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[摘 要]复杂系统的控制总是伴随着时滞干扰，时滞现象大量存在，综述了连续系统和离散系统近几年不确定时滞系统鲁棒控制的主要研究成果和发展概况。
[关键词]时滞；鲁棒稳定性
中图分类号：TP 文献标识码：B 文章编号：1009-914X（2015）32-0329-01
由于在现实世界中，复杂系统的控制总是伴随着时滞干扰，在实际工业系统中，时滞现象是大量存在的。如：加长管道进料或皮带传输，缓慢的反应过程以及复杂的在线分析仪等，均会导致时滞现象， 时滞的存在造成系统控制无论在理论分析上还是工程实际中都有特殊的困难，同无滞后过程比较，滞后使系统的响应性能变差，而且难以稳定。所以，控制系统在干扰下的稳定性分析对于科学研究及工程应用都具有重要意义。
1 连续系统的鲁棒稳定性发展概况
关于不确定系统的鲁棒稳定性分析问题的研究开始于70年代。分为频域分析和时域分析，时域描述方法，表示为系统是以时间t 为基本考量单位，状态方程的方式对系统进行描述，而系统的不确定性，则以系统方程参数 A， B，C， D 的不确定表示。频域描述方法，表示为系统是以频域信号 j为基本考量单位，通过对系统传递函数阵的分析来表述系统的不确定性。例如，加性摄动，乘性摄动，除性摄动等扰动的区分。对于频域的方法，处理特征方程是比较繁琐的，而且由于采用了拉普拉斯、傅里叶变换的影响，频域的方式是很难直接应用于时变时滞系统稳定性问题的分析的；而若在基于时间t 的时域中研究分析时滞系统时，可以轻易的克服参数摄动不足的问题，而在基于拉普拉斯或者傅里叶变换的频域分析方式中这是很难解决的一个问题。再者，由于对于时滞系统的时域分析的计算方法要简单一些，所以，大部分的科学研究者都默认时域的分析方法是时滞系统或者是不确定系统的较优方法，在未有更好的分析方法之前，对于时滞系统的时域研究将成为科学主流。事实也证明，近些年来，对于时滞系统的研究而言，时域方法占有很大的比例。时域分析应用Lyapunov稳定性理论进行研究。时域分析最早的研究是针对一般系统给出的，这些研究结果奠定了这一方向的理论基础[1][2]。目前对于无时滞的不确定系统的鲁棒稳定性的研究已经形成了一套较完整的理论[。对于时滞不确定系统，利用Lyapunov方法，结合矩阵测度和矩阵范数分别给出了在非结构不确定下系统时滞相关渐近稳定的充分条件，在强结构和矩阵拓扑型结构不确定性下不确定性下系统时滞无关渐近稳定的充分条件。在时滞系统中的研究，可按不同的需要进行分类：所考虑的系统按时滞是否与时间有关，可分为常时滞系统和变时滞系统；按时滞个数的多少，可分为单时滞系统和多时滞系统；按系统中函数的性质，可分为线性系统和非线性系统。对系统中不确定部分的假设一般有四类：非结构不确定性、强结构不确定性、矩阵拓扑型结构不确定性和非线性不确定性。对系统的稳定性，常用的研究方法有：Lyapunov函数法、矩阵测度方法与特征值方法等等。系统的鲁棒稳定性条件依其是否与时滞的信息有关，可分为时滞无关鲁棒稳定性条件和时滞相关鲁棒稳定性条件，其中时滞无关稳定性条件形成简单，较容易判断，但保守性较大，时滞相关稳定性条件则形式复杂，计算较繁琐，但保守性较小。
2 离散系统的鲁棒稳定性发展概况
