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摘要：“说数学”，即学生用自己掌握的数学语言来阐述对所学数学知识、问题和方法的认识、理解与选择，表达自己对数学学习、认知和解题等的体验、感悟和情绪，进而与老师对话、与同学交流。在梳理高三解题教学中“说数学”的可行性与必要性的基础上，提出实践路径：重点在理解题意、寻找思路、总结反思环节，通过一些提示语，让学生明确需要做什么，并且把做的过程和结果说出来。
关键词：说数学解题教学理解题意寻找思路总结反思
《普通高中数学课程标准（2017年版）》把“提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”作为“课程性质”之一，在“学科核心素养”的解读中也多次提到数学语言表达与交流能力的重要性。那如何落实这些理念呢？
结合多年的教学经验，笔者认为，可以采取“说数学”的方式，即让学生用自己掌握的数学语言来阐述对所学数学知识、问题和方法的认识、理解与选择，表达自己对数学学习、认知和解题等的体验、感悟和情绪，进而与老师对话、与同学交流。“说数学”活动，能够引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界;促进学生克服表达障碍，会用数学语言表达世界;进而让学生从更加宽阔的视角审视数学学习，有效提高数学解题能力。
一、高三解题教学中“说数学”的可行性与必要性
（一）可行性
首先，经过高一、高二的数学学习，学生已经对高中数学知识有了丰富的储备，对高中数学课程体系有了基本的了解，熟悉一些处理数学问题的基本思想方法，具备了一定的数学素养和思维水平。这为高三解题教学中“说数学”活动的开展提供了前提条件。
其次，在种类繁多的数学问题的解决过程中我们可以发现，许多问题的解决实质上包含了一个程序、一系列的动作和一套运算系统。这让高三解题教学中“说数学”活动的开展具备了有效的操作范式。
（二）必要性
1.让学生真正参与思维过程，“知其所以然”，提升解題能力。
长期以来，高三解题教学自觉或不自觉地遵从了教师权威、解法本位和精英主义的教育价值取向，于是“满堂灌”“飞来解”“快速过”成为普遍存在的现象。在这样的教学模式下，学生只能被动接受解题的结果，无法真正参与思维的过程;只能“知其然”，无法“知其所以然”;只能机械模仿，无法灵活应用。学生缺少体验和理解，解题能力停留在较低的层次——表现为“听得懂、说不出、写不全、算不对”，即“似会”。
语言是思维的载体，数学思维是数学语言的内在表达。“想清楚”才（就）能“说明白”。解题教学中的“说数学”活动可突出学生的主体地位，让学生在说的过程中关注自己的思维过程，发现解法中的一些实质性步骤、关键性环节及其动机和来源（波利亚所谓的“病历”），进一步理清自己解决问题的模式和思路，积累属于自己的解题经验与方法，进而真正提高解题能力，实现“真会”。
2.让学生充分优化思维表达，发展理性思维，改善学习态度。
“说数学”不仅是一个表达自己想法的过程，而且是一个使别人理解、信服的过程。在解题教学中，要让别人理解、信服自己的话，就必须在意识原生的基础上经过辨别、选择、分析、综合、联系、比较、概括、提炼、组织、整理等一系列思维优化的过程，进而简明流畅、有理有据地表达出来。
在这个“能说—会说—说好”的过程中，学生能够充分发展理性思维，改善学习态度——这些也是学习金字塔理论认为“讲出来”、做“小老师”，才能“学进去”、才是最好的学习方式的原因。
二、高三解题教学中“说数学”的实践路径
波利亚解题模型将数学解题分为理解题目、拟订方案、执行方案、回顾四个步骤，也就是我们解题教学中常说的理解题意、寻找思路、书写解答、总结反思四个环节。因为在教学中，解题活动最终呈现的往往只有书写解答环节，所以，笔者重点在理解题意、寻找思路、总结反思环节，通过一些提示语，让学生明确需要做些什么，并且把做的过程和结果说出来。通过这样的“说数学”活动，提高学生的思维能力、表达能力以及解题能力。
（一）在理解题意环节“说数学”
理解题意是解题活动的开始，也是最重要的一步。波利亚指出：在理解题目时，首先要理解题目的语言陈述——弄清楚未知量是什么，已知数据是什么，条件是什么;其次要深入理解题目——将题目的主要部分分离出来，弄清楚那些后续很可能会起作用的细节。
