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【摘要】空间解析几何探究性学习是以学生探究为基本特征的一种教学活动形式，对于培养中国当代各族大学生特别是创造能力有重要意义。本文讨论了“空间解析几何”课程探究性学习的必要性、学习模式和实施步骤，最后举例阐述 “空间解析几何”课程探究性学习过程。
【关键词】空间解析几何;探究性学习
An study on “Space analytic geometry”exploratory learning method
Aniwar
【Abstract】“Space analytic geometry ”Research-style learning, taking student-inquiry as essential feature, is a form of teaching activity,which be of great importance to cultivate contemporary college students creativity. The paper discuss the necessity of Exploratory learning,learing model and implementation step,illustrate how to crarry out Research-style learning with examples.
【Key words】space analytic geometry; exploratory study
1. 引言
高等学校是人才的基地，是知识的殿堂，以人文精神的塑造为核心任务。当代大学生不仅要学社会专业知识，还应该具有较高的人文精神，有高尚的思想情操和历史使命感与社会责任心。如何培养大学生的创新精神和实践能力，仍然是摆在我们前面的一个重要课题。针对这个问题，结合“空间解析几何”课程，笔者在课堂教学中对采用探究式学习方式进行了初步尝试。
随着高校教学改革的不断深入，考试改革、课程改革、教材改革已取得了显著的成效，教学模式的改革逐渐得到重视和发展，许多教育工作者开始提倡自主学习、探究性学习等相应的学习方式。探究性学习与研究性学习都是由英文“Inquiry Learning”翻译而来的。在英文中，Inquiry的主要意思是：⑴询问、打听。⑵调查、探究。美国国家科学教育标准提出：科学探究指的是科学家们用以研究自然界并对基于此种研究获得的证据提出种种解释的多种不同的途径；科学研究也指的是学生用以获取知识、领悟科学的思想观念、领悟科学家们研究自然界所用的方法而进行的各种活动。2001年7月教育部出版的全日制义务教育各科《课程标准》里，着重强调了“探究性学习”的方法。现在 “探究性学习”已从原来的科学学科推广到各个学科的教学，从原来的高中和大学扩展到现在的小学基础教育，“探究性学习”已经成为一种新的教学模式，是教学改革的新理念，它的出现标志着我国的教育已从继承性学习转向到创新性学习，大大促进了学生学习方式和教师教学方式的改革。
探究性学习是指以培养学生创新精神和实践能力为宗旨，在教师的启发引导下，以学生独立学习和合作研究为前提，以现行教材为基本探究内容，以学生四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供表达、质疑、讨论问题的机会，让学生通过个人或小组集体等多种解难、释疑、尝试等活动，将自己所学的知识应用于解决实际问题的一种学习形式。探究性学习特别注重开发学生智力、发展学生的创造思维、培养自学能力、力图通过自我探究让学生学会学习，掌握解决问题方法。探究性学习是一种全方位的学习，它既有课堂探究，也可以进行课外实践活动的探究。
2. 选择进行“空间解析几何”探究性学习的必要性
2.1 探究性学习是空间解析几何课堂教学改革后的理想方式。课堂教学改革的目的是打破传统教学束缚 ，如尊重学生主体地位，发挥学生主体作用，实现主体发展教育，这些提出已久，为广大教师熟悉。课堂教学选用探究式能使“空间解析几何”教学质量大大提高，实现教学模式的转变，减少教师在课堂上的讲授时间，彻底扭转学生被动的局面，调动学生参与教学的积极性，发挥学生自主探究的能动性，真正让学生自主学习，使课堂教学焕发生机。
