空间二面角是立体几何的重点内容, 也是高考常考知识.本文通过一道高考题说明二面角的平面角的作法及一般求法, 供大家参考.
　　图1【题目】 （2007全国Ⅱ·理·19题）如图1，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点.
　　(Ⅰ)求证：EF∥平面SAD；（略）
　　 (Ⅱ)设SD = 2CD，求二面角A-EF-D的大小.
　　
　　一、二面角的平面角的作法
　　1. 定义法：在棱上任取一点O，过点O在两个半平面内分别引棱的垂线OA、OB，则∠AOB就是二面角的平面角.
　　2. 三垂线法： 自二面角的一个面上一点A，向另一个面引垂线AB，再由垂足B向棱作垂线得斜足O，连结OA，则∠AOB或其补角为二面角的平面角.
　　3. 垂面法：自空间一点,作与棱垂直的平面，交二面角得两条射线OA、OB (O是平面与棱的交点 )， 则就是二面角的平面角.
　　
　　二、二面角的解法
　　1. 几何方法
　　图2【解法1】 综合法
　　如图2，不妨设DC=2，则SD=4，G为SD的中点，DG=2，△ADG为等腰直角三角形．
　　因AE⊥平面SAD，AE平面AEF，则平面SAD⊥平面AEF，交线为AG，
　　过D作DH⊥AG于H，则H为AG的中点，过H作HM ⊥ EF于M，
　　因 △DAE≌△DGF，则DE=DF, 则M为EF的中点，连结DM，由三垂线定理得，∠DMH为二面角A-EF-D的平面角.
　　在Rt△DHM中，DH=2，HM=1,
　　因tan∠DMH=DHHM=21=2．
　　所以二面角A-EF-D的大小为arctan2.
　　【解法2】 面积射影法
　　【解法3】 基向量法
　　利用空间向量基本定理，用一组基底把有关空间向量表示出来, 再通过向量的运算求二面角的平面角.
　　【解法4】 坐标法
　　建立适当的空间直角坐标系，通过向量的坐标运算求二面角的平面角.
　　【作者单位：甘肃省高台县第一中学】
　　责任编辑：刘彩霞
　　
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