为此，笔者尝试使用如下提示语，引导学生在理解题意环节“说数学”：（1）这是一个什么问题？要求（证）的是什么？（考查什么知识点？越具体越好）（2）已知条件有哪些？（弄清楚每个已知条件的含义）（3）主要条件和关键细节是什么？（明确可能需要深究或转换的已知条件）（4）解决这个问题有哪些工具？（联想相关概念、命题、公式、方法）当然，这些提示语不是让学生做简单的形式上的思考和回答，还需要学生深究与题目相关的每一个对象、性质及相互关系与转化。只有这样，题意理解才能发挥解题功效。
例1在平面直角坐标系xOy中，已知A（-12，0）、B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上，若PA·PB≤20，则点P的横坐标的取值范围是。
对于此题，学生在上述提示语的引导下，说出了如下一些理解题意相关的内容：
（1）这是一个求变量范围的问题，要求点P的横坐标的取值范围。
（2）已知A（-12，0）、B（0，6），即两个定点;点P在圆O：x2+y2=50上，表示点P的坐标满足圆O的方程x2+y2=50;PA·PB≤20，表示向量PA与PB的数量积小于或等于20。
（3）与点P的横坐标直接有关的主要条件有两个：一是点P在圆O：x2+y2=50上;二是PA·PB≤20。对两者可以进行几何转化。对后者可以深究，从而得到：点P在另一个定圆内。 （4）范围问题的代数方法是解变量满足的不等式或建立变量的函数后求其值域，几何方法为转换为图形位置关系研究。
……
学生“说题意”后，教师点评：深入理解题意就是盯住结论点P的横坐标的取值范围，追问关键条件PA·PB≤20是什么，深究主要条件“点P在圆O：x2+y2=50上”与“PA·PB≤20”之间，以及它们与结论“点P的横坐标的取值范围”之间有什么联系及转换。
（二）在寻找思路环节“说数学”
寻找思路就是把理解题意中捕捉到的信息与从自己的经验中提取出的信息结合起来，进行加工、重组与再生的过程。因为理解题意角度的不同，自己经验的不同，加工、重组与再生方式的不同，所以产生的解题思路也可能不同。在解题教学中，学生往往能听懂或看懂别人的解题过程，但是对其中的“奇思妙想”很难接受，因为自己很难想到。所以，了解解题过程是怎样产生的、背后的思路（想法）是什么，是提高解题能力的关键。
波利亚指出，一种解题的方法，如果是经过自己的努力得到的，或者是从别人那里学来的，但经过了自己的体验，那么对于自己来讲，就可以成为一个范式：再碰见其他类似问题时，就成为可以仿照的模型。所以，“说解题思路”的关键在于说清楚思路（想法）的来源，让听者更容易理解和接受，最好能激发共同体验，产生共鸣。
为此，笔者尝试使用如下提示语，引导学生在寻找思路环节“说数学”：（1）思路来源是什么？（由什么条件或结构想到的？越具体越好）（2）使用的知识与方法是什么？（知识越具体越好，方法可以有不同的层次）（3）具体的思路是什么？（给出解题的主要步骤或关键环节）
例2已知实数x>0，y>0，且满足8x+2y=1，求x+y的最小值。
对于此题，学生在上述提示语的引导下，说出了如下一些解题思路相关的内容：
（1）我的思路来源于本题的条件和结论符合利用基本不等式求最值的一个常见模型：当x>0，y>0，且ax+by=c（a、b、c为正常数），求x+y的最值。使用的知识是基本不等式。方法是常数代换法，本题是“1”的代换。具体过程为：x+y=（x+y）8x+2y=10+8yx+2xy≥10+216=18，当且仅当8yx=2xy且8x+2y=1，即x=12，y=6时，等号成立。
（2）我的思路来源于多元变量求最值的消元法：对于二元变量的最值问题，可以利用已知条件消去一个变量，然后看成一元变量的函数最值或不等式问题。使用的知识是等式的性质和基本不等式。方法是代换消元、恒等变形和整体思想。具体过程为：由条件得2x+8y=xy，得y=2xx-8（x>8），所以x+y=x+2xx-8=x-8+16x-8+10≥216+10=18，當且仅当x-8=16x-8，即x=12，y=6时，等号成立。
