论文部分内容阅读
[摘 要] 数形结合思想是小学数学学习中不可缺少的重要数学思想之一。教师根据教学需要巧妙地将这种教学思想渗透到教学内容中，使之让学生形成某种数学思维习惯。结合教学实例，从四个不同的方面探讨利用“数形结合”思想，提升学生的数学思维能力。
[关键词] 小学数学；数形结合；思维能力
学生数学知识在几年后也许就忘了，余下的是思想方法。数形结合是一种重要的数学思想，是一种数学素养。数形结合就是将实物、直观图形与代数有机结合，有利于学生养成用数学思维方法思考、解决数学问题，高效、快乐地学好数学知识。数形结合思想广泛应用小学数学教学过程，具体从以下几个方面进行探讨。
一、在概念形成中应用“数形结合”——兴趣盎然
建构主义认为学生学习活动的本质是：学习并非对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。小学生思维具有很大的具体形象性。概念知识语言抽象，学生很难从本质上完成概念的构建与理解，概念知识枯燥无味，制约学生课堂学习积极性，在教学中应用数形结合方法，为学生提供丰富的感性材料——直观的“形”，能更好帮助学生感知概念的形成。
例如，在“小数的意义”教学中，很多学生对“一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几……”这些抽象的概念语言无法理解。在教学时，教师可以借助正方形或长方形纸，将正方形或长方形纸平均分成4份、9份、10份（图1），教师引导学生分一分、涂一涂、找一找，帮助学生理解0.1的含义；再结合“把一个正方形平均分成100份”帮助学生理解0.01的含义。学生对正方形、长方形比较熟悉，运用正方形、长方形这两个直观图将小数意义表现出来，有效帮助学生感知小数概念形成过程，理解小数意义。
在上面的概念教学中，将图形渗进去，把抽象的数学概念直观化，找到了概念的本质特征，有效地将学生的学习兴趣激发出来。因为从“数”到“形”，再由“形”理解含义，学生对小数“0.1、0.01”的概念表征理解更為具体，既培养了学生应用几何图形描述数学概念的能力，又增强了学生的数感，从而也提升了数学思维。
二、在解决问题中应用“数形结合”——画龙点睛
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”教学过程中，教师若恰当地使用几何直观，把“数”和“形”结合起来，将几何图形的变化过程呈现出来，则能直观地显示实际问题所表达的含义，有效地激发学生寻找解决问题思路，突破学习的重难点，拓展数学思维。
例如，在解决实际问题中，笔者曾设计一道数学题目：“我市东方红小学有一块长方形花圃，长8米，宽6米。在修建校园时，花圃的长增加了3米，宽增加3米，花圃的面积增加多少平方米？”由于刚开始教师没有画示意图，部分学生容易理解成增加的面积是一个正方形：3×3=9平方米。此时，教师就不妨鼓励学生尝试画示意图，并适机点拨，于是部分学生展示直观示意图（图2），其他学生对增加部分面积形状一目了然，不再是原先理解的正方形，而是L形。几何直观作用显而易见，学生清楚看出长方形变化过程，看出变与不变的量，知道增加部分面积形状，难点知识攻破，思维活跃，快速理清数量关系，通过分割成几个长方形来求增加部分的面积，顺利地解决问题。问题中隐藏的数量关系不容易直接观察，让学生有意识地借助几何直观去思考数量关系，数形结合，是一种重要解决问题策略，提高思维能力，开拓思维视野。又如，一道计算题：[1012-992]，解决这道计算题，大部分学生采用直接计算两个数的平方再相减。若教师引导学生尝试画图，将数转化成图形（图3）。学生发现边长为101的正方形减去边长为99的正方形，余下就是101 100 100 99=400。这是一道平方差知识计算题，即求一个数的平方，教师结合正方形引导学生找到很好的“数形”连结点，自然将数转化成形，“以形助数”画龙点睛。巧妙解决问题，提升数学思维品质。
