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摘 要：文章以“导数”单元的起始课“平均变化率”为例，探讨如何根据核心素养的教学理念，设计单元起始课的教学内容，让学生参与新概念的形成及应用过程，促进学生形成系统的、完整的知识结构，从中体会如何用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界，从而提高学生数学核心素养。
关键词：核心素养;单元起始课;高中数学教学
《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，“高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养。”在核心素养的指引下，高中数学教学应不断地改进教学方法，创新教学手段，将核心素养的培养落实到课堂上，提高学生的核心素养，促进学生全面发展。由于高中数学知识体系具有环环相扣、层层递进的特征，因此，在高中数学教学中，单元起始课是单元教学的“先行组织者”，它虽然只是某一个单元的第一课时，但是教师却需要有全局观，由木见林，从全单元教学的角度思考，如何走好起始课第一步。以核心素养为本的高中数学章节起始课教学中，教师应认真研究教学内容，将生活实际与教学内容有机结合，让数学知识回归生活，将抽象的数学知识与现实的生活问题融合到一起，激发学生的探索欲望，让学生体会数学学习的乐趣，从而提高数学课堂教学效率。文章以《导数》单元的第一课时“平均变化率”为例，研究以核心素养为本的单元起始课的教学设计。
一、 以核心素养为本的单元起始课教学设计
导数有着丰富的历史背景和知识联系，是解决函数问题的重要方法。根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》对导数这一专题的学业要求，学生需要通过实例分析，经历由平均变化率，到瞬时变化率的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，培养学生的数学抽象、逻辑推理能力，并着重培养学生数学语言（尤其是符号语言）表达能力。“平均变化率”作为导数单元的起始课，理所当然要承担起先锋的作用，本节课的教学重点应放在通过实例探究、归纳、理解平均变化率的概念上。而由于学生初次接触平均变化率及其符号表示，可能对平均变化率概念的理解以及生活现象和物理问题做出合理的数学阐释存在一定的困难。因此，教师在开展教学时，首先要明确这节课的重要意义，其次要让学生明白课程的主要内容，从实际生活引出数学问题，从中抽象出平均变化率的概念，并帮助学生建立解决问题的数学模型，并感受运用所学知识的必要性，之后让学生了解平均变化率的现实意义、学会学以致用，让学生通过思考、探究、表达等方式，体会到数学是如何从生活中而来，又是如何回归到生活中去的，促进学生数学核心素养发展。
（一）介绍引言，突显数学文化
在教学中，部分教师经常会直接跳过章前引言和图例直接进入知识点教学。事实上，教材中章前引言和图例对学生建构本章知识体系有着重要的意义，能够概括整章的框架结构和知识内容，是引入新知识的重要工具之一。
【师】17世纪，在欧洲资本主义发展初期，科学领域最突出的成就是什么呢？是微积分的产生。我们班的某某同学制作了一份关于微积分创立史的小视频。我们一起来欣赏一下。（展示视频）
【师】从今天这节课开始，我们将利用丰富的背景和大量的实例，学习导数的基本概念和思想方法，并应用导数继续研究函数的性质、解决生活中的最优化问题等。（PPT以导图的形式，展示本单元的知识结构体系。）
【设计意图】张奠宙教授曾说：数学文化必须走向课堂，让数学文化渗透在数学课堂中，让学生在学习数学知识的同时充分领略数学文化独特的美丽与丰富，并在欣赏数学，阅读数学，交流数学和运用数学中充分展现自己。本节课一开始就展示了学生制作的微积分史料视频，利用优秀同伴的引领，充分调动了学生参与课堂的积极性、学习数学的兴趣，从数学史的角度切入，将数学史融入教学中，渗透数学文化，自然进入课题内容。
（二）探究新知，提高数学素养
1. 【合作探究】（用数学眼光观察世界）
（1）探究“气球膨胀率”问题
【师】（拿出一个气球）同学们都吹过气球吧，大家仔细观察一下吹气球的过程，（教师演示吹气球）如果每次吹入差不多的气体，那么气球变大的速度一样吗？
可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。那么，如何从数学角度描述这种现象呢？
这个问题中涉及两个变量：气球空气容量，即气球体积V，气球半径r
