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【摘要】探究既是学习的过程又是学习的目的，它能拓展学生思路、激发学生积极思维，充分挖掘学生自身潜能，提高学生发现问题和解决问题的能力。探究性学习在小学数学图形与几何的教学中运用广泛。小学数学探究性学习必须根据学生特点和教材的内容讲究策略：一是在数学知识的发生点上探究，形成概念系统；二是在新旧知识的连结点上探究，自主建构知识体系；三是在数学知识与实际问题的结合点上探究，提高数学素养；四是在思维发散点上探究，激发创新精神。
【关键词】小学数学 图形与几何 探究性学习
《国家数学课程标准》的基本理念中指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”探究性学习是学生在教师指导下，在操作中有所发现，在探索学中有所领悟，在交流中有所提高的学习方法，是素质教育培育创新精神和实践能力的必由之路。“学生是数学学习的主人，老师是数学学习的组织者、引导者与合作者。”【1】为此，教师应激发学生的学习积极性，应该让学生在数学学习活动中改变学习方式，使学生乐意并将更多的精力投入到现实的探究性的学习活动中去，尤其在小学数学教学中实施探究性学习是数学教学改革的必然，是时代发展的要求。
“探究既是学习的过程又是学习的目的。”可以看出探究性学习指的是仿照科学研究的过程来学习科学内容，从而在掌握科学内容的同时体验、理解和应用科学研究方法，掌握科研能力的一种学习方式。【2】
探究性学习落实在学校课堂教学上，是指学生在教师指导下，以类似科学研究的方式去获取知识和应用知识的学习方式。具体地说，这个表述包含了以下几层含义。
“学生在教师指导下”，表明了学习活动中的师生关系。探究性学习是在学校教育和集体教学的环境中进行的，它有别于个人在自学过程中自发的、个体的探究活动。在学习过程中，学生需要的是“指导”或“帮助”，不仅仅是“传授”或“教导”。教师的主要职责是创设一种有利于探究性学习的情境和途径。
“以类似科学研究的方式”，表明了学习的基本形式。在这种探究活动中，人们通过假设、想像、实证、逻辑等方式方法来认识，理解。在探究性学习的过程中，学生发现问题，提出问题并解决问题。小学生的“研究”，从研究过程说，大多并不具备严格意义上科学研究的严谨性和规范性；从研究结果看，一般是已有科学研究成果的“再发现”。因此，探究性学习的实质是学习者对科学研究的思维方式和研究方法的学习运用，通过这样一种基本形式和手段，培养创新意识和实践能力。
“获取知识和应用知识”，表明了学习的基本内容。这包括学习如何收集、处理和提取信息；如何运用有关的知识来解决实际问题；如何在研究过程中与人交流和合作；如何表述或展示研究的结果；等等。获取知识的目的是为了应用，学会实际动手操作是研究性学习的重要内容，也是与一般的知识学习的基本区别。
探究性学习是一种学习方式，它主要从学习者个体发展的需要和认识规律出发，提出了以“创造”为指向的学习形式及有关的学习内容。在学校教育和教学过程中，还要更多地从教的角度来考虑与之相应的课程、教材、教法等问题。由于教育目的、教学目标需的整体性和丰富性，学生的学习方式也必然是多样而变化的。因此，探究性学习并不是要取代已有的学习方式，而是一种学习方式的必要补充。
如何引导学生进行探究性学习？这里存在一个策略问题。探究性学习策略是关于探究过程与方法论有机结合的学问。数学知识的探究过程与方法论具有重要的教育价值，因为数学学科的概念法則体系，只有和探究过程及方法论结合起来，才能使学生的理智过程和整个精神世界获得实质性的发展与提升。对于小学生进行数学知识探究性学习来说，策略问题显得更加重要。
