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作为一种学习活动,数学学习是学生在教师指导下,根据教学计划获取数学知识、技能和能力,发展个性品质的过程。数学学习除具有一般学习的特点外,还呈现以下明显特点:需要提高抽象概括思维水平;需要发展逻辑推理能力;需要必要的解题练习。数学学习是一个极其复杂的过程,从不同的角度和不同的观点出发,就会得出不同的结论。有学者认为,学习理论大致可以分为三类:学习是刺激—反应之间联结的加强(行为主义);学习是指认知结构的改变(认知学派);学习是自我概念的变化(人本主义)。这些解释尽管存在偏颇,但他们从不同的角度揭示了学习的实质,为我们研究数学学习提供了不同的视角。基于对学习本质的现代意义的理解和数学学习基本特点的把握,笔者认为数学学习应体现以下几个本质特征。
■一、数学模型建构是数学学习的基础
从认知学派的视角来看,发展性教学论认为学习不是一个被动吸收、反复练习和强化记忆的过程,而是一个以学生原有的知识经验为基础,通过个体与环境相互作用主动建构的过程。麦克莱恩认为,数学研究现实世界和人类经验各方面的各种形式模型的构造。强调数学涉及大量各种各样的模型,同一个经验事实可以用多种方法在数学中被模型化。因此,数学学习的直接对象是数学模型,数学学习是数学模型建构的过程。正如新课程标准所说,数学学习是从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并且进行解释与应用的过程。
数学源于生活,寓于生活,用于生活,同时数学又把现实世界中这些量的关系、量的变化、空间形式等问题抽象为数学模型,并以符号化的形式表示出来,数学符号(数学模型)是抽象的结晶与基础。因此,数学学习是一种符号化的数学知识与生活实践经验相互结合的学习,即是对数学符号的学习。
在生活实际中,学生已经遇到过不少与数学有关的实践问题,积累了一些与数学有关的生活经验,形成了一些概念和观点。虽然这些概念或观点往往是非正规的、不系统的,甚至是非常模糊的,但是对他们正式学习数学都奠定了必要的基础。所以,学生头脑中的数学往往与成人的理解不完全相同。对他们说来,数学是自己对生活中数学现象的解读或升华。因此可以说,学生数学学习的过程也就是在他们原有的认知结构的基础上建构数学模型的过程。他们必须循序渐进,从小的、简单的数学模型学起,如每个数学概念、表达式、公式、函数、方程式、不等式、几何图形和定理,都是较小的数学模型,然后逐步掌握较大的数学模型。大的模型并不是一些小的模型的简单拼凑和堆砌,而是一种整合。若干小模型总是被整合到一个更大更复杂的模型中,在小模型之间增加了更多的关系和联系,使得这些小模型比原来更充实、更完善。例如,方程、不等式与函数的关联就是一个极富说服力的例子。
■二、提出问题与解决问题是数学学习的主题
从数学哲学的视角来看,数学是人类创造和发明的一个不断扩展的领域,是一个调查、了解和不断充实知识的过程。数学不是一种既定的结果,数学的结论是不断修正的,具有很大的开放性。数学是由问题构成的,数学的发展是不断提出问题与解决问题的过程。因此,在学习数学时,学生总是表现为不断地从实际中提出数学问题、分析问题、建立模型直到解决问题。数学学习要从学生生活实际引入问题,揭示数学问题产生的背景,阐述问题的发生、发展过程。例如,在学习定理“凸多面角所有面角之和小于360°”时,可提出这样的生活问题:伞的骨架构成一个多面角,当伞慢慢撑开时,相邻骨架之间的面角有什么变化?面角之和有什么变化?伞完全撑开时,所有面角之和是多少?解决这些问题就能深信定理的正确性。
笔者认为,数学学习源于问题,问题是新课程的新意所在。数学的工具性与思维训练在问题解决中得到统一。问题有利于个性的发展,有利于主动的思考,有利于学生情感和态度的形成和发展。提出问题是解决问题的前提,提出问题和解决问题相互促进。创新存在于提出问题、解决问题的过程之中。
