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摘要:根据新课程标准的理念,在新课程的教学中应力求让学生对数学知识进行探究,这样做具有更强的问题性、实践性、参与性和开放性,通过探究过程以获得情感体验、知识构建、掌握问题解决的方法。
关键词:新课改 课内 探究 认识
一般探究分为课内和课外两种形式,但由于受中学课堂教学客观条件的限制,更可行的是课内探究。课内探究侧重于对教科书的内容的思考与探究、解题方法的反思。它可以对所学内容的本质、变式及其拓展形式开展探究,以达到透彻理解所学知识、优化学生思维品质、灵活运用知识的目的,同时也是提高学生教学探究能力的有效方法之一。因此,我们应该在教学过程中结合所学知识努力做好课内探究。本文就结合本人教学过程中的实际情况谈几点认识与思考。
一、定义与概念的教学探究
定义与概念是数学的精髓与灵魂,是对数学现象的高度抽象与概括。只有理解概念,才能正确运用概念。但在教学实际中常发现部分学生对数学概念死记硬背、理解不到位,所以在知识应用过程中,出现很多问题。因此,在学习一个新概念时,有必要对数学概念的形成过程和本质进行探究,养成对每一个定义概念进行深刻理解的良好习惯,这样有助于对数学概念和知识的深层次认识。
案例1:新课程《人教版数学A》模块一第15~16页“函数的概念”。函数是中学数学的核心概念之一,高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终,函数学习在高中数学学习中具有奠基地位。对函数这一概念的真正理解、掌握和运用是需要有一个过程的。如:为什么初中学了函数现在还要学习函数?为什么要明确函数的构成要素?为什么要用集合对应的语言来定义函数?为什么要引进函数记号?说到函数时,你想到了什么?看到函数记号你又想到些什么?能回答好这些问题,必须有一个多次接触,反复体会,螺旋上升,逐步加深认识和理解的过程。为此,我设计了如下七个问题让学生进行探究:
问题1:在初中我们是如何认识函数这个概念的?
问题2:在上述例子中,是否确定了函数关系?为什么?
问题3:如何用集合的观点来理解函数的概念?
问题4:如何用集合的语言来阐述上面3个例子中的共同特点?
问题5:如何用集合的观点来表述函数的概念?
问题6:初中的函数定义和今天的定义有什么区别?
问题7:你认为对一个函数来说,最重要的是什么?为什么?
在学生思维的“最近发展区”内提问题,也就是在知识形成过程的“关键点”上提问,通过教师的引领作用让学生主动地去探究,进而构建出函数的概念。
二、性质结论与定理的教学探究
高中数学中的公式、定理及其性质结论是高中数学知识的重要组成部分,它是数学解题的依据和工具,必须让学生了解它们产生的背景、证明方法、结构形式、使用范围及其挖掘性的拓展。
案例2:新课程《人教版数学A》模块四第37~42页研究了正弦函数和余弦函数的性质,其中在学习正弦函数图像的对称性时可做如下探究:
1.直观探索——利用多媒体绘图功能进行探索
在同一坐标系中画出正弦曲线和直线x=■的图象,在直线x=■两侧正弦函数值有什么变化规律?
给学生一定的时间操作、观察、归纳、交流,最后得出猜想:当自变量在x=■左右对称取值时,正弦函数值相等。
2.数值检验——利用计算机的计算功能进行探索
由计算机计算结果,初步检验了猜想,并可以把猜想用等式sin(■-x)=sin(■+x)(x ∈R)表示。
思考:点P (■-x,y)和P′(■+x,y)在平面直角坐标系中有怎样的位置关系?
根据画图结果,可以看出,点P(■-x,y)和P′(■+x,y)关于直线x=■对称。这样,便得出正弦曲线关于直线x=■对称,可以用等式sin(■-x)=sin(■+x)(x∈R)表示。
3.严格证明——证明等式对任意 R恒成立
我们从几何直观获得启发,又通过数据计算进一步检验,得出正弦曲线关于直线x=■对称可以用等式sin(■-x)=sin(■+x)(x∈R)表示,最后对这一等式的严格证明,证实了我们猜想的正确性。上述等式与诱导公式sin(π-x)=sinx (x∈R)的等价性,使我们对这一诱导公式有了新的理解。
4.抽象概括——探索正弦曲线的其他对称轴
问题1:正弦曲线还有其他对称轴吗?有多少条对称轴?其数学表达式是什么?通过探究可以发现,经过图象最大值点和最小值点且垂直于 轴的直线都是正弦曲线的对称轴。
问题2:能用等式表示“正弦曲线关于直线x=■+kπ(k∈Z)对称”吗?
