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摘 要：“分数与除法”一课旨在让学生发现分数与除法的联系，理解分数的“商”的定义，从而进一步掌握分数的意义。但学生还是难以理解从“一个整体”平均分这一分数概念。笔者以“分数与除法”磨课一疑谈起，从前测入手改进教学到再次教学，探究借助留痕策略进行有效教学的方法，让学生更好地明白分数所表示的意义。
关键词：留痕策略;数学课堂;教学思考
一、教材分析
“分数与除法”一课是“分数的意义和性质”单元中的第二课时内容，通过教学，让学生感受到分数的数学来源：计算时往往不能正好得到整数的结果，常用分数表示。认识分数与除法的统一点：对一个整体进行的平均分。把“分数与除法”这一课安排在“分数的意义”这一节课的后面，是通过安排分数的产生、分数的意义、分数与除法的关系这三个层次的教学，使学生更完整地建立起分数的概念。
教材通过两个实例，由计算■和■概括出分数与除法的关系。重点从加深和扩展对分数意义的理解，发展到还可表示两个数相除（除数不为0）的商，揭示分数另一方面的意义。这样就让学生很好地理清了分数的两种身份：既可表示分率（关系），也可以表示具体的数量。表示分率时可以通过运算得到，也可以通过平均分得到，表示量时可以通过度量得到，也可以通过计算得到，使学生对分数形成一个更清晰而完整的认识。
二、第一次试教及教学反思
基于这样的教材分析，笔者对“分数与除法”一课进行了第一次尝试教学。
（一）教学片段展示
片段一：探究“把3个饼平均分给4人，每人分得多少个？”
学生列出算式，说出答案是■个。
教师追问：你是怎么想的？（学生说不清）
师：四人小组利用桌面上的学具合作来折一折、剪一剪、分一分，亲自动手操作验证。
出示温馨提示：
1. 想一想：你们打算怎么分？
2. 分一分：看看每人分得多少个？
3. 说一说：小组内交流你们的想法。
（学生汇报，集体探究。）
生1：一个一个分，把1个饼平均分成4份，3个饼平均分成12份，每人可分得3份，就是■。
生2：不对，一个一个分，把1个饼平均分成4份，每人得到■个，3个饼就有3个■，是■个。
生3：把3个饼叠在一起分，平均分成4份，共分成12份，每人分得3份就是■。
看似热闹有效的操作，学生却得出一个错误的“■”，而且一再说“共分成了12份”。笔者思考，这是因为学生在剪开后，不管是一个一个剪还是三个一起剪，他们都是直观地看到了把3个饼平均分成了12份这个结果，很难看着自己剪开的结果并说出自己思考的过程。剪开后，学生更容易看到的是操作后的结果：把3个饼平均分成了12块。所以学生在操作中分不清到底是把1个饼看作单位1，还是把3个饼看作单位1，进入了课堂操作的误区，顾此失彼，这样的探究实际上是低效的，阻碍了学生思维的发展。
片段二：课件演示分饼过程，进行学法的指导。
师：刚才几个小组为我们展示了两种不同的分法，我们一起来看看。第一种方法：一个一个分，把每个饼平均分成4份，每1份就是1个饼的■，每人可分得3个■个饼，就是■个;第2种方法：把3个饼叠在一起，平均分成4份，每人分得其中的1份，每份占这三个饼的■，就是■个。
面对学生的困惑，教师及时组织了课件进行演示，尽管课件动态演示一个个推进，但是还是有一部分的学生还是处在懵懂状态，难以理解。而且动态画面一晃而过，学生难留下印象。所以在跟进练习，描述把3个饼平均分给5个人，每人分得多少个时，学生总是很难把两种分法表述清楚，教学效果欠佳。
（二）教学反思
课后对学生进行了后测评估：把5米长的绳子平均分成7段，每段是这条绳子的■，每段长是■米。发现有64.2%的学生填成“每段是这条绳子的■”。学生量率难以区分，出错率较高，只能用除法模仿求出5÷7=■，并不明白这■米其实就是把5米看做单位1平均分成7份，表示的是5米的■。