（3）我的思路来源也是多元变量求最值的消元法，但是在消元后用导数求最值。使用的知识是等式的性质和导数与函数单调性的关系。方法是代换消元和恒等变形。具体过程为：由条件得2x+8y=xy，得y=2xx-8（x>8），所以x+y=x+2xx-8。令f（x）=x+2xx-8，则f′（x）=1-16（x-8）2。令f′（x）=0，得x=12。当x∈（8，12）时， f′（x）<0，故f（x）单调减;当x∈（12，+∞）时， f′（x）>0，故f（x）单调增。所以当x=12时，f（x）取得极小值也是最小值，即fmin（x）=f（12）=18。
（4）我的思路来源于数形结合：将代数方程（式子）看成几何曲线（图形）。使用的知识是函数的图像和方程的曲线。方法是数形结合。具体过程为：令x+y=t，则y=-x+t。由2x+8y=xy，得y=2+16x-8（x>8）。于是，问题转化为研究动直线y=-x+t与定曲线y=2+16x-8（x>8）的位置关系。画出草图可知，当它们相切时，直线在y轴上的截距t取到最小值。由f（x）=2+16x-8，得f′（x）=-16（x-8）2。令f′（x）=-1，解得x=12，y=6。
……
学生“说解题思路”后，教师点评：本题同学们的想法都很好！探究想法背后的“灵感”，可以发现，它们都是因“源”而起的妙招！这个“源”就是多元变量与函数最值问题的常见处理策略。代数方法首先需要消元，无论利用基本不等式直接消元（思路1），还是利用已知等式代入消元（思路2、3），都是可行的，只是方法优劣的差异。几何转化意识也非常重要，数形结合是解题的常用利器。此外，值得一提的是，二次型函数（曲线）求最值（切点）时，还可以采用判别式法。
（三）在总结反思环节“说数学”
总结反思，简单地说，就是解题完成以后回过头来检验自己的解答过程以及得到的答案，更重要的是概括与提炼解决此类问题的规律和模式。波利亚指出，假如想从解题中得到最大的收获，就应当从所做题目中找出它的特征，因为这些特征在以后求解其他问题时，能够起到指引作用。所以，“说总结反思”的关键在于说清楚题目类型、解题所用知识与方法，获得本质上的认识和感悟，形成一类问题的特征和处理方法。
为此，笔者尝试使用如下提示语，引导学生在总结反思环节“说数学”：（1）这个问题的图1
类型是什么？（问题的本质是什么？越具体越好）（2）这个问题的解决对你有什么启发？（获得可以推广的规律或方法）（3）你能否尝试提炼、概括解决该类问题的规律与模式？（尝试利用算法思想表达解决此类问题的流程）
例3已知函数f（x）=x（ex-2），g（x）=x-ln x+k，k∈R。记函数F（x）=f（x）+g（x）。 若F（x）>0的解集为（0，+∞），求k的取值范围。
对于此题，学生在上述提示语的引导下，说出了如下一些总结反思相关的内容：
（1）从理解题意上说，含参函数F（x）>0的解集为定义域，等价于含参函数F（x）在定义域上恒大于0，等价于含参函数F（x）在定义域上的最小值大于0。因此，问题的本质是求函数的最值。
（2）利用导数研究函数F（x）在定义域上的最值（或极值、单调性），需要确定导函数F′（x）在定义域上的符号（正、负或0），可以对导函数F′（x）因式分解，然后舍弃其中符号确定的部分，研究余下符号不确定的部分（本题中为h（x）=ex-1x（x>0）。
（3）研究导函数符号不能确定的部分h（x）的符号（正、负或0），发现零点存在但是难以求出时，可以设为x0，利用零点x0满足的方程（本题中为ex0=1x0）化简原函数的最值F（x0）（本题中最终化为1+k），达到最值不等式可解的目的。
（4）解决利用导数研究函数单调性、极值、最值有关问题的一般模式如图1所示。
学生“说总结反思”后，教师点评：前三位同学对解题过程中的一些关键步骤（方法）做了一般化总结，而最后一位同学则在他们的基础上总结出了解决此类问题的一般模式。非常好！
*本文系江苏省教育科学“十二五”规划立项课题“‘说数学’在高中数学学习中的探索与研究”（编号：D/2015/02/12）和江苏省教育科学“十三五”规划立项课题“回归本质：高中数学解题教学模式创新实践研究”（编号：D/2016/02/69）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] ﹝美﹞G.波利亚.数学的发现：对解题的理解、研究和讲授[M].刘景麟，曹之江，邹清莲，译.北京：科学出版社，2006.
