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摘 要:对称性是函数的一个重要性质,在很多问题中都可以运用。教师应该改变教学方法,不能一味地强调多训练,而是要引导学生在训练中及时总结。要引导学生思考,函数的对称性包括哪几个方面,在不同类型问题中如何应用等等。本文将从函数自身的对称、不同函数的对称性、函数对称性应用举例等三个方面来探讨对称性在函数问题中的应用。
关键词:高中数学;函数;对称性;应用古人云:学而不思则罔,思而不学则殆。学习和思考是一对孪生兄弟,少了任何一个方面,学习成绩就很难有质的提升。在教学中,我发现不少学生,训练了大量的数学习题,却不知道从训练中去总结规律,难以形成系统性的知识清单。所以教师应该将教学重心放在引导学生构建知识网络,总结出知识点的规律,使学生在训练中能做到举一反三。
函数的对称性是函数的一个重要性质,对称关系广泛存在于数学问题之中,利用对称性能更简捷地解决问题。函数的对称包括函数自身的对称性和不同函数之间的对称性。下面具体分析各个方面:
一、函数自身的对称
定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是:f (x) + f (2a-x) = 2b
推论:函数 y = f (x)的图像关于原点的对称的充要条件是f (x) + f (-x) = 0
定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是
f (a +x) = f (a-x) 即f (x) = f (2a-x)
推论:函数 y = f (x)的图像关于y轴对称(实际是偶函数)的充要条件是f (x) = f (-x)
定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 (a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。
二、不同函数对称性
定理4. 函数y = f (x)与y = 2b-f (2a-x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。
定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a-x)的图像关于直线x = a成轴对称。
②函数y = f (x)与a-x = f (a-y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。
③函数y = f (x)与x-a = f (y + a)的图像关于直线x-y = a成轴对称。
推论:函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称(实际是函数与反函数的问题)。
三、函数对称性应用举例
例1:定义在R上的非常数函数满足:f(x+10)为偶函数,且f(5-x)=f(5+x),则f(x)一定是( )
A. 是偶函数,也是周期函数 B. 是偶函数,但不是周期函数
C. 是奇函数,也是周期函数 D. 是奇函数,但不是周期函数
解:因为f(x+10)为偶函数,所以f(10+x)=f(10-x)。所以f(x)有两条对称轴x=5与x=10,因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数,所以x=0即y轴也是f(x)的对称轴,因此f(x)还是一个偶函数。故选(A)。
2:设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数,并且f(x-1)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y = x对称,若g(5) = 1999,那么f(4)=( )。
(A)1999 (B)2000 (C)2001 (D)2002。
解:∵y = f(x-1)和y = g-1(x-2)函数的图像关于直线y = x对称,
∴y = g-1(x-2) 反函数是y = f(x-1),而y = g-1(x-2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x-1) = 2 + g(x), ∴有f(5-1) = 2 + g(5)=2001
故f(4) = 2001,应选(C)
例3.设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1+x)= f(1-x),当-1≤x≤0时,
f (x) = -[12]x,则f (8.6 ) = _________(第八届希望杯高二 第一试题)
解:∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴;
又∵f(1+x)= f(1-x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数,∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (-0.6 ) = 0.3
例4.函数 y = sin (2x + [5π2])的图像的一条对称轴的方程是()(92全国高考理)
(A) x = -[π2] (B) x = -[π4]
(C) x = [π8] (D) x =[5π4]
解:函数 y = sin (2x + [5π2])的图像的所有对称轴的方程是2x + [5π2] = k[π]+[π2]
∴x = [kπ2]-[π],顯然取k = 1时的对称轴方程是x = -[π2] 故选(A)
例5. 设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)= -f(x),当0≤x≤1时,
f (x) = x,则f (7.5 ) = ( )
(A)0.5 (B) -0.5
(C) 1.5 (D) -1.5
解:∵y = f (x)是定义在R上的奇函数,∴点(0,0)是其对称中心;
又∵f (x+2 )= -f (x) = f (-x),即f (1+ x) = f (1-x), ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴,故y = f (x)是周期为2的周期函数。