2.2 课堂教学选用探究方式能促进教师教学能力的提高。教师是教学的导师，基本任务是调动学生的积极性，让学生自己去获取知识，提高能力，做到自己发现问题，提出问题，分析问题，解决问题。不是被动地记忆理解教师传授的知识，而是敏锐地发现问题，主动提出问题，积极地找出解决问题的办法，探究出结论。在探究性学习中，教师将成为学生学习的促进者、组织者和指导者。因此，在教学中教师为学生设置探究情景，建立探究氛围，促进探究发展。学生作为探究学习的主人，自然是根据教师提供的条件，明确探究目标开展学习。这样教师就能在实践探究中学习，就能在实践探究中提高，改变“自我中心”，实现“自我发展”。
2.3 探究性学习方式能培养学生的创新精神和实践能力。探究性学习是以学生探究为基本特征的一种教学活动形式。创新有层次之分，并不是真正意义上的创造发明，大学教育主要是为学生成为创新人才打好基础，做好准备。在教学中，只要我们的学生有了与课本不同的观点、不同的解决问题的方法和思路，我们教师都应该认为这就是“创新”。教师应及时地鼓励学生，从而培养学生的这种创新精神和创新意识。
2.4 探究式学习方式能给学生的发展以最大的独立思索空间。探究活动是一个理智的过程，这一过程应当向所有观点开放，每一个学生都能自由地发表自己的见解，不管一些见解有多么荒谬，只要是通过学生思考所得，都应该得到老师的鼓励。我校是北疆的唯一的一所高等学府，肩负着为边疆地区培养哈萨克族、维吾尔族等少数民族中小学教师的重要任务。哈萨克族是我国55个少数民族之一，是我国周边地区跨国而居的少数民族，也是我国北方地区著名游牧民族之一。主要以大分散、小聚居的形式分布在新疆北部伊犁的哈萨克自治州的伊犁、塔城、阿勒泰三个地区，以及新疆东部的木垒哈萨克自治县、巴里坤哈萨克自治县及甘肃省阿克塞哈萨克自治县和青海省海西蒙古族、藏族自治州。哈萨克民族、维吾尔民族作为传统的民族，在其生活中都可以找到有关空间解析几何概念的模型与“命题”。比如说哈萨克族的毡房是柱面与锥面的组合而成，哈萨克族的马鞍是双曲抛物面的实际模型,等等。所以笔者认为在民族地区的空间解析几何教学中，可以生活常识为背景，启发学生进行探索，这种教学方法的效果比传统的教学更有说服力。
2.5 随着科学技术的突飞猛进，知识经济的出现，高等教育已经从精英教育走向大众化教育，而我们所处的学校小数民族学生的薄弱知识基础导致了他们学习的主动性和自觉性较低，学习方法单一。下表1是近几年我校数学系学生的入学成绩。
表1
这就更需要我们更新教学模式，彻底摒弃传统的“知识为本，教师为主”的理念，改变“教师讲，学生听”这一既定程序，逐步转变学生在中学应试教育培养下所养成的学习习惯，同时也给我们进行探索式教学与学习模式研究提供了用武之地。
2.6 空间解析几何这门课程的特点决定了探索式教学的可行性。空间解析几何是用代数的方法来研究几何，从而把几何问题的讨论，从定性的研究推进到可以计算的定量的层面。把代数的方法引入到几何中来，这就必须把空间的几何结构代数化，这也是空间解析几何的基础。空间解析几何作为中学几何的继续和提高，在大学数学课程学习上起着承前启后的重要作用。该课程的概念繁多，环环相扣，内容抽象，不易理解，而且整个课程体系运用的是所谓的公理化的研究方法，即把数学对象归类，从不同质的具体事务或过程中抽取共同的量的关系，作为量基本的公理、性质，再从这里出发，采取统一的观点与方法，进行演绎推理等，从而研究和揭示其新的性质与结论。由于这门课程的特点，给探索式教学和学习提供了大量用武的地方。由于概念多，就更要搞清楚来龙去脉，搞清楚由来，搞清楚对以日后学习所起的作用，进行查阅、探究来理解弄懂，让学生真正在教师的指导下，把学习积极性、主动性充分调动起来，完成“空间解析几何”的学习且打好以后学习的基础。
3. “空间解析几何”课程探究性学习模式
根据课程特点和学习内容，可把“空间解析几何”课程探究性学习分为以下三种类型：