那么，能不能让学生不剪，直接让学生画出来？还是剪、画一起上更合理？学生到底认知起点在哪里？于是，对另一个班学生进行了前测分析。
把3个饼平均分给4个人，每人分得多少个？请把你的想法详细地写下来，你可以画图，可以列式，也可以文字描述。
反馈如下：
结果发现，这道题学生基本都能画图表征，部分学生还是能用“平均分”的方法，感悟到每人可以分到这样的3个小份。但是要把这三个小份再次合并成一个圆的■，也就是说要得出■个这个结果，对于学生来说还是有点困难的。
五年级的学生正处于具象思维过渡到抽象思维的阶段。对于处在这阶段的学生，教师应当采用多种学习方式帮助他們进行思考，应当顺应儿童的视角，采用多元的表征方式，以图形、文字、符号等多种数学语言为桥梁。而留痕则让他们有足够时间和空间去观察、推理和验证。通过留痕，学生不仅能看到“原来的‘1’，现在的每份”，整个分的过程也能被清晰呈现，而且还能看到同伴是怎么想的，又是怎么做的，进而使数学思考过程清晰可见、条理分明，从而提高课堂探究的成效。
三、第二次试教及其教学策略
笔者改进了教学策略，进行了第二次试教。
（一）同桌合作，剪、画同步表征
1. 探究步骤
（1）想一想：你们打算怎么分？
（2）通过分一分、画一画等方式，研究每人分得多少个？
（3）与其他小组交流你们的想法。
2. 反馈交流
为学生准备了剪的圆片和画的探究单两种材料，可以任选其中的一种进行操作，给学生广阔的空间，更利于学生的自主探究，从全班收集的探究单来看，有将近一半的学生选择了画一画来探究，有一小部分学生是既剪又画，只有15个学生选择剪一剪来分。学生选择画出分饼的过程，让图形作为桥梁，架起学生具象思维和抽象思维之间的联系，有利于学生把自己的想法有条理地表述出来，通过多个学生对■的质疑分析，让学生对分得的结果——3份就是3个■个合起来就是■个有了一个清晰正确的认识，发展了学生的思维。同时，在相互的辨析交流中，学生形成了一个正确的认知：一个一个分，或是3个一起分，都是把这些饼平均分成4份，每份都是这些饼的■，3份就是■。
（二）手动演示，留痕深刻思维
在学生展示分饼过程后，教师适时小结。
变课件演示为手动演示分饼过程，引领深化，形成正确认知。在学生分饼或画饼过程展示完后，还有部分学生处于懵懂的状态，似懂非懂，这时急需教师进行知识引领。而教师的手动演示更能带动学生更多的视觉、听觉感官的参与，特别是在第二种分法中，3个饼的■也就是■个，这里有一个分率与具体量之间的转化过程，让学生看得更清晰，唤醒学生的再现性思维，并且板贴在黑板上，让学生印象深刻。这样的留痕，成了学生数学思维生长的推进器，帮助学生更好地理清思维的过程，更容易理解数学新知识，提升思维的深刻性。
（三）文字记录，充分落实意义
1. 文字记录（与教师演示同步进行）。
2. 联想：如果把3个饼平均分给5人，每人分得多少个？
把两种分饼的过程用文字记录呈现，有利于学生知识的再构建。在教师演示完后，用简短的文字记录两种分饼的过程，引导学生用准确简炼的语言来回顾重现，充分落实了分数的两种意义。同时也给学生一个支架，在学生讲述“如果把3个饼平均分给5人，每人分得多少个？”时，都能借文字来表述，效果明显。既加深了学生对分数意义的理解，又有助于培养学生的抽象概括能力。
本节课经历了直观操作→画图表征→演示深化→文字内化这些过程，学生对分数的两种意义有了深刻的感悟。从意义展开，让学生明白3个饼的■是3个■个是■个，它们的本质是一样的，然后用意义结束，让学生感受“把一个具体量平均分成若干份，表示这样一份的量也是分数”。沿着这条主线，得到了分数与除法的关系，并用符号表征，建立数学模型，水到渠成。同时也把这节课的教学研究拓展到6÷6=■，7÷6=■以及（ ）÷6=■，为学习真分数、假分数等知识奠定了良好的基础。