∴f (7.5 ) = f (8-0.5 ) = f (-0.5 ) = -f (0.5 ) =-0.5 故选(B)
通过上述梳理和举例,相信大家对函数对称性已经有了更加全面的认识,大家在以后的学习中也要不断总结,力争对函数有一个更深的了解。
关键词:高中数学;函数;对称性;应用古人云:学而不思则罔,思而不学则殆。学习和思考是一对孪生兄弟,少了任何一个方面,学习成绩就很难有质的提升。在教学中,我发现不少学生,训练了大量的数学习题,却不知道从训练中去总结规律,难以形成系统性的知识清单。所以教师应该将教学重心放在引导学生构建知识网络,总结出知识点的规律,使学生在训练中能做到举一反三。
函数的对称性是函数的一个重要性质,对称关系广泛存在于数学问题之中,利用对称性能更简捷地解决问题。函数的对称包括函数自身的对称性和不同函数之间的对称性。下面具体分析各个方面:
一、函数自身的对称
定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是:f (x) + f (2a-x) = 2b
推论:函数 y = f (x)的图像关于原点的对称的充要条件是f (x) + f (-x) = 0
定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是
f (a +x) = f (a-x) 即f (x) = f (2a-x)
推论:函数 y = f (x)的图像关于y轴对称(实际是偶函数)的充要条件是f (x) = f (-x)
定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 (a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。
二、不同函数对称性
定理4. 函数y = f (x)与y = 2b-f (2a-x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。
定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a-x)的图像关于直线x = a成轴对称。
②函数y = f (x)与a-x = f (a-y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。
③函数y = f (x)与x-a = f (y + a)的图像关于直线x-y = a成轴对称。
推论:函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称(实际是函数与反函数的问题)。
三、函数对称性应用举例
例1:定义在R上的非常数函数满足:f(x+10)为偶函数,且f(5-x)=f(5+x),则f(x)一定是( )
A. 是偶函数,也是周期函数 B. 是偶函数,但不是周期函数
C. 是奇函数,也是周期函数 D. 是奇函数,但不是周期函数
解:因为f(x+10)为偶函数,所以f(10+x)=f(10-x)。所以f(x)有两条对称轴x=5与x=10,因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数,所以x=0即y轴也是f(x)的对称轴,因此f(x)还是一个偶函数。故选(A)。
2:设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数,并且f(x-1)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y = x对称,若g(5) = 1999,那么f(4)=( )。
(A)1999 (B)2000 (C)2001 (D)2002。
解:∵y = f(x-1)和y = g-1(x-2)函数的图像关于直线y = x对称,
∴y = g-1(x-2) 反函数是y = f(x-1),而y = g-1(x-2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x-1) = 2 + g(x), ∴有f(5-1) = 2 + g(5)=2001
故f(4) = 2001,应选(C)
例3.设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1+x)= f(1-x),当-1≤x≤0时,
f (x) = -[12]x,则f (8.6 ) = _________(第八届希望杯高二 第一试题)
解:∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴;
又∵f(1+x)= f(1-x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数,∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (-0.6 ) = 0.3
例4.函数 y = sin (2x + [5π2])的图像的一条对称轴的方程是()(92全国高考理)
(A) x = -[π2] (B) x = -[π4]
(C) x = [π8] (D) x =[5π4]
解:函数 y = sin (2x + [5π2])的图像的所有对称轴的方程是2x + [5π2] = k[π]+[π2]
∴x = [kπ2]-[π],顯然取k = 1时的对称轴方程是x = -[π2] 故选(A)
例5. 设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)= -f(x),当0≤x≤1时,
f (x) = x,则f (7.5 ) = ( )
(A)0.5 (B) -0.5
(C) 1.5 (D) -1.5
解:∵y = f (x)是定义在R上的奇函数,∴点(0,0)是其对称中心;
又∵f (x+2 )= -f (x) = f (-x),即f (1+ x) = f (1-x), ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴,故y = f (x)是周期为2的周期函数。
∴f (7.5 ) = f (8-0.5 ) = f (-0.5 ) = -f (0.5 ) =-0.5 故选(B)
通过上述梳理和举例,相信大家对函数对称性已经有了更加全面的认识,大家在以后的学习中也要不断总结,力争对函数有一个更深的了解。