[2] ﹝美﹞G.波利亚.怎样解题：数学思维的新方法[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2007.
关键词：说数学解题教学理解题意寻找思路总结反思
《普通高中数学课程标准（2017年版）》把“提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”作为“课程性质”之一，在“学科核心素养”的解读中也多次提到数学语言表达与交流能力的重要性。那如何落实这些理念呢？
结合多年的教学经验，笔者认为，可以采取“说数学”的方式，即让学生用自己掌握的数学语言来阐述对所学数学知识、问题和方法的认识、理解与选择，表达自己对数学学习、认知和解题等的体验、感悟和情绪，进而与老师对话、与同学交流。“说数学”活动，能够引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界;促进学生克服表达障碍，会用数学语言表达世界;进而让学生从更加宽阔的视角审视数学学习，有效提高数学解题能力。
一、高三解题教学中“说数学”的可行性与必要性
（一）可行性
首先，经过高一、高二的数学学习，学生已经对高中数学知识有了丰富的储备，对高中数学课程体系有了基本的了解，熟悉一些处理数学问题的基本思想方法，具备了一定的数学素养和思维水平。这为高三解题教学中“说数学”活动的开展提供了前提条件。
其次，在种类繁多的数学问题的解决过程中我们可以发现，许多问题的解决实质上包含了一个程序、一系列的动作和一套运算系统。这让高三解题教学中“说数学”活动的开展具备了有效的操作范式。
（二）必要性
1.让学生真正参与思维过程，“知其所以然”，提升解題能力。
长期以来，高三解题教学自觉或不自觉地遵从了教师权威、解法本位和精英主义的教育价值取向，于是“满堂灌”“飞来解”“快速过”成为普遍存在的现象。在这样的教学模式下，学生只能被动接受解题的结果，无法真正参与思维的过程;只能“知其然”，无法“知其所以然”;只能机械模仿，无法灵活应用。学生缺少体验和理解，解题能力停留在较低的层次——表现为“听得懂、说不出、写不全、算不对”，即“似会”。
语言是思维的载体，数学思维是数学语言的内在表达。“想清楚”才（就）能“说明白”。解题教学中的“说数学”活动可突出学生的主体地位，让学生在说的过程中关注自己的思维过程，发现解法中的一些实质性步骤、关键性环节及其动机和来源（波利亚所谓的“病历”），进一步理清自己解决问题的模式和思路，积累属于自己的解题经验与方法，进而真正提高解题能力，实现“真会”。
2.让学生充分优化思维表达，发展理性思维，改善学习态度。
“说数学”不仅是一个表达自己想法的过程，而且是一个使别人理解、信服的过程。在解题教学中，要让别人理解、信服自己的话，就必须在意识原生的基础上经过辨别、选择、分析、综合、联系、比较、概括、提炼、组织、整理等一系列思维优化的过程，进而简明流畅、有理有据地表达出来。
在这个“能说—会说—说好”的过程中，学生能够充分发展理性思维，改善学习态度——这些也是学习金字塔理论认为“讲出来”、做“小老师”，才能“学进去”、才是最好的学习方式的原因。
二、高三解题教学中“说数学”的实践路径
波利亚解题模型将数学解题分为理解题目、拟订方案、执行方案、回顾四个步骤，也就是我们解题教学中常说的理解题意、寻找思路、书写解答、总结反思四个环节。因为在教学中，解题活动最终呈现的往往只有书写解答环节，所以，笔者重点在理解题意、寻找思路、总结反思环节，通过一些提示语，让学生明确需要做些什么，并且把做的过程和结果说出来。通过这样的“说数学”活动，提高学生的思维能力、表达能力以及解题能力。
（一）在理解题意环节“说数学”
理解题意是解题活动的开始，也是最重要的一步。波利亚指出：在理解题目时，首先要理解题目的语言陈述——弄清楚未知量是什么，已知数据是什么，条件是什么;其次要深入理解题目——将题目的主要部分分离出来，弄清楚那些后续很可能会起作用的细节。