根据前面的研究,上述对称可以用等式sin(■+kπ-x)=sin(■+kπ+x)(k∈Z,x∈R)表示。
问题3:对于函数y=sin(2x+■)怎样求它的对称轴?
对于正弦曲线中心对称性的探究可以和上面的方法一样。
通过以上的探究,使学生清楚的认识了正弦函数的对称性。事实上,在课本的习题中就有这样的探究题,这说明课内进行上述探究与新课程的意图是一样的。
三、例习题的探究教学
教材中的例习题对数学问题的解决起着示范启迪的作用。将例习题设计成探究问题进行课堂教学,对学生的做法进行归类分析,从单一的求解过程提升到类型问题的思考方法和步骤,可以帮助学生巩固学生所学的知识,从而发挥例习题的问题探究效能。
案例3:新课程《人教版数学A》模块五第45页给出了一个探究和一个例题及例题的分析解答过程,对于等差数列的前n项和进行了进一步的研究。
探究:一般地,如果一个数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r其中p,q,r为常数,且p≠0,那么这个数列一定使等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?
通过对等差数列的前n项和公式的探究,师生一起得到等差数列的前n项和公式可以写成Sn=■n2+(a1+■)n或者Sn=pn2+qn(p,q为常数),进而很轻松地解决这个问题,同时也为下面例题的解决提供了思路。
案例4:已知等差数列5,4■,3■,…的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值。
教材上利用Sn=■n2+(a1+■)n的结构特征,运用函数思想转化为求二次函数的最大值问题。但如果只是着眼于例题的结果就失去了这个例题的探究价值,也就没有吃透新课程编排例题的本意,因为在此例的左侧有这样的问句:从等差数列的通项公式出发来分析这道例题,是否有解决方案?所以在教学过程中,我引导学生做了以下探究:
问题1:这个数列的首项和公差是什么?单调性如何?
问题2:随着项数的增加,它的和有什么变化?
问题3:这个等差数列的前几项是非负的?从第几项开始是负的?怎样来确定?
问题4:要使得这个等差数列的前n项最大,只要前面的哪些项相加?
问题5:如果这个等差数列改为:-5,-4■,-3■,…你能解决类似的题目吗?
问题6:分别就用通项公式和前n项和公式解决类似问题,那种更简洁?
通过对以上几个简单问题的探究,学生对此类问题的解决方法理解得就比较清楚了。
从上面几个方面可以看出课内探究的必要性,所以在我们的教学过程中要不断地思考如何更好地进行课内探究,如何通过课内探究提高教学效果,以期更好地与新课程理念相吻合。
关键词:新课改 课内 探究 认识
一般探究分为课内和课外两种形式,但由于受中学课堂教学客观条件的限制,更可行的是课内探究。课内探究侧重于对教科书的内容的思考与探究、解题方法的反思。它可以对所学内容的本质、变式及其拓展形式开展探究,以达到透彻理解所学知识、优化学生思维品质、灵活运用知识的目的,同时也是提高学生教学探究能力的有效方法之一。因此,我们应该在教学过程中结合所学知识努力做好课内探究。本文就结合本人教学过程中的实际情况谈几点认识与思考。
一、定义与概念的教学探究
定义与概念是数学的精髓与灵魂,是对数学现象的高度抽象与概括。只有理解概念,才能正确运用概念。但在教学实际中常发现部分学生对数学概念死记硬背、理解不到位,所以在知识应用过程中,出现很多问题。因此,在学习一个新概念时,有必要对数学概念的形成过程和本质进行探究,养成对每一个定义概念进行深刻理解的良好习惯,这样有助于对数学概念和知识的深层次认识。
案例1:新课程《人教版数学A》模块一第15~16页“函数的概念”。函数是中学数学的核心概念之一,高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终,函数学习在高中数学学习中具有奠基地位。对函数这一概念的真正理解、掌握和运用是需要有一个过程的。如:为什么初中学了函数现在还要学习函数?为什么要明确函数的构成要素?为什么要用集合对应的语言来定义函数?为什么要引进函数记号?说到函数时,你想到了什么?看到函数记号你又想到些什么?能回答好这些问题,必须有一个多次接触,反复体会,螺旋上升,逐步加深认识和理解的过程。为此,我设计了如下七个问题让学生进行探究:
问题1:在初中我们是如何认识函数这个概念的?
问题2:在上述例子中,是否确定了函数关系?为什么?
问题3:如何用集合的观点来理解函数的概念?
问题4:如何用集合的语言来阐述上面3个例子中的共同特点?
问题5:如何用集合的观点来表述函数的概念?
问题6:初中的函数定义和今天的定义有什么区别?
问题7:你认为对一个函数来说,最重要的是什么?为什么?