(1)实践型。数学来源于生活，现实生活中处处有数学，学生既可以从课堂中学，也可以从生活实践中学，生活中的数学可以激发学生的兴趣，营造生动活泼的课堂气氛。数学产生于生产，然而随着数学的发展，它的抽象性越来越高，容易使学生产生一种畏惧感。他们认为数学高不可攀，从而丧失学习数学的信心和勇气，也就自然而然失去了对数学的兴趣。教师在教学过程中，要多从学生的生活实际寻找数学的源泉，让学生体会到数学无处不在。如果把数学知识与学生的生活实际有机结合起来，就能更有效地促进学生向自主探索、独立学习的方向发展。
(2)讨论型。讨论交流可以使学生取长补短，学会相互交流与合作，使每一个学生的思维过程外显出来，在观点的冲突、反思、评判过程中逐步形成对问题的基本认识，增进学生间的相互了解，培养合作意识和协调能力。
(3)文献型。针对“空间解析几何”课本的知识点设计不同的探究性课题，提升学生的自主创新能力，在课堂上未能进行充分探究的问题，教师可以引导学生课后进一步探究。教师要引导学生进一步探究的方法和获取有效信息的途径并为学生提供与探究主题相关的背景材料。学生则通过进一步学习教材、动手实验、图书阅览、网上查询等手段来获取材料，通过对资料的学习、分析、处理、达到理解并掌握知识的目的。
4. 实施步骤
探究性学习的过程是多层面的活动，“空间解析几何”课程探究性学习的实施主要包括提出问题、分析问题、解决问题三个环节。
(1)提出问题。
亚里士多德曾说过：“人的思想是从疑问开始的”。问题是学生探究学习的开始，也是整个探究活动的方向和目的，没有问题的提出，探究学习根本无从谈起。探究性学习强调培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，让学生解决身边与科学内容有关的实际问题。因此，提出问题最好是来源于现实生活，与科学教学内容相结合。学生的问题来源一般有三个，一个是从教材和合背景材料中发现和建立；二是从教师提供的案例和背景材料中发现和建立；三是在学习数学知识、技能、思想、方法的过程中发现和提出，教师应特别鼓励学生在学习的过程中发现和提出自己的问题并加以研究。我们不可能也没有必要将所有的教学内容都设计成探究性，应该选择“空间解析几何”中具有核心和基础地位的那些概念和规律性知识。要使探究的问题处于学生的认知发展区，使学生能运用已有知识和合理经验理解问题中的部分事实和现象，这样的问题使学生已有的观念、知识结构受到挑战，能够激发他们的好奇心、求知欲，从而使他们寻找对策。
(2)开展探究，分析问题。
教师应帮助和指导学生去很好地进行再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生。学生作为发展的个体，无论是认识的发展，还是知识的获得、情感、个性、态度的培养，都需要在丰富多彩的活动中，在自主的实践中实现。数学家波利亚说：“学习任何知识的最佳途径是由学生自己去发现，因为这种发现，理解最深，也最容易掌握其中的内在规律和联系。”而自主探索，就是让每个学生根据自己的体验，用自己的思维方式自由地、开放地去探究、去发现、去再创造有关数学知识的过程。教师则要针对学生的实际，进行一些方法指导和思路点拨，不失时机地发现和发扬学生的创意和其它闪光点。
(3)交流讨论，解决问题。
学生要将自己或小组经过实践、分析、讨论所取得的收获进行归纳整理、总结提炼，形成书面材料和口头报告材料。把初步的研究成果，必须互相交流、互相倾听、相互学习，怎样与他人交流是未来每个公民都必须掌握的基本技能。成果的表达方式要多样化，除了按一定要求撰写报告、论文以外，还可以通过开辩论会、 研讨会等方式加以表达。在交流中学生可以了解别人对问题的认识和不同的看法，从而在自我反思中深化自己的认识，同时，也学会了相互接纳、互相赞赏、相互分享和相互帮助。
5. “空间解析几何”探究性学习的案例
讲完空间解析几何中的第三章后，我让学生寻找了空间中的对称问题的解法。无论哪一类对称，从代数的观点来看，实际上就是一种变换。学生利用解析的方法对空间解析几何中有关的对称问题作了一些探讨，经过查资料，并进行研讨，利用MATLAB编程或几何画板得到问题的结论：
结论1：空间中一点P0(x0,y0,z0)关于给定点P1(x1,y1,z1) 对称的对称点的坐标为 2x1-x0,2y1-y0,2z1-z0)。（证明略）