创设情景，提出问题，激发学生的探究动机；自主探究，合作交流，指导学生的探究过程；抽象概括，归纳总结，和学生一起享受探究成功的乐趣；激励评价，延伸拓展，应用探究的结果解决实际问题……这些策略是一般性的策略，对于小学各学科学习都适用。小学数学根据其学科特点，应该有其相应的探究性学习策略。
一、在数学知识的发生点上探究--形成概念系统
小学数学概念涉及的大多是一些原始的概念，如数的概念、量的概念、空间与图形的概念等等，这些概念如果我们老师认为简单而采用“告诉”的方式教给学生，那么学生要么就形成不了相应的概念，而只会记住一些结论，要么形成的是不准确的概念，到应用概念解决问题时漏洞百出。相反地，如果给时间、给空间让学生亲身体验，自主探究，那么不仅会形成完整的概念，而且还会开发智力，发展个性。
我在教学《平行四边形的面积》这一内容时，是这样组织学生展开探究的。
开课即出示：平行四边形
师：拿出题单，请你用尺子量一量，试着算一算平行四边形的面积
生板书： 3X7 5X7 （5+7）X2
有效课堂基于学生的起点难点。全班参与动手，动笔。（有54人用邻边的积作为平行四边形的面积。2个孩子用底乘高）。学习起点的发现，因为长方形是特殊的平行四边形，学生很自然的把长方形的面积公式迁移到平行四边形。这节课就围绕，学生的3种解法展开。
二、在新旧知识的连结点上探究--自主建构知识体系
“自主建构”是指学生的精神世界是自主地，能动地生成建构的，而不是外部力量塑造而成的。因为任何学习都是一个积极主动的建构过程，学习者不是被动地接受外在信息，而是主动地根据先前认知结构有选择性的知觉外在信息，建构当前事物意义。数学知识的自主建构就是在已有的旧的知识结构上，建构新的知识。如何有效地帮助学生完成这个建构过程，这应该是我们教师匠心之所在。
我在教学“长方形正方形的周长”这一节时，不是按教材的编排先教学周长的概念，再推导长方形和正方形的周长计算公式，而是这样放手让学生进行自主建构的。 活动一：操作学具。每人把一根长30厘米左右的铁丝弯成一个平面图形，长方形、正方形均可，目的是以动手操作的形式回顾旧知识长方形、正方形的特征，为形成周长概念，探究长方形和正方形周长计算方法找连结点 。
活动二：选择工具测量。每人在事先准备的皮尺、毛线、直尺等工具中，根据自己的实际情况，自由的选择工具测量长方形或正方形的周长。有的学生有用皮尺围一圈，直接量出周长；有的用毛线围，然后展开在皮尺上量；有的用直尺量四边的长，求和算周长；还有的根据其特征用直尺量两邻边的长，乘以2求周长，等等。方法多种多样。
活动三：画长方形，量周长。每人根据长方形的特征，在纸上画一个长方形，然后量出它的周长。这时只有选择直尺量才比较方便。有的量四边，有的量两邻边。经过比较他们认为量两邻边最简便。由此自然而然得出求长方形周长的几种方法。正方形作为长方形的特例，其周长更容易求出。
可见，这节课在新旧知识的连节点上引导学生自由探究的策略是非常成功的。这个成功的教学案例至少给我们三点启示：一是新旧知识的连结点--长方形和正方形的特征就是学生认知的“最近发展区”，在这个“最近发展区”里引导学生探究，便于学生自主建构知识体系。二是在问题的探究过程中，新旧知识间双向的交互作用使得学习活动真正切入到学生的经验世界当中，而不是按照教学设计者预先确定的框架和路线来生成新旧知识间的联系。问题探究为新旧知识的同化和顺应提供了理想的平台。三是学生在探究的过程中不仅发现了知识间的内在联系，而且极大地享受到“探索--发现”的快乐。
三、在数学知识与实际问题的结合点上探究--提高数学素养