可见，教师在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来时需要注意到问题的具体情形，即注意图形的问题转化为数量关系的问题，会让那些复杂实际问题简单化，抽象问题具体化。
三、在探究规律时应用“数形结合”——水到渠成
新课程的三大特点：重过程，重体验，重探究。小学数学知识中有许多探究规律的知识，小学生天性好奇，喜欢探究新事物。中小学数学学习中，关于计算教学、计算技巧等属于数学算理知识内容。算理就是计算方法的道理，很多小学生不明白其中的算理又怎能更好地掌握计算方法？在数学算理学习时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，应给学生创造一个探究的空间，应用数形结合，使学生在探究规律时多了“一把开渠铲子”，水到渠成，也是帮助学生正确理解算理的一种很好的方式。
例如，在教学“乘法分配律”时，其乘法分配律定义：“两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘后再相加，即用字母符号表示为：[a×（b c）=a×b a×c]”，这个乘法分配规律对很多学生的理解存在挑战。在具体教学中，教师不妨结合直观图形帮助学生感知乘法分配律，先提供不同颜色的方砖图（图4-1）让学生计算方砖块数，结合学生不同列式方法，学生很快明白先求一行方砖数共有三行“[3×（4 6）]”，与先求两种方砖数再相加“[3×4 3×6]”，结果是相等的；或者借助长方形（图4-2）让学生求出长方形的面积，学生很快知道两块不同长方形面积等于大长方形面积，学生借助图形对乘法分配律进行形象化理解，从而更准确把握规律本质。这里，教师巧妙地应用数形结合思想，给乘法分配律提供了丰富的图形补充，通过图形把规律形象化，乘法分配律[a×（b c）=a×b a×c]很自然地从学生口中说出，乘法分配律的本质特征形象展现在学生面前，数学思维不断完善，实现课堂教学水到渠成。
四、在融化错误时应用“数形结合”——柳暗花明
教育家布鲁纳说“错误都是有价值的。”当学生学习出现错误时，教师若能应用有效手段及时地化错，巧妙地融错，那将会是一次次师生、生生之间思维碰撞，不断激活思维、智慧的教学过程。
例如，在学习“连乘解决问题”教学中，笔者提出一道生活实际题目：“学校运动会上，王老师买2箱矿泉水，每箱12瓶，每瓶3元，问王老师买这么多水花了多少钱？”学生尝试独立完成，学生列出多种算式：12×2×3，12×3×2，3×2×12，……一位学生写：12×（2 3），另一位学生写：12×2=24，12×3=36，他表情显然能看出还在犹豫。这些“错误”不正是暴露学生思维疑惑点吗？于是，出示方格图（如图5）。教师在引导孩子寻找“12个3元”，通过观察方格图，“噢！”地一声，孩子会心地笑了，很快从中正确地找到“12个3元”，而且明白“12个3元”有2份，将12×（2 3）纠正为12×3 12×3就是12×3×2。另一位学生也明白自己想的是两种方法，只不过没有将最终问题解决，12×3=36只是一箱矿泉水的钱，还要乘2份，12×2=24是一共多少瓶矿泉水，还要乘每瓶3元。可见“数形结合”搭桥铺路，让出错孩子思维锋回路转、柳暗花明，理清数量关系，解决了问题，享受学习过程，思维再一次飞跃。
五、小结
小学数学教学过程当中渗透着许多数学思想，数形结合思想是一种非常重要的方法。教师要从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，有目的、有计划地进行渗透数形结合思想的教学，让学生体会通过“数”“形”相互转化来解决问题，养成“眼中见数、脑中思形”的良好习惯，使学生逐步形成数形结合思想，使学生的思维荡起双桨，推开波浪，开启智慧旅程。
[参 考 文 献]
[1]乐美霞.小学数学中的“数形结合”教学[J].小学科学（教师论坛），2011（12）.
[2]汪渭芳.“数形结合”天地宽——数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用[J].小学教学参考（数学版），2010（6）.