结论2：空间一点 P0(x0,y0,z0)关于定直线 L:x-x1X=y-y1Y=z-z1Z的对称点的坐标为：［2(tX+x1)-x0,2(tY+y1)-y0,2(tZ+z1)-z0)］其中 t=x0X+y0Y+z0Z-(x1X+y1Y+z1Z)X2+Y2+Z2。（证明略）
结论3：空间一点 P0(x0,y0,z0)关于平面 π:Ax+By+Cz+D=0的对称点 P＇0(x＇0,y＇0,z＇0)的坐标为x＇0=x0+2Aty＇0=y0+2Btz＇0=z0+2Zt ，其中 t=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2。（证明略）
结论4：空间曲面 Σ:F(x,y,z)=0关于定点P0(x0,y0,z0) 的对称曲面 Σ'的方程是 F(2x0-x,2y0-y,2z0-z)=0.(证明略)
结论5：空间曲面 Σ:F(x,y,z)=0关于定平面Ax+By+Cz+D=0 的对称曲面的方程为F(x-2At,y-2Bt,z-2Ct)=0 ，其中 t=Ax+By+Cz+DA2+B2+C2。（证明略）
结论6：空间曲线C: F1(x,y,z)=0F2(x,y,z)=0关于定点 P0(x0,y0,z0)的对称曲线的方程是 C':F1(2x0-x,2y0-y,2z0-z)=0F2(2x0-x,2y0-y,2z0-z)=0。（证明略）
结论7：空间曲线 C: F1(x,y,z)=0F2(x,y,z)=0关于定平面 Ax+By+Cz+D=0 的对称曲线的方程是 C':F1(x-2At,y-2Bt,z-2Ct)=0F2(x-2At,y-2Bt,z-2Ct)=0)=0其中 t=Ax+By+Cz+DA2+B2+C2。（证明略）
总之,空间解析几何的探究性学习方式不仅提高了学生动手实践能力，而且也深刻了对知识的理解，使学生在探究中的情趣达到了高峰，创造性得到了充分地发挥，从而培养了学生的创新精神和实践能力。
参考文献
［1］ 吕林根，许子道，等。解析几何［M］。北京：高等教育出版社，2004
［2］ 严士健。面向21世纪的中国数学教育［M］。南京：江苏教育出版社，1994
［3］ 尤利化。探究性学习在组合数学教学中的尝试［J］。高教论坛，2008，4
［4］ 张伟琪。如何构建探究性学习的教学模式［J］。河南教育（搞笑版）2007，8
收稿日期：2012-03-22
【关键词】空间解析几何;探究性学习
An study on “Space analytic geometry”exploratory learning method
Aniwar
【Abstract】“Space analytic geometry ”Research-style learning, taking student-inquiry as essential feature, is a form of teaching activity,which be of great importance to cultivate contemporary college students creativity. The paper discuss the necessity of Exploratory learning,learing model and implementation step,illustrate how to crarry out Research-style learning with examples.
【Key words】space analytic geometry; exploratory study
1. 引言
高等学校是人才的基地，是知识的殿堂，以人文精神的塑造为核心任务。当代大学生不仅要学社会专业知识，还应该具有较高的人文精神，有高尚的思想情操和历史使命感与社会责任心。如何培养大学生的创新精神和实践能力，仍然是摆在我们前面的一个重要课题。针对这个问题，结合“空间解析几何”课程，笔者在课堂教学中对采用探究式学习方式进行了初步尝试。