■三、发展数学能力是数学学习的灵魂
从数学本质认识的视角来看,数学是一门演绎科学,也是一门归纳科学,同时具有广泛应用性。尽管人们对什么是数学能力没有完全统一的定义,但我们可以认为:演绎、归纳、应用是数学能力的核心。概要地说,演绎是由一般到特殊的推理,主要功能在于验证结论;归纳是一种从特殊到范围更广的推理,就方法而言,包括枚举法、归纳法、类比法、统计推理、因果分析以及观察实验、比较分类、综合分析等,借助归纳推理可以帮助学生培养预测结果和探究的能力;应用是要求学生把数学知识运用到具体行动之中。
数学学习不仅包括了数学知识、技能的学习,更重要的它还包括了完成上述内容的数学思想方法的学习。对数学知识、技能的学习一般经历这样的学习过程:在大量案例(物理的、几何的、专业的)的基础上归纳出数学概念,经过几何化、数值化、代数化推演出定理,再通过大量的实例说明定理的应用。在提出问题、形成相关概念、探究解决问题的策略和方法时主要是以归纳为主,而在整理结论、表述问题解答过程以及进行技能训练时则以演绎为主。
就数学思想方法的学习而言,数学的基本思想主要是指演绎和归纳,这应当是整个数学教学的主线,是最上位的思想。如化归思想,在探索化归的方向、发现问题的结论、寻找解决问题的途径时,主要运用的是归纳;在链接“中间问题”、整理和表述化归结果时,则需要运用演绎,而且化归的主要策略——一般化与特殊化本身就是归纳和演绎的具体体现。因此,归纳、演绎、应用是数学能力的核心,是数学学习的灵魂。
■四、再创造是数学学习的精髓
弗赖登塔尔认为,从数学学习方法来看,数学的根源在于普通的常識,数学实质上是人们常识的系统化,因而每个学生都有可能在一定的指导下,通过自己的实践活动来获得这些知识。在此基础上,他提出了再创造的学习方法,即在一定的指导下,由学生本人去发现或创造出要学的东西来。
怎样理解再创造呢?其一,数学并非对真实事件或现象作直接的研究,它是高度抽象的,学生要用一切办法使这些抽象的道理“具体化”,从而经过消化吸收,纳入自己的知识体系中去,也就是进行独立的建构。这本身就是一种创造性的活动。其二,学生这种再创造,是创造人类已知而他们自己未知的东西,总结出数学知识和经验。他们根据自己的经验,对学习新知识所提供的各种信息进行分解和重组,用自己理解的方式来建构知识,就要自己去经历这一学习过程。这个过程往往与人类曾经探索的过程相仿,但又不是简单地重复人类经过的漫长认识历史。正像玻利亚所说的那样,要“经历人类探索的关键步子”,从而可以弄清知识的来龙去脉,通过自己所经历的学习过程得到体验,获得发展。因此可以得出一个道理,学生的再创造是需要有人作必要的引导或指导的,不能把自主变成自流,否则,无法提高学生数学学习的有效性。
例如,在教平行四边形的概念时,应当让学生通过自己的实践活动,整理对边平行、对角相等、邻角互补、对角线互相平分等平行四边形的性质,并使之成为推理关系,以得出平行四边形的一个定义,这就是数学学习的再创造过程。
弗赖登塔尔反复强调,学习数学的唯一正确的方法是实行再创造。再创造是数学学习的精髓。今天的再创造可以促成明天真正的创造,可见,它有利于培养学生的创新意识和创造能力。
综上所述,如果从多视角认识数学学习,数学学习在本质上具有一个个个别特征:从认知学派的视角,数学学习是数学模型建构的过程;从数学哲学的视角,数学学习是不断提出问题与解决问题的过程;从数学本质认识的视角,数学学习是发展数学能力的过程;从数学学习方法的视角,数学学习是一个再创造的过程。数学模型建构、提出问题与解决问题、发展数学能力、再创造这四个方面各具功能、各有侧重,而又相互联系,是一个密切相关的有机统一的整体。数学模型建构依赖于提出问题与解决问题,提出问题与解决问题依赖于发展数学能力,其转化过程就是再创造。因此说,数学模型建构是基础,提出问题与解决问题是主题,发展数学能力是灵魂,再创造是数学学习的精髓。只有符合上述本质特征,数学学习才能取得成效。(作者单位:江西师范大学鹰潭学院)■