[3]刘伟.小学数学“数形结合”思想方法在教材中的渗透[J].新课程学习（基础教育），2010（8）.
（责任编辑：李雪虹）
[关键词] 小学数学；数形结合；思维能力
学生数学知识在几年后也许就忘了，余下的是思想方法。数形结合是一种重要的数学思想，是一种数学素养。数形结合就是将实物、直观图形与代数有机结合，有利于学生养成用数学思维方法思考、解决数学问题，高效、快乐地学好数学知识。数形结合思想广泛应用小学数学教学过程，具体从以下几个方面进行探讨。
一、在概念形成中应用“数形结合”——兴趣盎然
建构主义认为学生学习活动的本质是：学习并非对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。小学生思维具有很大的具体形象性。概念知识语言抽象，学生很难从本质上完成概念的构建与理解，概念知识枯燥无味，制约学生课堂学习积极性，在教学中应用数形结合方法，为学生提供丰富的感性材料——直观的“形”，能更好帮助学生感知概念的形成。
例如，在“小数的意义”教学中，很多学生对“一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几……”这些抽象的概念语言无法理解。在教学时，教师可以借助正方形或长方形纸，将正方形或长方形纸平均分成4份、9份、10份（图1），教师引导学生分一分、涂一涂、找一找，帮助学生理解0.1的含义；再结合“把一个正方形平均分成100份”帮助学生理解0.01的含义。学生对正方形、长方形比较熟悉，运用正方形、长方形这两个直观图将小数意义表现出来，有效帮助学生感知小数概念形成过程，理解小数意义。
在上面的概念教学中，将图形渗进去，把抽象的数学概念直观化，找到了概念的本质特征，有效地将学生的学习兴趣激发出来。因为从“数”到“形”，再由“形”理解含义，学生对小数“0.1、0.01”的概念表征理解更為具体，既培养了学生应用几何图形描述数学概念的能力，又增强了学生的数感，从而也提升了数学思维。
二、在解决问题中应用“数形结合”——画龙点睛
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”教学过程中，教师若恰当地使用几何直观，把“数”和“形”结合起来，将几何图形的变化过程呈现出来，则能直观地显示实际问题所表达的含义，有效地激发学生寻找解决问题思路，突破学习的重难点，拓展数学思维。
例如，在解决实际问题中，笔者曾设计一道数学题目：“我市东方红小学有一块长方形花圃，长8米，宽6米。在修建校园时，花圃的长增加了3米，宽增加3米，花圃的面积增加多少平方米？”由于刚开始教师没有画示意图，部分学生容易理解成增加的面积是一个正方形：3×3=9平方米。此时，教师就不妨鼓励学生尝试画示意图，并适机点拨，于是部分学生展示直观示意图（图2），其他学生对增加部分面积形状一目了然，不再是原先理解的正方形，而是L形。几何直观作用显而易见，学生清楚看出长方形变化过程，看出变与不变的量，知道增加部分面积形状，难点知识攻破，思维活跃，快速理清数量关系，通过分割成几个长方形来求增加部分的面积，顺利地解决问题。问题中隐藏的数量关系不容易直接观察，让学生有意识地借助几何直观去思考数量关系，数形结合，是一种重要解决问题策略，提高思维能力，开拓思维视野。又如，一道计算题：[1012-992]，解决这道计算题，大部分学生采用直接计算两个数的平方再相减。若教师引导学生尝试画图，将数转化成图形（图3）。学生发现边长为101的正方形减去边长为99的正方形，余下就是101 100 100 99=400。这是一道平方差知识计算题，即求一个数的平方，教师结合正方形引导学生找到很好的“数形”连结点，自然将数转化成形，“以形助数”画龙点睛。巧妙解决问题，提升数学思维品质。
可见，教师在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来时需要注意到问题的具体情形，即注意图形的问题转化为数量关系的问题，会让那些复杂实际问题简单化，抽象问题具体化。