随着高校教学改革的不断深入，考试改革、课程改革、教材改革已取得了显著的成效，教学模式的改革逐渐得到重视和发展，许多教育工作者开始提倡自主学习、探究性学习等相应的学习方式。探究性学习与研究性学习都是由英文“Inquiry Learning”翻译而来的。在英文中，Inquiry的主要意思是：⑴询问、打听。⑵调查、探究。美国国家科学教育标准提出：科学探究指的是科学家们用以研究自然界并对基于此种研究获得的证据提出种种解释的多种不同的途径；科学研究也指的是学生用以获取知识、领悟科学的思想观念、领悟科学家们研究自然界所用的方法而进行的各种活动。2001年7月教育部出版的全日制义务教育各科《课程标准》里，着重强调了“探究性学习”的方法。现在 “探究性学习”已从原来的科学学科推广到各个学科的教学，从原来的高中和大学扩展到现在的小学基础教育，“探究性学习”已经成为一种新的教学模式，是教学改革的新理念，它的出现标志着我国的教育已从继承性学习转向到创新性学习，大大促进了学生学习方式和教师教学方式的改革。
探究性学习是指以培养学生创新精神和实践能力为宗旨，在教师的启发引导下，以学生独立学习和合作研究为前提，以现行教材为基本探究内容，以学生四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供表达、质疑、讨论问题的机会，让学生通过个人或小组集体等多种解难、释疑、尝试等活动，将自己所学的知识应用于解决实际问题的一种学习形式。探究性学习特别注重开发学生智力、发展学生的创造思维、培养自学能力、力图通过自我探究让学生学会学习，掌握解决问题方法。探究性学习是一种全方位的学习，它既有课堂探究，也可以进行课外实践活动的探究。
2. 选择进行“空间解析几何”探究性学习的必要性
2.1 探究性学习是空间解析几何课堂教学改革后的理想方式。课堂教学改革的目的是打破传统教学束缚 ，如尊重学生主体地位，发挥学生主体作用，实现主体发展教育，这些提出已久，为广大教师熟悉。课堂教学选用探究式能使“空间解析几何”教学质量大大提高，实现教学模式的转变，减少教师在课堂上的讲授时间，彻底扭转学生被动的局面，调动学生参与教学的积极性，发挥学生自主探究的能动性，真正让学生自主学习，使课堂教学焕发生机。
2.2 课堂教学选用探究方式能促进教师教学能力的提高。教师是教学的导师，基本任务是调动学生的积极性，让学生自己去获取知识，提高能力，做到自己发现问题，提出问题，分析问题，解决问题。不是被动地记忆理解教师传授的知识，而是敏锐地发现问题，主动提出问题，积极地找出解决问题的办法，探究出结论。在探究性学习中，教师将成为学生学习的促进者、组织者和指导者。因此，在教学中教师为学生设置探究情景，建立探究氛围，促进探究发展。学生作为探究学习的主人，自然是根据教师提供的条件，明确探究目标开展学习。这样教师就能在实践探究中学习，就能在实践探究中提高，改变“自我中心”，实现“自我发展”。
2.3 探究性学习方式能培养学生的创新精神和实践能力。探究性学习是以学生探究为基本特征的一种教学活动形式。创新有层次之分，并不是真正意义上的创造发明，大学教育主要是为学生成为创新人才打好基础，做好准备。在教学中，只要我们的学生有了与课本不同的观点、不同的解决问题的方法和思路，我们教师都应该认为这就是“创新”。教师应及时地鼓励学生，从而培养学生的这种创新精神和创新意识。
2.4 探究式学习方式能给学生的发展以最大的独立思索空间。探究活动是一个理智的过程，这一过程应当向所有观点开放，每一个学生都能自由地发表自己的见解，不管一些见解有多么荒谬，只要是通过学生思考所得，都应该得到老师的鼓励。我校是北疆的唯一的一所高等学府，肩负着为边疆地区培养哈萨克族、维吾尔族等少数民族中小学教师的重要任务。哈萨克族是我国55个少数民族之一，是我国周边地区跨国而居的少数民族，也是我国北方地区著名游牧民族之一。主要以大分散、小聚居的形式分布在新疆北部伊犁的哈萨克自治州的伊犁、塔城、阿勒泰三个地区，以及新疆东部的木垒哈萨克自治县、巴里坤哈萨克自治县及甘肃省阿克塞哈萨克自治县和青海省海西蒙古族、藏族自治州。哈萨克民族、维吾尔民族作为传统的民族，在其生活中都可以找到有关空间解析几何概念的模型与“命题”。比如说哈萨克族的毡房是柱面与锥面的组合而成，哈萨克族的马鞍是双曲抛物面的实际模型,等等。所以笔者认为在民族地区的空间解析几何教学中，可以生活常识为背景，启发学生进行探索，这种教学方法的效果比传统的教学更有说服力。