为此，笔者尝试使用如下提示语，引导学生在理解题意环节“说数学”：（1）这是一个什么问题？要求（证）的是什么？（考查什么知识点？越具体越好）（2）已知条件有哪些？（弄清楚每个已知条件的含义）（3）主要条件和关键细节是什么？（明确可能需要深究或转换的已知条件）（4）解决这个问题有哪些工具？（联想相关概念、命题、公式、方法）当然，这些提示语不是让学生做简单的形式上的思考和回答，还需要学生深究与题目相关的每一个对象、性质及相互关系与转化。只有这样，题意理解才能发挥解题功效。
例1在平面直角坐标系xOy中，已知A（-12，0）、B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上，若PA·PB≤20，则点P的横坐标的取值范围是。
对于此题，学生在上述提示语的引导下，说出了如下一些理解题意相关的内容：
（1）这是一个求变量范围的问题，要求点P的横坐标的取值范围。
（2）已知A（-12，0）、B（0，6），即两个定点;点P在圆O：x2+y2=50上，表示点P的坐标满足圆O的方程x2+y2=50;PA·PB≤20，表示向量PA与PB的数量积小于或等于20。
（3）与点P的横坐标直接有关的主要条件有两个：一是点P在圆O：x2+y2=50上;二是PA·PB≤20。对两者可以进行几何转化。对后者可以深究，从而得到：点P在另一个定圆内。 （4）范围问题的代数方法是解变量满足的不等式或建立变量的函数后求其值域，几何方法为转换为图形位置关系研究。
……
学生“说题意”后，教师点评：深入理解题意就是盯住结论点P的横坐标的取值范围，追问关键条件PA·PB≤20是什么，深究主要条件“点P在圆O：x2+y2=50上”与“PA·PB≤20”之间，以及它们与结论“点P的横坐标的取值范围”之间有什么联系及转换。
（二）在寻找思路环节“说数学”
寻找思路就是把理解题意中捕捉到的信息与从自己的经验中提取出的信息结合起来，进行加工、重组与再生的过程。因为理解题意角度的不同，自己经验的不同，加工、重组与再生方式的不同，所以产生的解题思路也可能不同。在解题教学中，学生往往能听懂或看懂别人的解题过程，但是对其中的“奇思妙想”很难接受，因为自己很难想到。所以，了解解题过程是怎样产生的、背后的思路（想法）是什么，是提高解题能力的关键。
波利亚指出，一种解题的方法，如果是经过自己的努力得到的，或者是从别人那里学来的，但经过了自己的体验，那么对于自己来讲，就可以成为一个范式：再碰见其他类似问题时，就成为可以仿照的模型。所以，“说解题思路”的关键在于说清楚思路（想法）的来源，让听者更容易理解和接受，最好能激发共同体验，产生共鸣。
为此，笔者尝试使用如下提示语，引导学生在寻找思路环节“说数学”：（1）思路来源是什么？（由什么条件或结构想到的？越具体越好）（2）使用的知识与方法是什么？（知识越具体越好，方法可以有不同的层次）（3）具体的思路是什么？（给出解题的主要步骤或关键环节）
例2已知实数x>0，y>0，且满足8x+2y=1，求x+y的最小值。
对于此题，学生在上述提示语的引导下，说出了如下一些解题思路相关的内容：
（1）我的思路来源于本题的条件和结论符合利用基本不等式求最值的一个常见模型：当x>0，y>0，且ax+by=c（a、b、c为正常数），求x+y的最值。使用的知识是基本不等式。方法是常数代换法，本题是“1”的代换。具体过程为：x+y=（x+y）8x+2y=10+8yx+2xy≥10+216=18，当且仅当8yx=2xy且8x+2y=1，即x=12，y=6时，等号成立。
（2）我的思路来源于多元变量求最值的消元法：对于二元变量的最值问题，可以利用已知条件消去一个变量，然后看成一元变量的函数最值或不等式问题。使用的知识是等式的性质和基本不等式。方法是代换消元、恒等变形和整体思想。具体过程为：由条件得2x+8y=xy，得y=2xx-8（x>8），所以x+y=x+2xx-8=x-8+16x-8+10≥216+10=18，當且仅当x-8=16x-8，即x=12，y=6时，等号成立。
（3）我的思路来源也是多元变量求最值的消元法，但是在消元后用导数求最值。使用的知识是等式的性质和导数与函数单调性的关系。方法是代换消元和恒等变形。具体过程为：由条件得2x+8y=xy，得y=2xx-8（x>8），所以x+y=x+2xx-8。令f（x）=x+2xx-8，则f′（x）=1-16（x-8）2。令f′（x）=0，得x=12。当x∈（8，12）时， f′（x）<0，故f（x）单调减;当x∈（12，+∞）时， f′（x）>0，故f（x）单调增。所以当x=12时，f（x）取得极小值也是最小值，即fmin（x）=f（12）=18。