关于离散系统控制问题研究较早学者有R.E.Kalman and J.E.Bertram， J.Manela， M.Corleess and J.Manela和K.Ogata. 之后针对系统矩阵中含有不确定参数的离散系统的鲁棒控制问题（其中不确定性满足匹配条件），利用Lyapunov方法分别设计了系统的线性状态反馈和输出反馈控制器， 以保证闭环不确定系统是一致有界和一致终极有界的， 并且控制器可使得Lyapunov函数的差分达到最小。针对上述系统的单输入情况， 利用Lyapunov方法设计了一个非线性鲁棒状态反馈控制器。1992年顾兴源利用Lyapunov方法设计了一个非线性鲁棒状态反馈控制器[3]，通过引入自由参数矩阵， 将此结果扩展后又给出一个新的线性鲁棒状态反馈控制器。2000年，上述研究又被推广到了不确定离散时滞系统， 给出了系统可鲁棒镇定的充分条件， 并提出了系统的有记忆状态反馈控制器设计方法， 控制器可通过求解一个Riccati-like不等式来获得。1995年杨保民等进一步研究了系统和控制矩阵中都含有匹配不确定性的离散时滞系统的鲁棒控制问题， 通过不确定矩阵的秩1分解计算加权矩阵， 沿用线性最优调节器问题的Riccati代数方程， 设计了系统的线性状态反馈控制器， 该控制器使得不确定闭环系统渐近稳定， 并讨论了控制矩阵的不确定程度与鲁棒控制器存在的关系问题。1999年，针对一类具有范数有界不确定性的离散系统的输出反馈鲁棒控制， 利用Lyapunov方法， 讨论了系统可用动态输出反馈二次镇定的条件， 并设计出系统的动态输出反馈控制器， 该控制器可通过求解一个等价的线性时不变离散系统的标准H∞输出反馈控制问题获得[5]。
关于不确定离散系统的二次稳定性研究最早由Garcia et al.在1994年给出， 其中定义了系统的状态反馈二次镇定问题， 并利用Lyapunov方法设计出相应的状态反馈控制器。针对具有目标约束的系统的二次稳定性， 其系统必须满足某些其他约束， 通过求解一个具有线性矩阵不等式（LMI）约束的动态规划问题， 设计出系统的状态反馈二次稳定控制器。 近几年， 关于不确定离散系统的保性能控制研究也获得了一些成果。还有关于具有强结构不确定性的离散时滞系统鲁棒控制器设计的研究， 以及对非结构不确定离散系统的鲁棒稳定性分析。最近关于不确定离散时滞大系统鲁棒控制也有了一些成果。不确定系统的二次稳定控制和保性能控制都与H∞控制有着密切的关系， 事实上， 关于离散系统的H∞控制的研究近十年也相应的发展起来了。但其中对不确定离散时滞系统的研究结果还不多， 离散系统作为与连续系统平行的一类系统， 对其进行鲁棒控制研究是十分必要的， 但由于离散系统本身的特点，离散Lyapunov方程对系统状态矩阵的非线性依赖关系，使得对离散系统不确定性的处理变得更加困难。
3 结束语
对于不确定时滞系统的研究近几年已经成为广大学者研究的主要目标，也取得了一定的成果。但是系统和广泛地研究不确定时滞系统依然有很多工作要做，例如：如何寻找保证系统鲁棒稳定性的充要条件，另外对非线性不确定时滞系统的鲁棒控制理论的研究还相当不成熟，许多方面还有待于进一步研究。
参考文献
[1] R. Bell. Stability Theory of Differential Equations. New York：Dover， 1969：174-195
[2] B.R. Barnett and C. Storey. Matrix Methods in Stability Theory. New York：Barnes&Noble，1970：53-89
[3]顧兴源， 俞向罡. 一类不确定离散时间系统的鲁棒控制. 自动化学报， 1992，18（1）： 102-106
[4]王景成， 苏宏业， 褚健， 俞立. 线性时便不确定离散系统的输出反馈鲁棒镇定研究. 控制与决策， 1999， 14（1）： 69-72