由此可见，留痕策略能让教师更好地了解学生、读懂学生，基于学情，让教学设计的方向更准确，让学生的探究活动更有效，让课堂教学更厚实丰满，进而提升学生思维的深刻性。
关键词：留痕策略;数学课堂;教学思考
一、教材分析
“分数与除法”一课是“分数的意义和性质”单元中的第二课时内容，通过教学，让学生感受到分数的数学来源：计算时往往不能正好得到整数的结果，常用分数表示。认识分数与除法的统一点：对一个整体进行的平均分。把“分数与除法”这一课安排在“分数的意义”这一节课的后面，是通过安排分数的产生、分数的意义、分数与除法的关系这三个层次的教学，使学生更完整地建立起分数的概念。
教材通过两个实例，由计算■和■概括出分数与除法的关系。重点从加深和扩展对分数意义的理解，发展到还可表示两个数相除（除数不为0）的商，揭示分数另一方面的意义。这样就让学生很好地理清了分数的两种身份：既可表示分率（关系），也可以表示具体的数量。表示分率时可以通过运算得到，也可以通过平均分得到，表示量时可以通过度量得到，也可以通过计算得到，使学生对分数形成一个更清晰而完整的认识。
二、第一次试教及教学反思
基于这样的教材分析，笔者对“分数与除法”一课进行了第一次尝试教学。
（一）教学片段展示
片段一：探究“把3个饼平均分给4人，每人分得多少个？”
学生列出算式，说出答案是■个。
教师追问：你是怎么想的？（学生说不清）
师：四人小组利用桌面上的学具合作来折一折、剪一剪、分一分，亲自动手操作验证。
出示温馨提示：
1. 想一想：你们打算怎么分？
2. 分一分：看看每人分得多少个？
3. 说一说：小组内交流你们的想法。
（学生汇报，集体探究。）
生1：一个一个分，把1个饼平均分成4份，3个饼平均分成12份，每人可分得3份，就是■。
生2：不对，一个一个分，把1个饼平均分成4份，每人得到■个，3个饼就有3个■，是■个。
生3：把3个饼叠在一起分，平均分成4份，共分成12份，每人分得3份就是■。
看似热闹有效的操作，学生却得出一个错误的“■”，而且一再说“共分成了12份”。笔者思考，这是因为学生在剪开后，不管是一个一个剪还是三个一起剪，他们都是直观地看到了把3个饼平均分成了12份这个结果，很难看着自己剪开的结果并说出自己思考的过程。剪开后，学生更容易看到的是操作后的结果：把3个饼平均分成了12块。所以学生在操作中分不清到底是把1个饼看作单位1，还是把3个饼看作单位1，进入了课堂操作的误区，顾此失彼，这样的探究实际上是低效的，阻碍了学生思维的发展。
片段二：课件演示分饼过程，进行学法的指导。
师：刚才几个小组为我们展示了两种不同的分法，我们一起来看看。第一种方法：一个一个分，把每个饼平均分成4份，每1份就是1个饼的■，每人可分得3个■个饼，就是■个;第2种方法：把3个饼叠在一起，平均分成4份，每人分得其中的1份，每份占这三个饼的■，就是■个。
面对学生的困惑，教师及时组织了课件进行演示，尽管课件动态演示一个个推进，但是还是有一部分的学生还是处在懵懂状态，难以理解。而且动态画面一晃而过，学生难留下印象。所以在跟进练习，描述把3个饼平均分给5个人，每人分得多少个时，学生总是很难把两种分法表述清楚，教学效果欠佳。
（二）教学反思
课后对学生进行了后测评估：把5米长的绳子平均分成7段，每段是这条绳子的■，每段长是■米。发现有64.2%的学生填成“每段是这条绳子的■”。学生量率难以区分，出错率较高，只能用除法模仿求出5÷7=■，并不明白这■米其实就是把5米看做单位1平均分成7份，表示的是5米的■。
那么，能不能让学生不剪，直接让学生画出来？还是剪、画一起上更合理？学生到底认知起点在哪里？于是，对另一个班学生进行了前测分析。