（4）我的思路来源于数形结合：将代数方程（式子）看成几何曲线（图形）。使用的知识是函数的图像和方程的曲线。方法是数形结合。具体过程为：令x+y=t，则y=-x+t。由2x+8y=xy，得y=2+16x-8（x>8）。于是，问题转化为研究动直线y=-x+t与定曲线y=2+16x-8（x>8）的位置关系。画出草图可知，当它们相切时，直线在y轴上的截距t取到最小值。由f（x）=2+16x-8，得f′（x）=-16（x-8）2。令f′（x）=-1，解得x=12，y=6。
……
学生“说解题思路”后，教师点评：本题同学们的想法都很好！探究想法背后的“灵感”，可以发现，它们都是因“源”而起的妙招！这个“源”就是多元变量与函数最值问题的常见处理策略。代数方法首先需要消元，无论利用基本不等式直接消元（思路1），还是利用已知等式代入消元（思路2、3），都是可行的，只是方法优劣的差异。几何转化意识也非常重要，数形结合是解题的常用利器。此外，值得一提的是，二次型函数（曲线）求最值（切点）时，还可以采用判别式法。
（三）在总结反思环节“说数学”
总结反思，简单地说，就是解题完成以后回过头来检验自己的解答过程以及得到的答案，更重要的是概括与提炼解决此类问题的规律和模式。波利亚指出，假如想从解题中得到最大的收获，就应当从所做题目中找出它的特征，因为这些特征在以后求解其他问题时，能够起到指引作用。所以，“说总结反思”的关键在于说清楚题目类型、解题所用知识与方法，获得本质上的认识和感悟，形成一类问题的特征和处理方法。
为此，笔者尝试使用如下提示语，引导学生在总结反思环节“说数学”：（1）这个问题的图1
类型是什么？（问题的本质是什么？越具体越好）（2）这个问题的解决对你有什么启发？（获得可以推广的规律或方法）（3）你能否尝试提炼、概括解决该类问题的规律与模式？（尝试利用算法思想表达解决此类问题的流程）
例3已知函数f（x）=x（ex-2），g（x）=x-ln x+k，k∈R。记函数F（x）=f（x）+g（x）。 若F（x）>0的解集为（0，+∞），求k的取值范围。
对于此题，学生在上述提示语的引导下，说出了如下一些总结反思相关的内容：
（1）从理解题意上说，含参函数F（x）>0的解集为定义域，等价于含参函数F（x）在定义域上恒大于0，等价于含参函数F（x）在定义域上的最小值大于0。因此，问题的本质是求函数的最值。
（2）利用导数研究函数F（x）在定义域上的最值（或极值、单调性），需要确定导函数F′（x）在定义域上的符号（正、负或0），可以对导函数F′（x）因式分解，然后舍弃其中符号确定的部分，研究余下符号不确定的部分（本题中为h（x）=ex-1x（x>0）。
（3）研究导函数符号不能确定的部分h（x）的符号（正、负或0），发现零点存在但是难以求出时，可以设为x0，利用零点x0满足的方程（本题中为ex0=1x0）化简原函数的最值F（x0）（本题中最终化为1+k），达到最值不等式可解的目的。
（4）解决利用导数研究函数单调性、极值、最值有关问题的一般模式如图1所示。
学生“说总结反思”后，教师点评：前三位同学对解题过程中的一些关键步骤（方法）做了一般化总结，而最后一位同学则在他们的基础上总结出了解决此类问题的一般模式。非常好！
*本文系江苏省教育科学“十二五”规划立项课题“‘说数学’在高中数学学习中的探索与研究”（编号：D/2015/02/12）和江苏省教育科学“十三五”规划立项课题“回归本质：高中数学解题教学模式创新实践研究”（编号：D/2016/02/69）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] ﹝美﹞G.波利亚.数学的发现：对解题的理解、研究和讲授[M].刘景麟，曹之江，邹清莲，译.北京：科学出版社，2006.
[2] ﹝美﹞G.波利亚.怎样解题：数学思维的新方法[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2007.