论文部分内容阅读
【摘要】中考复习中，数学题目题类型多，难度大，如何指导学生解题才能收到事半功倍的效果呢？笔者认为：一是重在分析，联系相关知识；二是理清思路，确定方法；三是规范板书，步骤严密；四是一题多解，培养学生的思维能力；五是一题多变，培养学生的创新能力；六是注意归纳，触类旁通。
【关键词】初中数学；习题；教学
新的课程标准要求学生会学数学、学会用数学、灵活应用数学，通过数学学习，培养学生的思维能力和创新能力。中考复习中，数学题目题类型繁多，如果教师指导不当，学生的复习将是“油去灯不亮” 收不到理想的复习效果。在中考复习中，如何指导学生解题呢？下面我就一道几何题来谈谈我的一些做法。
题目：如图一，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DE⊥AD交AB于E，以AE为直径作⊙O．
（1）求证：点D在⊙O上；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）若AC=6，BC=8，求△BDE的面积。
1 根据题目意思，联想相关知识。
分析题目一般是从“求解”出发，分析这样的“求解”，一般用到什么知识，联想知识点。
第一个问题是证明点D在⊙O上。证明点在圆上，用到的知识是点和圆的位置关系知识中的“当点到圆心的距离等于圆的半径时，这个点在圆上”。
第二个问题是证明BC是⊙O的切线。证明直线是圆的切线，用到直线与圆的位置关系知识中“和圆只有一个公共点的直线是圆的切线”与“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”，还用到切线的判定定理。
第三个问题是求△BDE的面积。求三角形的面积，用到的知识一般是“三角形面积计算公式”、“相似三角形面积的比等于它们的相似比”、“图形面积的和差”等。
2 理清思路，确定方法。
在确定运用相关知识之后，理清思路，确定方法，一步一步的推理，最终解决问题。
第一个问题：切入点是连接OD，然后运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”就可以证明OD是⊙O的半径。
第二个问题：证明圆的切线具体方法一般有两种：一是当直线与圆有一个公共点时，把这个公共点连接起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；二是当直线和圆的公共点没有明确时，可经过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称：“作垂直，证半径”。鉴于本题情况，因为直线与圆有公共点D，所以使用第一种方法，运用垂直的定义就可以证明BC⊥OD。
第三个问题：鉴于本题求△BDE的面积的方法较多，如果不加以判断，就会浪费时间。在师生共同探讨的基础上，选用比较简便的方法求△BDE的面积。可以通过△BDE∽△BAD得到S△BDE：S△BAD＝BD2：BA2。因为S△BAD、BD、BA都易求，所以容易求得S△BDE。
3 规范板书，步骤严密。
在答题时，板书规范，步骤要明确，条理要清楚，该要说明的取值范围要说明，精确度要符合题目要求等等。
解：（1）证明：连接OD，（如图二）
∵△ADE是直角三角形，OA=OE，
∴OD=OA=OE.
∴点D在⊙O上；
（2）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠1=∠2.
∵OD=OA，
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3.
∴AC∥OD.
∴∠C=∠ODB=90°.
∴BC是⊙O的切线；
（3）解：在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，
∴根据勾股定理得：AB=10.
设OD=OA=OE=x，则OB=10﹣x.
∵AC∥OD，
∴△ACB∽△ODB.
∴ODAC=BOBA=BDBC，即x6=10-x10
解得：x=154.
∴OD=154，BE=10-2x=10-152=52，
∵ODAC=BDBC，即1546=BD8，∴BD=5，CD＝BC－BD＝3.
S△BAD＝S△ABC－S△ACD＝12AC·BC-12AC·CD=15.
∵BC切⊙O于D，
∴∠BDE＝∠2.
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAD，
∴S△BDE：S△BAD＝BD2：BA2，
∴S△BDE＝154.
4 一题多解，培养学生的思维能力。
通过一题多解，使学生的思维处于活跃状态，拓宽学生的思维领域，有效地促进学生思维的灵活性、广阔性、流畅性，培养学生多角度、全方位思维的习惯，提高学生求异思维的能力。第三个问题的求解，在完成一种解法之后，让学生尝试其它的解法。
解：第一种方法求得BD=5的基础上，过E作EH⊥BD.
∵EH∥OD，
∴△BEH∽△BOD.
∴BEBO=EHOD，即52254=EH154
∴EH=32.
∴S△BDE=12BD·EH=154.