2.5 随着科学技术的突飞猛进，知识经济的出现，高等教育已经从精英教育走向大众化教育，而我们所处的学校小数民族学生的薄弱知识基础导致了他们学习的主动性和自觉性较低，学习方法单一。下表1是近几年我校数学系学生的入学成绩。
表1
这就更需要我们更新教学模式，彻底摒弃传统的“知识为本，教师为主”的理念，改变“教师讲，学生听”这一既定程序，逐步转变学生在中学应试教育培养下所养成的学习习惯，同时也给我们进行探索式教学与学习模式研究提供了用武之地。
2.6 空间解析几何这门课程的特点决定了探索式教学的可行性。空间解析几何是用代数的方法来研究几何，从而把几何问题的讨论，从定性的研究推进到可以计算的定量的层面。把代数的方法引入到几何中来，这就必须把空间的几何结构代数化，这也是空间解析几何的基础。空间解析几何作为中学几何的继续和提高，在大学数学课程学习上起着承前启后的重要作用。该课程的概念繁多，环环相扣，内容抽象，不易理解，而且整个课程体系运用的是所谓的公理化的研究方法，即把数学对象归类，从不同质的具体事务或过程中抽取共同的量的关系，作为量基本的公理、性质，再从这里出发，采取统一的观点与方法，进行演绎推理等，从而研究和揭示其新的性质与结论。由于这门课程的特点，给探索式教学和学习提供了大量用武的地方。由于概念多，就更要搞清楚来龙去脉，搞清楚由来，搞清楚对以日后学习所起的作用，进行查阅、探究来理解弄懂，让学生真正在教师的指导下，把学习积极性、主动性充分调动起来，完成“空间解析几何”的学习且打好以后学习的基础。
3. “空间解析几何”课程探究性学习模式
根据课程特点和学习内容，可把“空间解析几何”课程探究性学习分为以下三种类型：
(1)实践型。数学来源于生活，现实生活中处处有数学，学生既可以从课堂中学，也可以从生活实践中学，生活中的数学可以激发学生的兴趣，营造生动活泼的课堂气氛。数学产生于生产，然而随着数学的发展，它的抽象性越来越高，容易使学生产生一种畏惧感。他们认为数学高不可攀，从而丧失学习数学的信心和勇气，也就自然而然失去了对数学的兴趣。教师在教学过程中，要多从学生的生活实际寻找数学的源泉，让学生体会到数学无处不在。如果把数学知识与学生的生活实际有机结合起来，就能更有效地促进学生向自主探索、独立学习的方向发展。
(2)讨论型。讨论交流可以使学生取长补短，学会相互交流与合作，使每一个学生的思维过程外显出来，在观点的冲突、反思、评判过程中逐步形成对问题的基本认识，增进学生间的相互了解，培养合作意识和协调能力。
(3)文献型。针对“空间解析几何”课本的知识点设计不同的探究性课题，提升学生的自主创新能力，在课堂上未能进行充分探究的问题，教师可以引导学生课后进一步探究。教师要引导学生进一步探究的方法和获取有效信息的途径并为学生提供与探究主题相关的背景材料。学生则通过进一步学习教材、动手实验、图书阅览、网上查询等手段来获取材料，通过对资料的学习、分析、处理、达到理解并掌握知识的目的。
4. 实施步骤
探究性学习的过程是多层面的活动，“空间解析几何”课程探究性学习的实施主要包括提出问题、分析问题、解决问题三个环节。
(1)提出问题。
亚里士多德曾说过：“人的思想是从疑问开始的”。问题是学生探究学习的开始，也是整个探究活动的方向和目的，没有问题的提出，探究学习根本无从谈起。探究性学习强调培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，让学生解决身边与科学内容有关的实际问题。因此，提出问题最好是来源于现实生活，与科学教学内容相结合。学生的问题来源一般有三个，一个是从教材和合背景材料中发现和建立；二是从教师提供的案例和背景材料中发现和建立；三是在学习数学知识、技能、思想、方法的过程中发现和提出，教师应特别鼓励学生在学习的过程中发现和提出自己的问题并加以研究。我们不可能也没有必要将所有的教学内容都设计成探究性，应该选择“空间解析几何”中具有核心和基础地位的那些概念和规律性知识。要使探究的问题处于学生的认知发展区，使学生能运用已有知识和合理经验理解问题中的部分事实和现象，这样的问题使学生已有的观念、知识结构受到挑战，能够激发他们的好奇心、求知欲，从而使他们寻找对策。