在学生思维的“最近发展区”内提问题,也就是在知识形成过程的“关键点”上提问,通过教师的引领作用让学生主动地去探究,进而构建出函数的概念。
二、性质结论与定理的教学探究
高中数学中的公式、定理及其性质结论是高中数学知识的重要组成部分,它是数学解题的依据和工具,必须让学生了解它们产生的背景、证明方法、结构形式、使用范围及其挖掘性的拓展。
案例2:新课程《人教版数学A》模块四第37~42页研究了正弦函数和余弦函数的性质,其中在学习正弦函数图像的对称性时可做如下探究:
1.直观探索——利用多媒体绘图功能进行探索
在同一坐标系中画出正弦曲线和直线x=■的图象,在直线x=■两侧正弦函数值有什么变化规律?
给学生一定的时间操作、观察、归纳、交流,最后得出猜想:当自变量在x=■左右对称取值时,正弦函数值相等。
2.数值检验——利用计算机的计算功能进行探索
由计算机计算结果,初步检验了猜想,并可以把猜想用等式sin(■-x)=sin(■+x)(x ∈R)表示。
思考:点P (■-x,y)和P′(■+x,y)在平面直角坐标系中有怎样的位置关系?
根据画图结果,可以看出,点P(■-x,y)和P′(■+x,y)关于直线x=■对称。这样,便得出正弦曲线关于直线x=■对称,可以用等式sin(■-x)=sin(■+x)(x∈R)表示。
3.严格证明——证明等式对任意 R恒成立
我们从几何直观获得启发,又通过数据计算进一步检验,得出正弦曲线关于直线x=■对称可以用等式sin(■-x)=sin(■+x)(x∈R)表示,最后对这一等式的严格证明,证实了我们猜想的正确性。上述等式与诱导公式sin(π-x)=sinx (x∈R)的等价性,使我们对这一诱导公式有了新的理解。
4.抽象概括——探索正弦曲线的其他对称轴
问题1:正弦曲线还有其他对称轴吗?有多少条对称轴?其数学表达式是什么?通过探究可以发现,经过图象最大值点和最小值点且垂直于 轴的直线都是正弦曲线的对称轴。
问题2:能用等式表示“正弦曲线关于直线x=■+kπ(k∈Z)对称”吗?
根据前面的研究,上述对称可以用等式sin(■+kπ-x)=sin(■+kπ+x)(k∈Z,x∈R)表示。
问题3:对于函数y=sin(2x+■)怎样求它的对称轴?
对于正弦曲线中心对称性的探究可以和上面的方法一样。
通过以上的探究,使学生清楚的认识了正弦函数的对称性。事实上,在课本的习题中就有这样的探究题,这说明课内进行上述探究与新课程的意图是一样的。
三、例习题的探究教学
教材中的例习题对数学问题的解决起着示范启迪的作用。将例习题设计成探究问题进行课堂教学,对学生的做法进行归类分析,从单一的求解过程提升到类型问题的思考方法和步骤,可以帮助学生巩固学生所学的知识,从而发挥例习题的问题探究效能。
案例3:新课程《人教版数学A》模块五第45页给出了一个探究和一个例题及例题的分析解答过程,对于等差数列的前n项和进行了进一步的研究。
探究:一般地,如果一个数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r其中p,q,r为常数,且p≠0,那么这个数列一定使等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?
通过对等差数列的前n项和公式的探究,师生一起得到等差数列的前n项和公式可以写成Sn=■n2+(a1+■)n或者Sn=pn2+qn(p,q为常数),进而很轻松地解决这个问题,同时也为下面例题的解决提供了思路。
案例4:已知等差数列5,4■,3■,…的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值。
教材上利用Sn=■n2+(a1+■)n的结构特征,运用函数思想转化为求二次函数的最大值问题。但如果只是着眼于例题的结果就失去了这个例题的探究价值,也就没有吃透新课程编排例题的本意,因为在此例的左侧有这样的问句:从等差数列的通项公式出发来分析这道例题,是否有解决方案?所以在教学过程中,我引导学生做了以下探究:
问题1:这个数列的首项和公差是什么?单调性如何?
问题2:随着项数的增加,它的和有什么变化?
问题3:这个等差数列的前几项是非负的?从第几项开始是负的?怎样来确定?
问题4:要使得这个等差数列的前n项最大,只要前面的哪些项相加?
问题5:如果这个等差数列改为:-5,-4■,-3■,…你能解决类似的题目吗?
问题6:分别就用通项公式和前n项和公式解决类似问题,那种更简洁?
通过对以上几个简单问题的探究,学生对此类问题的解决方法理解得就比较清楚了。
从上面几个方面可以看出课内探究的必要性,所以在我们的教学过程中要不断地思考如何更好地进行课内探究,如何通过课内探究提高教学效果,以期更好地与新课程理念相吻合。