……
5 一题多变，培养学生的创新能力。
学生完成上面习题后, 通过一题多变，让学生在初步掌握知识和技能以后，能进一步地深化和熟练，通过对原题条件的逐渐放宽和联想演变,得到下列演变题，这样使学生不但深刻理解条件和结论,图形与图形之间的内在联系,而且对问题和图形的结构进行了多层次的探索,从而培养学生创造思维和创新能力。
演变一：如图三，在△ABC中，∠BAC=90O，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF的延长线交DE于点P。
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求tan∠ABE的值；
演变二：如图四，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O交AC于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．且BD=BF．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）若BC=6，AB=12，求⊙O的面积．
6 注意归纳，触类旁通。
许多初中生解题就像鸭子下蛋，下完就走，他们解题只求“结果”不注意收集方法。因此对做过的题目，过了一段时间就忘记了，或者把题目的形式变了一下就不会做了。这个时候，老师要教会学生收集方法，在讲解题目完之后，回过头来看看我们的解题过程，归纳一下解决这道题用到了那些知识、解决这类问题如何去寻找解题方法、注意些什么问题，做到触类旁通，收到事半功倍的效果。
总之，在初中数学中，我们老师不要贪图题目多，而是精心备好要讲的每一道题，把要讲的每一道题“讲透、讲宽、讲深”，做到“讲一题会一类”，这样才使得我们的复习收到事半功倍的效果。
参考文献
［1］ 全日制义务教育《数学新课程标准》人民教育出版社
【关键词】初中数学；习题；教学
新的课程标准要求学生会学数学、学会用数学、灵活应用数学，通过数学学习，培养学生的思维能力和创新能力。中考复习中，数学题目题类型繁多，如果教师指导不当，学生的复习将是“油去灯不亮” 收不到理想的复习效果。在中考复习中，如何指导学生解题呢？下面我就一道几何题来谈谈我的一些做法。
题目：如图一，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DE⊥AD交AB于E，以AE为直径作⊙O．
（1）求证：点D在⊙O上；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）若AC=6，BC=8，求△BDE的面积。
1 根据题目意思，联想相关知识。
分析题目一般是从“求解”出发，分析这样的“求解”，一般用到什么知识，联想知识点。
第一个问题是证明点D在⊙O上。证明点在圆上，用到的知识是点和圆的位置关系知识中的“当点到圆心的距离等于圆的半径时，这个点在圆上”。
第二个问题是证明BC是⊙O的切线。证明直线是圆的切线，用到直线与圆的位置关系知识中“和圆只有一个公共点的直线是圆的切线”与“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”，还用到切线的判定定理。
第三个问题是求△BDE的面积。求三角形的面积，用到的知识一般是“三角形面积计算公式”、“相似三角形面积的比等于它们的相似比”、“图形面积的和差”等。
2 理清思路，确定方法。
在确定运用相关知识之后，理清思路，确定方法，一步一步的推理，最终解决问题。
第一个问题：切入点是连接OD，然后运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”就可以证明OD是⊙O的半径。
第二个问题：证明圆的切线具体方法一般有两种：一是当直线与圆有一个公共点时，把这个公共点连接起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；二是当直线和圆的公共点没有明确时，可经过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称：“作垂直，证半径”。鉴于本题情况，因为直线与圆有公共点D，所以使用第一种方法，运用垂直的定义就可以证明BC⊥OD。
第三个问题：鉴于本题求△BDE的面积的方法较多，如果不加以判断，就会浪费时间。在师生共同探讨的基础上，选用比较简便的方法求△BDE的面积。可以通过△BDE∽△BAD得到S△BDE：S△BAD＝BD2：BA2。因为S△BAD、BD、BA都易求，所以容易求得S△BDE。
3 规范板书，步骤严密。
在答题时，板书规范，步骤要明确，条理要清楚，该要说明的取值范围要说明，精确度要符合题目要求等等。
解：（1）证明：连接OD，（如图二）
∵△ADE是直角三角形，OA=OE，
∴OD=OA=OE.
∴点D在⊙O上；
（2）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠1=∠2.
∵OD=OA，
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3.
∴AC∥OD.
∴∠C=∠ODB=90°.
∴BC是⊙O的切线；
（3）解：在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，
∴根据勾股定理得：AB=10.
设OD=OA=OE=x，则OB=10﹣x.
∵AC∥OD，
∴△ACB∽△ODB.
∴ODAC=BOBA=BDBC，即x6=10-x10
解得：x=154.
∴OD=154，BE=10-2x=10-152=52，
∵ODAC=BDBC，即1546=BD8，∴BD=5，CD＝BC－BD＝3.
S△BAD＝S△ABC－S△ACD＝12AC·BC-12AC·CD=15.
∵BC切⊙O于D，
∴∠BDE＝∠2.
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAD，
∴S△BDE：S△BAD＝BD2：BA2，
∴S△BDE＝154.
4 一题多解，培养学生的思维能力。
通过一题多解，使学生的思维处于活跃状态，拓宽学生的思维领域，有效地促进学生思维的灵活性、广阔性、流畅性，培养学生多角度、全方位思维的习惯，提高学生求异思维的能力。第三个问题的求解，在完成一种解法之后，让学生尝试其它的解法。
解：第一种方法求得BD=5的基础上，过E作EH⊥BD.
∵EH∥OD，
∴△BEH∽△BOD.
∴BEBO=EHOD，即52254=EH154
∴EH=32.
∴S△BDE=12BD·EH=154.
……
5 一题多变，培养学生的创新能力。
学生完成上面习题后, 通过一题多变，让学生在初步掌握知识和技能以后，能进一步地深化和熟练，通过对原题条件的逐渐放宽和联想演变,得到下列演变题，这样使学生不但深刻理解条件和结论,图形与图形之间的内在联系,而且对问题和图形的结构进行了多层次的探索,从而培养学生创造思维和创新能力。
演变一：如图三，在△ABC中，∠BAC=90O，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF的延长线交DE于点P。
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求tan∠ABE的值；
演变二：如图四，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O交AC于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．且BD=BF．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）若BC=6，AB=12，求⊙O的面积．
6 注意归纳，触类旁通。
许多初中生解题就像鸭子下蛋，下完就走，他们解题只求“结果”不注意收集方法。因此对做过的题目，过了一段时间就忘记了，或者把题目的形式变了一下就不会做了。这个时候，老师要教会学生收集方法，在讲解题目完之后，回过头来看看我们的解题过程，归纳一下解决这道题用到了那些知识、解决这类问题如何去寻找解题方法、注意些什么问题，做到触类旁通，收到事半功倍的效果。
总之，在初中数学中，我们老师不要贪图题目多，而是精心备好要讲的每一道题，把要讲的每一道题“讲透、讲宽、讲深”，做到“讲一题会一类”，这样才使得我们的复习收到事半功倍的效果。
参考文献
［1］ 全日制义务教育《数学新课程标准》人民教育出版社