(2)开展探究，分析问题。
教师应帮助和指导学生去很好地进行再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生。学生作为发展的个体，无论是认识的发展，还是知识的获得、情感、个性、态度的培养，都需要在丰富多彩的活动中，在自主的实践中实现。数学家波利亚说：“学习任何知识的最佳途径是由学生自己去发现，因为这种发现，理解最深，也最容易掌握其中的内在规律和联系。”而自主探索，就是让每个学生根据自己的体验，用自己的思维方式自由地、开放地去探究、去发现、去再创造有关数学知识的过程。教师则要针对学生的实际，进行一些方法指导和思路点拨，不失时机地发现和发扬学生的创意和其它闪光点。
(3)交流讨论，解决问题。
学生要将自己或小组经过实践、分析、讨论所取得的收获进行归纳整理、总结提炼，形成书面材料和口头报告材料。把初步的研究成果，必须互相交流、互相倾听、相互学习，怎样与他人交流是未来每个公民都必须掌握的基本技能。成果的表达方式要多样化，除了按一定要求撰写报告、论文以外，还可以通过开辩论会、 研讨会等方式加以表达。在交流中学生可以了解别人对问题的认识和不同的看法，从而在自我反思中深化自己的认识，同时，也学会了相互接纳、互相赞赏、相互分享和相互帮助。
5. “空间解析几何”探究性学习的案例
讲完空间解析几何中的第三章后，我让学生寻找了空间中的对称问题的解法。无论哪一类对称，从代数的观点来看，实际上就是一种变换。学生利用解析的方法对空间解析几何中有关的对称问题作了一些探讨，经过查资料，并进行研讨，利用MATLAB编程或几何画板得到问题的结论：
结论1：空间中一点P0(x0,y0,z0)关于给定点P1(x1,y1,z1) 对称的对称点的坐标为 2x1-x0,2y1-y0,2z1-z0)。（证明略）
结论2：空间一点 P0(x0,y0,z0)关于定直线 L:x-x1X=y-y1Y=z-z1Z的对称点的坐标为：［2(tX+x1)-x0,2(tY+y1)-y0,2(tZ+z1)-z0)］其中 t=x0X+y0Y+z0Z-(x1X+y1Y+z1Z)X2+Y2+Z2。（证明略）
结论3：空间一点 P0(x0,y0,z0)关于平面 π:Ax+By+Cz+D=0的对称点 P＇0(x＇0,y＇0,z＇0)的坐标为x＇0=x0+2Aty＇0=y0+2Btz＇0=z0+2Zt ，其中 t=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2。（证明略）
结论4：空间曲面 Σ:F(x,y,z)=0关于定点P0(x0,y0,z0) 的对称曲面 Σ'的方程是 F(2x0-x,2y0-y,2z0-z)=0.(证明略)
结论5：空间曲面 Σ:F(x,y,z)=0关于定平面Ax+By+Cz+D=0 的对称曲面的方程为F(x-2At,y-2Bt,z-2Ct)=0 ，其中 t=Ax+By+Cz+DA2+B2+C2。（证明略）
结论6：空间曲线C: F1(x,y,z)=0F2(x,y,z)=0关于定点 P0(x0,y0,z0)的对称曲线的方程是 C':F1(2x0-x,2y0-y,2z0-z)=0F2(2x0-x,2y0-y,2z0-z)=0。（证明略）
结论7：空间曲线 C: F1(x,y,z)=0F2(x,y,z)=0关于定平面 Ax+By+Cz+D=0 的对称曲线的方程是 C':F1(x-2At,y-2Bt,z-2Ct)=0F2(x-2At,y-2Bt,z-2Ct)=0)=0其中 t=Ax+By+Cz+DA2+B2+C2。（证明略）
总之,空间解析几何的探究性学习方式不仅提高了学生动手实践能力，而且也深刻了对知识的理解，使学生在探究中的情趣达到了高峰，创造性得到了充分地发挥，从而培养了学生的创新精神和实践能力。
参考文献
［1］ 吕林根，许子道，等。解析几何［M］。北京：高等教育出版社，2004
［2］ 严士健。面向21世纪的中国数学教育［M］。南京：江苏教育出版社，1994
［3］ 尤利化。探究性学习在组合数学教学中的尝试［J］。高教论坛，2008，4
［4］ 张伟琪。如何构建探究性学习的教学模式［J］。河南教育（搞笑版）2007，8
收稿日期：2012-03-22