1作者简介：孙超（1978-），女，中国传媒大学讲师，硕士，主要研究方向：鲁棒控制
[关键词]时滞；鲁棒稳定性
中图分类号：TP 文献标识码：B 文章编号：1009-914X（2015）32-0329-01
由于在现实世界中，复杂系统的控制总是伴随着时滞干扰，在实际工业系统中，时滞现象是大量存在的。如：加长管道进料或皮带传输，缓慢的反应过程以及复杂的在线分析仪等，均会导致时滞现象， 时滞的存在造成系统控制无论在理论分析上还是工程实际中都有特殊的困难，同无滞后过程比较，滞后使系统的响应性能变差，而且难以稳定。所以，控制系统在干扰下的稳定性分析对于科学研究及工程应用都具有重要意义。
1 连续系统的鲁棒稳定性发展概况
关于不确定系统的鲁棒稳定性分析问题的研究开始于70年代。分为频域分析和时域分析，时域描述方法，表示为系统是以时间t 为基本考量单位，状态方程的方式对系统进行描述，而系统的不确定性，则以系统方程参数 A， B，C， D 的不确定表示。频域描述方法，表示为系统是以频域信号 j为基本考量单位，通过对系统传递函数阵的分析来表述系统的不确定性。例如，加性摄动，乘性摄动，除性摄动等扰动的区分。对于频域的方法，处理特征方程是比较繁琐的，而且由于采用了拉普拉斯、傅里叶变换的影响，频域的方式是很难直接应用于时变时滞系统稳定性问题的分析的；而若在基于时间t 的时域中研究分析时滞系统时，可以轻易的克服参数摄动不足的问题，而在基于拉普拉斯或者傅里叶变换的频域分析方式中这是很难解决的一个问题。再者，由于对于时滞系统的时域分析的计算方法要简单一些，所以，大部分的科学研究者都默认时域的分析方法是时滞系统或者是不确定系统的较优方法，在未有更好的分析方法之前，对于时滞系统的时域研究将成为科学主流。事实也证明，近些年来，对于时滞系统的研究而言，时域方法占有很大的比例。时域分析应用Lyapunov稳定性理论进行研究。时域分析最早的研究是针对一般系统给出的，这些研究结果奠定了这一方向的理论基础[1][2]。目前对于无时滞的不确定系统的鲁棒稳定性的研究已经形成了一套较完整的理论[。对于时滞不确定系统，利用Lyapunov方法，结合矩阵测度和矩阵范数分别给出了在非结构不确定下系统时滞相关渐近稳定的充分条件，在强结构和矩阵拓扑型结构不确定性下不确定性下系统时滞无关渐近稳定的充分条件。在时滞系统中的研究，可按不同的需要进行分类：所考虑的系统按时滞是否与时间有关，可分为常时滞系统和变时滞系统；按时滞个数的多少，可分为单时滞系统和多时滞系统；按系统中函数的性质，可分为线性系统和非线性系统。对系统中不确定部分的假设一般有四类：非结构不确定性、强结构不确定性、矩阵拓扑型结构不确定性和非线性不确定性。对系统的稳定性，常用的研究方法有：Lyapunov函数法、矩阵测度方法与特征值方法等等。系统的鲁棒稳定性条件依其是否与时滞的信息有关，可分为时滞无关鲁棒稳定性条件和时滞相关鲁棒稳定性条件，其中时滞无关稳定性条件形成简单，较容易判断，但保守性较大，时滞相关稳定性条件则形式复杂，计算较繁琐，但保守性较小。
2 离散系统的鲁棒稳定性发展概况