数学产生于现实生活，反过来又应用于现实生活，解决现实生活中的实际问题。如何从实际问题中抽象出数学模型，又利用数学模型解决实际问题，这是数学教学必须探讨的一个实质性的问题。就小学生而言，他们更为关注的是周围的现实生活，而不是枯躁无味的数学知识，找到数学知识与实际问题的结合点，引导学生在这个结合点上探究，就能化消极因素为积极因素，使学生体验到数学学习的无究乐趣，并学会用数学头脑思考和解决实际问题，与此同时发现数学，运用数学的能力随之提高。
1.导学生从自己熟悉的现实原型中抽象出数学模型，再将它应用到新的实际问题的解决中去。
在学习圆柱的侧面积和表面积后：在解决两个高3厘米小圆柱拼成了一个大圆柱，表面积减少了25.12厘米?，这个大圆柱的表面积是多少？对于我们的学生来说是一个难点。一位老师就设计了这样的实验内容：一：把萝卜分两份，可以怎样切？猜一猜，切口是什么形状？动手验证。切后的萝卜的表面积和于原来的萝卜的表面积相比较会怎样？你能用字母公式来表示切后的两个萝卜的表面积和吗？问题有浅入深。同学们跃跃欲试。
实验内容二：你能把圆柱体通过切，拼等办法变成我们学过的一些立体图形吗？这一内容安排为后面学习图形的变换以及圆柱的体积推到做好认知的准备。
2.引导学生观察日常生活中的实际问题，并试图用数学知识去解决。
如：例如，西师版教材三册数学千米的认识教学中，千米到底有多远？怎样在学生头脑中建立千米的概念？如果在课堂教学中，我们把学生带到户外用脚步去丈量，去感受，这样的课堂设计不太现实，交通安全等因素都不利于这样的课堂教学实施。因此，我们在教学中，可以选择校园的长度，让学生用脚步去丈量，去感受。如果校园的长度是200米，那么学生来回走5次就是千米。同时，老师还可以以学校为出发点，向四周选取离学校一千米的直线位置，而且选取的位置应该选择学生都非常熟悉的地点，让学生进一步感受1千米的直线距离。
四、在思維的发散点上探究--激发创新精神
创新精神的核心是创造性思维，创造性思维包括直觉思维和发散思维，发展学生发散思维能力，要求教师创设发散思维的情景，提供发散思维的问题或事实，即引导学生在思维的发散点上深入探究。
在教学“圆的认识”这节课后，一位老师没有满足于认识圆的有关概念，了解圆的直径与半径的关系，掌握画圆的方法这些常规的教学目标，而是在引导学生求新、新异上下功夫。他设计了这样一道练习题：给你一个硬币，请你找出他的圆心，画出他的直径，量出直径的长度。为了激发学生求异思维，教师启发学生自己选择多种工具，设计多种测量方法，比一比谁的方法多，谁的方法好。
学生汇报：“我用直尺测量，最长的一条线段就是它的直径，直径的中点就是圆心”。另一学生提出：“我有一种更快的方法，把硬币放在直尺的边沿上，再用两个三角板的直角边在硬币的两边一夹，就可得出直径的长度，把硬币跟两边三角板的两个触点用线段连接起来，就是它的直径，再找出中点就是圆心。”还有个学生说：“我先在硬币外面画一个正方形，再画正方形的对角线找到圆心，通过圆心画出直径，用尺子量出直径的长度”等等，这一系列方法，充分体现了学生的创造性思维。
一位老师在六年级总复习时，把书上的一道练习题改造成这样一道发散思维训练题：圆柱沿直径竖直切成若干份，拼成一个长方体，已知长方体的长为9厘米，宽为6厘米，（∏取值3）.求圆柱的体积。经过互相启发，互相补充，找出了3种可能出现的情况。这道题为学生创造了发散思维的空间，给学生留下了钻研探究，遐思无穷的乐趣。
在小学数学教学实践活动中，我们每位教师要善于发现数学知识的发生点，注重新旧知识的连结点，找准数学与实际问题的结合点，挖掘思维的发散点，并在这些“点”上着力，引导学生进行探究性学习。抓住了这些“点”就等于抓住了探究性学习的源头活水，从而使小学数学教学不再是枯燥无味的讲解与训练，而真正成为充满发现，充满激情的具有人文精神的理智活动。
【参考文献】
[1]国家数学课程标准研制组.国家数学课程标准（[Z].北京。北京师范大学出版社.2011.