把3个饼平均分给4个人，每人分得多少个？请把你的想法详细地写下来，你可以画图，可以列式，也可以文字描述。
反馈如下：
结果发现，这道题学生基本都能画图表征，部分学生还是能用“平均分”的方法，感悟到每人可以分到这样的3个小份。但是要把这三个小份再次合并成一个圆的■，也就是说要得出■个这个结果，对于学生来说还是有点困难的。
五年级的学生正处于具象思维过渡到抽象思维的阶段。对于处在这阶段的学生，教师应当采用多种学习方式帮助他們进行思考，应当顺应儿童的视角，采用多元的表征方式，以图形、文字、符号等多种数学语言为桥梁。而留痕则让他们有足够时间和空间去观察、推理和验证。通过留痕，学生不仅能看到“原来的‘1’，现在的每份”，整个分的过程也能被清晰呈现，而且还能看到同伴是怎么想的，又是怎么做的，进而使数学思考过程清晰可见、条理分明，从而提高课堂探究的成效。
三、第二次试教及其教学策略
笔者改进了教学策略，进行了第二次试教。
（一）同桌合作，剪、画同步表征
1. 探究步骤
（1）想一想：你们打算怎么分？
（2）通过分一分、画一画等方式，研究每人分得多少个？
（3）与其他小组交流你们的想法。
2. 反馈交流
为学生准备了剪的圆片和画的探究单两种材料，可以任选其中的一种进行操作，给学生广阔的空间，更利于学生的自主探究，从全班收集的探究单来看，有将近一半的学生选择了画一画来探究，有一小部分学生是既剪又画，只有15个学生选择剪一剪来分。学生选择画出分饼的过程，让图形作为桥梁，架起学生具象思维和抽象思维之间的联系，有利于学生把自己的想法有条理地表述出来，通过多个学生对■的质疑分析，让学生对分得的结果——3份就是3个■个合起来就是■个有了一个清晰正确的认识，发展了学生的思维。同时，在相互的辨析交流中，学生形成了一个正确的认知：一个一个分，或是3个一起分，都是把这些饼平均分成4份，每份都是这些饼的■，3份就是■。
（二）手动演示，留痕深刻思维
在学生展示分饼过程后，教师适时小结。
变课件演示为手动演示分饼过程，引领深化，形成正确认知。在学生分饼或画饼过程展示完后，还有部分学生处于懵懂的状态，似懂非懂，这时急需教师进行知识引领。而教师的手动演示更能带动学生更多的视觉、听觉感官的参与，特别是在第二种分法中，3个饼的■也就是■个，这里有一个分率与具体量之间的转化过程，让学生看得更清晰，唤醒学生的再现性思维，并且板贴在黑板上，让学生印象深刻。这样的留痕，成了学生数学思维生长的推进器，帮助学生更好地理清思维的过程，更容易理解数学新知识，提升思维的深刻性。
（三）文字记录，充分落实意义
1. 文字记录（与教师演示同步进行）。
2. 联想：如果把3个饼平均分给5人，每人分得多少个？
把两种分饼的过程用文字记录呈现，有利于学生知识的再构建。在教师演示完后，用简短的文字记录两种分饼的过程，引导学生用准确简炼的语言来回顾重现，充分落实了分数的两种意义。同时也给学生一个支架，在学生讲述“如果把3个饼平均分给5人，每人分得多少个？”时，都能借文字来表述，效果明显。既加深了学生对分数意义的理解，又有助于培养学生的抽象概括能力。
本节课经历了直观操作→画图表征→演示深化→文字内化这些过程，学生对分数的两种意义有了深刻的感悟。从意义展开，让学生明白3个饼的■是3个■个是■个，它们的本质是一样的，然后用意义结束，让学生感受“把一个具体量平均分成若干份，表示这样一份的量也是分数”。沿着这条主线，得到了分数与除法的关系，并用符号表征，建立数学模型，水到渠成。同时也把这节课的教学研究拓展到6÷6=■，7÷6=■以及（ ）÷6=■，为学习真分数、假分数等知识奠定了良好的基础。
由此可见，留痕策略能让教师更好地了解学生、读懂学生，基于学情，让教学设计的方向更准确，让学生的探究活动更有效，让课堂教学更厚实丰满，进而提升学生思维的深刻性。