关于离散系统控制问题研究较早学者有R.E.Kalman and J.E.Bertram， J.Manela， M.Corleess and J.Manela和K.Ogata. 之后针对系统矩阵中含有不确定参数的离散系统的鲁棒控制问题（其中不确定性满足匹配条件），利用Lyapunov方法分别设计了系统的线性状态反馈和输出反馈控制器， 以保证闭环不确定系统是一致有界和一致终极有界的， 并且控制器可使得Lyapunov函数的差分达到最小。针对上述系统的单输入情况， 利用Lyapunov方法设计了一个非线性鲁棒状态反馈控制器。1992年顾兴源利用Lyapunov方法设计了一个非线性鲁棒状态反馈控制器[3]，通过引入自由参数矩阵， 将此结果扩展后又给出一个新的线性鲁棒状态反馈控制器。2000年，上述研究又被推广到了不确定离散时滞系统， 给出了系统可鲁棒镇定的充分条件， 并提出了系统的有记忆状态反馈控制器设计方法， 控制器可通过求解一个Riccati-like不等式来获得。1995年杨保民等进一步研究了系统和控制矩阵中都含有匹配不确定性的离散时滞系统的鲁棒控制问题， 通过不确定矩阵的秩1分解计算加权矩阵， 沿用线性最优调节器问题的Riccati代数方程， 设计了系统的线性状态反馈控制器， 该控制器使得不确定闭环系统渐近稳定， 并讨论了控制矩阵的不确定程度与鲁棒控制器存在的关系问题。1999年，针对一类具有范数有界不确定性的离散系统的输出反馈鲁棒控制， 利用Lyapunov方法， 讨论了系统可用动态输出反馈二次镇定的条件， 并设计出系统的动态输出反馈控制器， 该控制器可通过求解一个等价的线性时不变离散系统的标准H∞输出反馈控制问题获得[5]。
关于不确定离散系统的二次稳定性研究最早由Garcia et al.在1994年给出， 其中定义了系统的状态反馈二次镇定问题， 并利用Lyapunov方法设计出相应的状态反馈控制器。针对具有目标约束的系统的二次稳定性， 其系统必须满足某些其他约束， 通过求解一个具有线性矩阵不等式（LMI）约束的动态规划问题， 设计出系统的状态反馈二次稳定控制器。 近几年， 关于不确定离散系统的保性能控制研究也获得了一些成果。还有关于具有强结构不确定性的离散时滞系统鲁棒控制器设计的研究， 以及对非结构不确定离散系统的鲁棒稳定性分析。最近关于不确定离散时滞大系统鲁棒控制也有了一些成果。不确定系统的二次稳定控制和保性能控制都与H∞控制有着密切的关系， 事实上， 关于离散系统的H∞控制的研究近十年也相应的发展起来了。但其中对不确定离散时滞系统的研究结果还不多， 离散系统作为与连续系统平行的一类系统， 对其进行鲁棒控制研究是十分必要的， 但由于离散系统本身的特点，离散Lyapunov方程对系统状态矩阵的非线性依赖关系，使得对离散系统不确定性的处理变得更加困难。
3 结束语
对于不确定时滞系统的研究近几年已经成为广大学者研究的主要目标，也取得了一定的成果。但是系统和广泛地研究不确定时滞系统依然有很多工作要做，例如：如何寻找保证系统鲁棒稳定性的充要条件，另外对非线性不确定时滞系统的鲁棒控制理论的研究还相当不成熟，许多方面还有待于进一步研究。
参考文献
[1] R. Bell. Stability Theory of Differential Equations. New York：Dover， 1969：174-195
[2] B.R. Barnett and C. Storey. Matrix Methods in Stability Theory. New York：Barnes&Noble，1970：53-89
[3]顧兴源， 俞向罡. 一类不确定离散时间系统的鲁棒控制. 自动化学报， 1992，18（1）： 102-106
[4]王景成， 苏宏业， 褚健， 俞立. 线性时便不确定离散系统的输出反馈鲁棒镇定研究. 控制与决策， 1999， 14（1）： 69-72
1作者简介：孙超（1978-），女，中国传媒大学讲师，硕士，主要研究方向：鲁棒控制