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□责任编辑 邓园生
E-mail: jxjydys@126.com
■一、数学模型建构是数学学习的基础
从认知学派的视角来看,发展性教学论认为学习不是一个被动吸收、反复练习和强化记忆的过程,而是一个以学生原有的知识经验为基础,通过个体与环境相互作用主动建构的过程。麦克莱恩认为,数学研究现实世界和人类经验各方面的各种形式模型的构造。强调数学涉及大量各种各样的模型,同一个经验事实可以用多种方法在数学中被模型化。因此,数学学习的直接对象是数学模型,数学学习是数学模型建构的过程。正如新课程标准所说,数学学习是从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并且进行解释与应用的过程。
数学源于生活,寓于生活,用于生活,同时数学又把现实世界中这些量的关系、量的变化、空间形式等问题抽象为数学模型,并以符号化的形式表示出来,数学符号(数学模型)是抽象的结晶与基础。因此,数学学习是一种符号化的数学知识与生活实践经验相互结合的学习,即是对数学符号的学习。
在生活实际中,学生已经遇到过不少与数学有关的实践问题,积累了一些与数学有关的生活经验,形成了一些概念和观点。虽然这些概念或观点往往是非正规的、不系统的,甚至是非常模糊的,但是对他们正式学习数学都奠定了必要的基础。所以,学生头脑中的数学往往与成人的理解不完全相同。对他们说来,数学是自己对生活中数学现象的解读或升华。因此可以说,学生数学学习的过程也就是在他们原有的认知结构的基础上建构数学模型的过程。他们必须循序渐进,从小的、简单的数学模型学起,如每个数学概念、表达式、公式、函数、方程式、不等式、几何图形和定理,都是较小的数学模型,然后逐步掌握较大的数学模型。大的模型并不是一些小的模型的简单拼凑和堆砌,而是一种整合。若干小模型总是被整合到一个更大更复杂的模型中,在小模型之间增加了更多的关系和联系,使得这些小模型比原来更充实、更完善。例如,方程、不等式与函数的关联就是一个极富说服力的例子。
■二、提出问题与解决问题是数学学习的主题
从数学哲学的视角来看,数学是人类创造和发明的一个不断扩展的领域,是一个调查、了解和不断充实知识的过程。数学不是一种既定的结果,数学的结论是不断修正的,具有很大的开放性。数学是由问题构成的,数学的发展是不断提出问题与解决问题的过程。因此,在学习数学时,学生总是表现为不断地从实际中提出数学问题、分析问题、建立模型直到解决问题。数学学习要从学生生活实际引入问题,揭示数学问题产生的背景,阐述问题的发生、发展过程。例如,在学习定理“凸多面角所有面角之和小于360°”时,可提出这样的生活问题:伞的骨架构成一个多面角,当伞慢慢撑开时,相邻骨架之间的面角有什么变化?面角之和有什么变化?伞完全撑开时,所有面角之和是多少?解决这些问题就能深信定理的正确性。
笔者认为,数学学习源于问题,问题是新课程的新意所在。数学的工具性与思维训练在问题解决中得到统一。问题有利于个性的发展,有利于主动的思考,有利于学生情感和态度的形成和发展。提出问题是解决问题的前提,提出问题和解决问题相互促进。创新存在于提出问题、解决问题的过程之中。
■三、发展数学能力是数学学习的灵魂
从数学本质认识的视角来看,数学是一门演绎科学,也是一门归纳科学,同时具有广泛应用性。尽管人们对什么是数学能力没有完全统一的定义,但我们可以认为:演绎、归纳、应用是数学能力的核心。概要地说,演绎是由一般到特殊的推理,主要功能在于验证结论;归纳是一种从特殊到范围更广的推理,就方法而言,包括枚举法、归纳法、类比法、统计推理、因果分析以及观察实验、比较分类、综合分析等,借助归纳推理可以帮助学生培养预测结果和探究的能力;应用是要求学生把数学知识运用到具体行动之中。