而气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm）之间的函数关系式为V（r）=43πr3
如果将半径r表示为体积V的函数，那么可以得到r（V）=33V4π
【活动】师生共同分析r（V）=33V4π
【生】依次计算当V从0增加到1，以及V从1增加到2时，气球半径的增加量、气球的平均膨胀率，并比较大小。
从数据可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了。
【思考】当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？
解析：r（V2）-r（V1）V2-V1
（2）探究“高台跳水”问题
【师】在高台跳水运动中，运动员相對于水面的高度h（单位：米）与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h（t）=-4.9t2 6.5t 10。
如何用运动员在某些时间段内的平均速度，粗略地描述其运动状态？
【生】学生计算0≤t≤0.5和1≤t≤2的平均速度v，并举手回答。
【师】解析：h（t）=-4.9t2 6.5t 10
v=h（0.5）-h（0）0.5-0=4.05（m/s）
在1≤t≤2时，v=h（2）-h（1）2-1=-8.2（m/s）
【设计意图】两个探究让学生通过观察、计算、归纳得到结论，设置的问题由易到难，让学生由特殊到一般，一步一个台阶，为引入变化率的概念以及加深学生对变化率概念的理解打下基础，同时培养学生的逻辑推理能力。 （3）课本第三页探究
计算运动员在0≤t≤6549这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
1. 运动员在这段时间内是静止的吗？
2. 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？
【生】计算和思考，说出自己的发现，并讨论。
得到以下结论：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，并不能准确反映某一刻的运动状态。②需要寻找一个量，能更精确地表示运动员的运动状态。
【设计意图】通过探究，让学生体会到平均速度可以描述运动员某段时间内运动的快慢，但不能表示运动员瞬时的运动状态，以激发学生的求知欲，让学生感受到进一步探究学习的必要性，为下节课引出瞬时速度的概念，提供了良好的问题情境。
2. 【概念抽象与生成】（用数学思维思考世界）
【活动】师生共同归纳出结论
将上述两个探究中变量间的函数关系用y=f（x）表示，于是，探究中的变化率就可以用f（x2）-f（x1）x2-x1这个式子来表示，我们把它称为函数y=f（x）从x1到x2的平均变化率。
引入符号Δx=x2-x1，Δx可看成是对于x1的一个“增量”，即可用x1 Δx代替x2
类似地，引入符号Δy=f（x2）-f（x1），于是，平均变化率可以表示为：ΔyΔx=f（x2）-f（x1）x2-x1
【设计意图】探究（1）的气球问题和探究（2）的高台跳水问题都是生活中的函数关系问题，将实际问题转化为数学问题，用数学思维去思考、去解决、去归纳提炼，提升学生的数学抽象素养。
3. 【新知巩固与应用】（用数学语言表达世界）
【例1】 已知函数f（x）=x2，
（1）求函数在x=1，2，3附近的平均变化率，Δx取13，说明哪一点附近的平均变化率最大;
（2）求函数在x0到x0 Δx之间的平均变化率。
师生共同归纳总结求平均变化率的步骤：
第1步：求Δx=x2-x1，Δy=f（x2）-f（x1）;
第2步：对所求的差作商得ΔyΔx=f（x2）-f（x1）x2-x1
【练习1】已知某质点按s（t）=2t2 2t，（s的单位为m，t的单位为s）的规律运动，求1. 该质点在前3s内的平均速度;2. 该质点在前2s到3s内的平均速度。
【生】在笔记本上演算过程。
【师】巡视，将学生中典型的解题过程拍照，通过希沃授课助手上传至电脑屏幕，展示给全班同学，并进行点评。
思考：数学中的平均变化率的物理意义是什么？
是把位移s看成时间t的函数s=s（t）在时间段[t1，t2]上的平均速度，即V=s（t2）-s（t1）t2-t1
【设计意图】通过课堂例题与练习，让学生经历应用新知的过程，将知识转化为学生的个体经验，进而深化学生对所学知识的掌握。利用希沃授课助手等现代化技术手段可以节省课堂时间，并精准点评，提高课堂效率。
【探究几何意义】
观察函数f（x）的图像，平均变化率ΔyΔx=f（x2）-f（x1）x2-x1的几何意义是什么？
提示：直线AB的斜率公式
【生】学生结合图像思考问题，并演算回答。
【设计意图】问题的目的是：
