习兴趣，还可以提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力.
例5 已知：sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b.求证：当b≠0时，tan3A=a/b.
证明：如图4，因三点A（cosA，sinA）、B（cos3A，sin3A）、C（cos5A，sin5A），均在单位圆上，连结OA、OB、OC，则有∠AOB=∠BOC=2A，于是BA=BC，△ABC为等腰三角形，其重心必在BO上.又△ABC的重心坐标为
故tan3A=a/b.
简评：数学建模是学习数学的关键，而构造单位圆有利于学生数学建模能力的培养.
六、利用单位圆巧解IMO和数学竞赛试题
IMO和数学竞赛试题难度大、知识容量丰富，用常规解法不易求解，
很难奏效.如果把握住其宗旨是重在培养创新思想、创新意识，那么打破思维常规，另辟蹊径，可能会“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”.
例6 证明：.（1996年第12届前苏联数学竞赛题）
分析：本题若用三角方法来证明，则很难奏效.倘若借助单位圆，利用面积公式，便可得证.
在如图5的单位圆中，不妨取，有
例7（1989年IMO第2题）设为实数，且
.
试证：
分析：只须证明 即证：
设A（cosx，sinx），B（cosy，siny），C（cosz，sinz）为单位圆上的三点，则分别过A、B、C作x轴、y轴的垂线得到如图6中的3个矩形，若设其面积分别为s1、s2、s3，（1）左端就是s1、s2、
s3之和，显然，这就证得了结论.
简评：两例解法简捷、直观，沟通了数学知识的相互联系，有利于开拓学生的解题思路，有利于提高学生分析问题、解决问题的能力，从而增强了学生的创新意识和创新思想.
七、利用单位圆解决简谐振动应用题
简谐振动是最简单的一类机械振动，其图象是一条正弦曲线.也就是说简谐振动的数学模型是单位圆，规律正是正弦型函数在物理机械运动学中的具体运用.在数学问题中，单位圆是最简单的一类数学模型，而建立数学模型是学习中学数学的关键，也是解决实际问题的有效手段.如果巧妙地将实际问题转化为单位圆这个数学模型，可能使复杂问题简单化，从而揭开自然界的神秘面纱，有助于提高学生学习数学的信心和原动力.
例8 发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线的电流强度分别是时间t的函数.，求
解：在直角坐标平面内，容易得
三点均在单位圆上.又因为
故A、B、C三
点是一个正三角形的三个顶点，所以的重心G与外心O（坐标原点）重合，而重心G的纵坐标是：
简评：物理问题数学化，打破了学科领域的禁区，使思维变得明朗化.
八、利用单位圆求最值
单纯从集合、函数、方程、不等式、三角、解几、立几等方向来解决数学问题也可能使问题变得复杂，导致思维僵化，走进了死胡同.但是利用单位圆，换一个角度重新思考数学问题，可能会出现“柳暗花明又一村”的不可臆想效果.
例9 求使不等式（a>0，y>0）恒成立的a的最小值.
分析：此不等式可以转化为
通过拆项，借助于换元法和数形结合，在单位圆中，便发现了一个特殊的隐含条件：
简评：真可谓“他山之石可以攻玉”.
九、利用单位圆解决解析几何问题
通过解析几何的办法来判断直线与圆的位置关系复杂、繁琐，过程又冗长，不利于解决实际问题.如果借助于单位圆巧妙地将一个复杂的代数问题，转化为比較简单的几何问题引刃而解，这不能不说是单位圆的桥梁媒介作用，也显示出了数形结合思想的强大数学魅力.
例10 设点P（x0，y0）位于单位圆x2+y2=1的外部，则直线x0x+y0y=1与此圆的位置关系是（ ）
（A）相离 （B）相切 （C）相交 （D）不能确定
分析：如图7.点P（x0，y0）是单位圆外部的一点，则直线x0x+y0y=1是过点P且以OP为半径的圆上的一条切线，显然与单位圆x2+y2=1的位置关系是相离.
点评：利用单位圆，再借助于数形结合的思想，判断直线与圆的位置关系准确、速度快、不易出错 .
十、利用单位圆证明两角和与差的余弦公式
证明两角和与差的余弦公式，虽然证明方法多，但都是在单位圆中解决的.为此，借助于向量的知识，来管窥单位圆在数学中的地位与作用.
例11 证明公式：
分析：如图8.在单位圆中作向量OA、OB，与x轴正向的夹角分别是α、β，则点A的坐标是（cosα，sinα），点B的坐标是（cosβ，sinβ），则有
又，则等式成立.
当然，由α+β=α-（-β）代入两角差的余弦公式，便可推导出两角和的余弦公式：
COS（α+β）=COSαCOSβ - SinαSinβ.
简评：单位圆与向量的结合是一种新的思想方法，打破了学生的常规思维习惯，形成了新的探索途径，容易激发学生的学习兴趣和创新意识，使学生积极参与到课堂教学中来，体验在互动学习中的快乐和乐趣.
参考文献
[1]程光宇.利用单位圆解三角函数题[J].中学数学杂志，2010（3）.
[2]王冬岩.高中生对用单位圆定义三角函数的理解的调查[J].中学数学月刊，2014（4）.
[3]肖如松、李庆社.“单位圆与三角函数线”在教学中的几点应用[J]..中学数学，2010（1），10-12.
[4]王国江、彭家麒、任升录.高中数学探究与创新性问题[M].上海：华东理工大学出版社，2014，4.
（作者单位：浙江省义乌市国际商贸学校）