数学学习不仅包括了数学知识、技能的学习,更重要的它还包括了完成上述内容的数学思想方法的学习。对数学知识、技能的学习一般经历这样的学习过程:在大量案例(物理的、几何的、专业的)的基础上归纳出数学概念,经过几何化、数值化、代数化推演出定理,再通过大量的实例说明定理的应用。在提出问题、形成相关概念、探究解决问题的策略和方法时主要是以归纳为主,而在整理结论、表述问题解答过程以及进行技能训练时则以演绎为主。
就数学思想方法的学习而言,数学的基本思想主要是指演绎和归纳,这应当是整个数学教学的主线,是最上位的思想。如化归思想,在探索化归的方向、发现问题的结论、寻找解决问题的途径时,主要运用的是归纳;在链接“中间问题”、整理和表述化归结果时,则需要运用演绎,而且化归的主要策略——一般化与特殊化本身就是归纳和演绎的具体体现。因此,归纳、演绎、应用是数学能力的核心,是数学学习的灵魂。
■四、再创造是数学学习的精髓
弗赖登塔尔认为,从数学学习方法来看,数学的根源在于普通的常識,数学实质上是人们常识的系统化,因而每个学生都有可能在一定的指导下,通过自己的实践活动来获得这些知识。在此基础上,他提出了再创造的学习方法,即在一定的指导下,由学生本人去发现或创造出要学的东西来。
怎样理解再创造呢?其一,数学并非对真实事件或现象作直接的研究,它是高度抽象的,学生要用一切办法使这些抽象的道理“具体化”,从而经过消化吸收,纳入自己的知识体系中去,也就是进行独立的建构。这本身就是一种创造性的活动。其二,学生这种再创造,是创造人类已知而他们自己未知的东西,总结出数学知识和经验。他们根据自己的经验,对学习新知识所提供的各种信息进行分解和重组,用自己理解的方式来建构知识,就要自己去经历这一学习过程。这个过程往往与人类曾经探索的过程相仿,但又不是简单地重复人类经过的漫长认识历史。正像玻利亚所说的那样,要“经历人类探索的关键步子”,从而可以弄清知识的来龙去脉,通过自己所经历的学习过程得到体验,获得发展。因此可以得出一个道理,学生的再创造是需要有人作必要的引导或指导的,不能把自主变成自流,否则,无法提高学生数学学习的有效性。
例如,在教平行四边形的概念时,应当让学生通过自己的实践活动,整理对边平行、对角相等、邻角互补、对角线互相平分等平行四边形的性质,并使之成为推理关系,以得出平行四边形的一个定义,这就是数学学习的再创造过程。
弗赖登塔尔反复强调,学习数学的唯一正确的方法是实行再创造。再创造是数学学习的精髓。今天的再创造可以促成明天真正的创造,可见,它有利于培养学生的创新意识和创造能力。
综上所述,如果从多视角认识数学学习,数学学习在本质上具有一个个个别特征:从认知学派的视角,数学学习是数学模型建构的过程;从数学哲学的视角,数学学习是不断提出问题与解决问题的过程;从数学本质认识的视角,数学学习是发展数学能力的过程;从数学学习方法的视角,数学学习是一个再创造的过程。数学模型建构、提出问题与解决问题、发展数学能力、再创造这四个方面各具功能、各有侧重,而又相互联系,是一个密切相关的有机统一的整体。数学模型建构依赖于提出问题与解决问题,提出问题与解决问题依赖于发展数学能力,其转化过程就是再创造。因此说,数学模型建构是基础,提出问题与解决问题是主题,发展数学能力是灵魂,再创造是数学学习的精髓。只有符合上述本质特征,数学学习才能取得成效。(作者单位:江西师范大学鹰潭学院)■
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□责任编辑 邓园生
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