①让学生加深对平均变化率的理解;
②为下节课学习导数的几何意义做辅垫;
③提升学生数形结合的能力。
【练习2】已知曲线y=x2-1上两点A（2，3），A′（2 Δx，3 Δy）
当Δx=1时，割线AA′的斜率是
关键词：核心素养;单元起始课;高中数学教学
《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，“高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养。”在核心素养的指引下，高中数学教学应不断地改进教学方法，创新教学手段，将核心素养的培养落实到课堂上，提高学生的核心素养，促进学生全面发展。由于高中数学知识体系具有环环相扣、层层递进的特征，因此，在高中数学教学中，单元起始课是单元教学的“先行组织者”，它虽然只是某一个单元的第一课时，但是教师却需要有全局观，由木见林，从全单元教学的角度思考，如何走好起始课第一步。以核心素养为本的高中数学章节起始课教学中，教师应认真研究教学内容，将生活实际与教学内容有机结合，让数学知识回归生活，将抽象的数学知识与现实的生活问题融合到一起，激发学生的探索欲望，让学生体会数学学习的乐趣，从而提高数学课堂教学效率。文章以《导数》单元的第一课时“平均变化率”为例，研究以核心素养为本的单元起始课的教学设计。
一、 以核心素养为本的单元起始课教学设计
导数有着丰富的历史背景和知识联系，是解决函数问题的重要方法。根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》对导数这一专题的学业要求，学生需要通过实例分析，经历由平均变化率，到瞬时变化率的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，培养学生的数学抽象、逻辑推理能力，并着重培养学生数学语言（尤其是符号语言）表达能力。“平均变化率”作为导数单元的起始课，理所当然要承担起先锋的作用，本节课的教学重点应放在通过实例探究、归纳、理解平均变化率的概念上。而由于学生初次接触平均变化率及其符号表示，可能对平均变化率概念的理解以及生活现象和物理问题做出合理的数学阐释存在一定的困难。因此，教师在开展教学时，首先要明确这节课的重要意义，其次要让学生明白课程的主要内容，从实际生活引出数学问题，从中抽象出平均变化率的概念，并帮助学生建立解决问题的数学模型，并感受运用所学知识的必要性，之后让学生了解平均变化率的现实意义、学会学以致用，让学生通过思考、探究、表达等方式，体会到数学是如何从生活中而来，又是如何回归到生活中去的，促进学生数学核心素养发展。
（一）介绍引言，突显数学文化
在教学中，部分教师经常会直接跳过章前引言和图例直接进入知识点教学。事实上，教材中章前引言和图例对学生建构本章知识体系有着重要的意义，能够概括整章的框架结构和知识内容，是引入新知识的重要工具之一。
【师】17世纪，在欧洲资本主义发展初期，科学领域最突出的成就是什么呢？是微积分的产生。我们班的某某同学制作了一份关于微积分创立史的小视频。我们一起来欣赏一下。（展示视频）
【师】从今天这节课开始，我们将利用丰富的背景和大量的实例，学习导数的基本概念和思想方法，并应用导数继续研究函数的性质、解决生活中的最优化问题等。（PPT以导图的形式，展示本单元的知识结构体系。）
【设计意图】张奠宙教授曾说：数学文化必须走向课堂，让数学文化渗透在数学课堂中，让学生在学习数学知识的同时充分领略数学文化独特的美丽与丰富，并在欣赏数学，阅读数学，交流数学和运用数学中充分展现自己。本节课一开始就展示了学生制作的微积分史料视频，利用优秀同伴的引领，充分调动了学生参与课堂的积极性、学习数学的兴趣，从数学史的角度切入，将数学史融入教学中，渗透数学文化，自然进入课题内容。
（二）探究新知，提高数学素养
1. 【合作探究】（用数学眼光观察世界）
（1）探究“气球膨胀率”问题
【师】（拿出一个气球）同学们都吹过气球吧，大家仔细观察一下吹气球的过程，（教师演示吹气球）如果每次吹入差不多的气体，那么气球变大的速度一样吗？
可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。那么，如何从数学角度描述这种现象呢？
这个问题中涉及两个变量：气球空气容量，即气球体积V，气球半径r
而气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm）之间的函数关系式为V（r）=43πr3
如果将半径r表示为体积V的函数，那么可以得到r（V）=33V4π
【活动】师生共同分析r（V）=33V4π