三、在探究规律时应用“数形结合”——水到渠成
新课程的三大特点：重过程，重体验，重探究。小学数学知识中有许多探究规律的知识，小学生天性好奇，喜欢探究新事物。中小学数学学习中，关于计算教学、计算技巧等属于数学算理知识内容。算理就是计算方法的道理，很多小学生不明白其中的算理又怎能更好地掌握计算方法？在数学算理学习时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，应给学生创造一个探究的空间，应用数形结合，使学生在探究规律时多了“一把开渠铲子”，水到渠成，也是帮助学生正确理解算理的一种很好的方式。
例如，在教学“乘法分配律”时，其乘法分配律定义：“两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘后再相加，即用字母符号表示为：[a×（b c）=a×b a×c]”，这个乘法分配规律对很多学生的理解存在挑战。在具体教学中，教师不妨结合直观图形帮助学生感知乘法分配律，先提供不同颜色的方砖图（图4-1）让学生计算方砖块数，结合学生不同列式方法，学生很快明白先求一行方砖数共有三行“[3×（4 6）]”，与先求两种方砖数再相加“[3×4 3×6]”，结果是相等的；或者借助长方形（图4-2）让学生求出长方形的面积，学生很快知道两块不同长方形面积等于大长方形面积，学生借助图形对乘法分配律进行形象化理解，从而更准确把握规律本质。这里，教师巧妙地应用数形结合思想，给乘法分配律提供了丰富的图形补充，通过图形把规律形象化，乘法分配律[a×（b c）=a×b a×c]很自然地从学生口中说出，乘法分配律的本质特征形象展现在学生面前，数学思维不断完善，实现课堂教学水到渠成。
四、在融化错误时应用“数形结合”——柳暗花明
教育家布鲁纳说“错误都是有价值的。”当学生学习出现错误时，教师若能应用有效手段及时地化错，巧妙地融错，那将会是一次次师生、生生之间思维碰撞，不断激活思维、智慧的教学过程。
例如，在学习“连乘解决问题”教学中，笔者提出一道生活实际题目：“学校运动会上，王老师买2箱矿泉水，每箱12瓶，每瓶3元，问王老师买这么多水花了多少钱？”学生尝试独立完成，学生列出多种算式：12×2×3，12×3×2，3×2×12，……一位学生写：12×（2 3），另一位学生写：12×2=24，12×3=36，他表情显然能看出还在犹豫。这些“错误”不正是暴露学生思维疑惑点吗？于是，出示方格图（如图5）。教师在引导孩子寻找“12个3元”，通过观察方格图，“噢！”地一声，孩子会心地笑了，很快从中正确地找到“12个3元”，而且明白“12个3元”有2份，将12×（2 3）纠正为12×3 12×3就是12×3×2。另一位学生也明白自己想的是两种方法，只不过没有将最终问题解决，12×3=36只是一箱矿泉水的钱，还要乘2份，12×2=24是一共多少瓶矿泉水，还要乘每瓶3元。可见“数形结合”搭桥铺路，让出错孩子思维锋回路转、柳暗花明，理清数量关系，解决了问题，享受学习过程，思维再一次飞跃。
五、小结
小学数学教学过程当中渗透着许多数学思想，数形结合思想是一种非常重要的方法。教师要从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，有目的、有计划地进行渗透数形结合思想的教学，让学生体会通过“数”“形”相互转化来解决问题，养成“眼中见数、脑中思形”的良好习惯，使学生逐步形成数形结合思想，使学生的思维荡起双桨，推开波浪，开启智慧旅程。
[参 考 文 献]
[1]乐美霞.小学数学中的“数形结合”教学[J].小学科学（教师论坛），2011（12）.
[2]汪渭芳.“数形结合”天地宽——数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用[J].小学教学参考（数学版），2010（6）.
[3]刘伟.小学数学“数形结合”思想方法在教材中的渗透[J].新课程学习（基础教育），2010（8）.
（责任编辑：李雪虹）