【生】依次计算当V从0增加到1，以及V从1增加到2时，气球半径的增加量、气球的平均膨胀率，并比较大小。
从数据可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了。
【思考】当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？
解析：r（V2）-r（V1）V2-V1
（2）探究“高台跳水”问题
【师】在高台跳水运动中，运动员相對于水面的高度h（单位：米）与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h（t）=-4.9t2 6.5t 10。
如何用运动员在某些时间段内的平均速度，粗略地描述其运动状态？
【生】学生计算0≤t≤0.5和1≤t≤2的平均速度v，并举手回答。
【师】解析：h（t）=-4.9t2 6.5t 10
v=h（0.5）-h（0）0.5-0=4.05（m/s）
在1≤t≤2时，v=h（2）-h（1）2-1=-8.2（m/s）
【设计意图】两个探究让学生通过观察、计算、归纳得到结论，设置的问题由易到难，让学生由特殊到一般，一步一个台阶，为引入变化率的概念以及加深学生对变化率概念的理解打下基础，同时培养学生的逻辑推理能力。 （3）课本第三页探究
计算运动员在0≤t≤6549这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
1. 运动员在这段时间内是静止的吗？
2. 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？
【生】计算和思考，说出自己的发现，并讨论。
得到以下结论：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，并不能准确反映某一刻的运动状态。②需要寻找一个量，能更精确地表示运动员的运动状态。
【设计意图】通过探究，让学生体会到平均速度可以描述运动员某段时间内运动的快慢，但不能表示运动员瞬时的运动状态，以激发学生的求知欲，让学生感受到进一步探究学习的必要性，为下节课引出瞬时速度的概念，提供了良好的问题情境。
2. 【概念抽象与生成】（用数学思维思考世界）
【活动】师生共同归纳出结论
将上述两个探究中变量间的函数关系用y=f（x）表示，于是，探究中的变化率就可以用f（x2）-f（x1）x2-x1这个式子来表示，我们把它称为函数y=f（x）从x1到x2的平均变化率。
引入符号Δx=x2-x1，Δx可看成是对于x1的一个“增量”，即可用x1 Δx代替x2
类似地，引入符号Δy=f（x2）-f（x1），于是，平均变化率可以表示为：ΔyΔx=f（x2）-f（x1）x2-x1
【设计意图】探究（1）的气球问题和探究（2）的高台跳水问题都是生活中的函数关系问题，将实际问题转化为数学问题，用数学思维去思考、去解决、去归纳提炼，提升学生的数学抽象素养。
3. 【新知巩固与应用】（用数学语言表达世界）
【例1】 已知函数f（x）=x2，
（1）求函数在x=1，2，3附近的平均变化率，Δx取13，说明哪一点附近的平均变化率最大;
（2）求函数在x0到x0 Δx之间的平均变化率。
师生共同归纳总结求平均变化率的步骤：
第1步：求Δx=x2-x1，Δy=f（x2）-f（x1）;
第2步：对所求的差作商得ΔyΔx=f（x2）-f（x1）x2-x1
【练习1】已知某质点按s（t）=2t2 2t，（s的单位为m，t的单位为s）的规律运动，求1. 该质点在前3s内的平均速度;2. 该质点在前2s到3s内的平均速度。
【生】在笔记本上演算过程。
【师】巡视，将学生中典型的解题过程拍照，通过希沃授课助手上传至电脑屏幕，展示给全班同学，并进行点评。
思考：数学中的平均变化率的物理意义是什么？
是把位移s看成时间t的函数s=s（t）在时间段[t1，t2]上的平均速度，即V=s（t2）-s（t1）t2-t1
【设计意图】通过课堂例题与练习，让学生经历应用新知的过程，将知识转化为学生的个体经验，进而深化学生对所学知识的掌握。利用希沃授课助手等现代化技术手段可以节省课堂时间，并精准点评，提高课堂效率。
【探究几何意义】
观察函数f（x）的图像，平均变化率ΔyΔx=f（x2）-f（x1）x2-x1的几何意义是什么？
提示：直线AB的斜率公式
【生】学生结合图像思考问题，并演算回答。
【设计意图】问题的目的是：
①让学生加深对平均变化率的理解;
②为下节课学习导数的几何意义做辅垫;
③提升学生数形结合的能力。
【练习2】已知曲线y=x2-1上两点A（2，3），A′（2 Δx，3 Δy）
当Δx=1时，割线AA′的斜率是