[2]（美）国家研究理事会. 戢守志等译.美国国家科学教育标准[Z].上海。 科学技术文献出版社.1999.1
[3]靳玉乐.新教学方式的实践艺术[M].四川.四川出版集团四川教育出版社.2009.6
【关键词】小学数学 图形与几何 探究性学习
《国家数学课程标准》的基本理念中指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”探究性学习是学生在教师指导下，在操作中有所发现，在探索学中有所领悟，在交流中有所提高的学习方法，是素质教育培育创新精神和实践能力的必由之路。“学生是数学学习的主人，老师是数学学习的组织者、引导者与合作者。”【1】为此，教师应激发学生的学习积极性，应该让学生在数学学习活动中改变学习方式，使学生乐意并将更多的精力投入到现实的探究性的学习活动中去，尤其在小学数学教学中实施探究性学习是数学教学改革的必然，是时代发展的要求。
“探究既是学习的过程又是学习的目的。”可以看出探究性学习指的是仿照科学研究的过程来学习科学内容，从而在掌握科学内容的同时体验、理解和应用科学研究方法，掌握科研能力的一种学习方式。【2】
探究性学习落实在学校课堂教学上，是指学生在教师指导下，以类似科学研究的方式去获取知识和应用知识的学习方式。具体地说，这个表述包含了以下几层含义。
“学生在教师指导下”，表明了学习活动中的师生关系。探究性学习是在学校教育和集体教学的环境中进行的，它有别于个人在自学过程中自发的、个体的探究活动。在学习过程中，学生需要的是“指导”或“帮助”，不仅仅是“传授”或“教导”。教师的主要职责是创设一种有利于探究性学习的情境和途径。
“以类似科学研究的方式”，表明了学习的基本形式。在这种探究活动中，人们通过假设、想像、实证、逻辑等方式方法来认识，理解。在探究性学习的过程中，学生发现问题，提出问题并解决问题。小学生的“研究”，从研究过程说，大多并不具备严格意义上科学研究的严谨性和规范性；从研究结果看，一般是已有科学研究成果的“再发现”。因此，探究性学习的实质是学习者对科学研究的思维方式和研究方法的学习运用，通过这样一种基本形式和手段，培养创新意识和实践能力。
“获取知识和应用知识”，表明了学习的基本内容。这包括学习如何收集、处理和提取信息；如何运用有关的知识来解决实际问题；如何在研究过程中与人交流和合作；如何表述或展示研究的结果；等等。获取知识的目的是为了应用，学会实际动手操作是研究性学习的重要内容，也是与一般的知识学习的基本区别。
探究性学习是一种学习方式，它主要从学习者个体发展的需要和认识规律出发，提出了以“创造”为指向的学习形式及有关的学习内容。在学校教育和教学过程中，还要更多地从教的角度来考虑与之相应的课程、教材、教法等问题。由于教育目的、教学目标需的整体性和丰富性，学生的学习方式也必然是多样而变化的。因此，探究性学习并不是要取代已有的学习方式，而是一种学习方式的必要补充。
如何引导学生进行探究性学习？这里存在一个策略问题。探究性学习策略是关于探究过程与方法论有机结合的学问。数学知识的探究过程与方法论具有重要的教育价值，因为数学学科的概念法則体系，只有和探究过程及方法论结合起来，才能使学生的理智过程和整个精神世界获得实质性的发展与提升。对于小学生进行数学知识探究性学习来说，策略问题显得更加重要。
创设情景，提出问题，激发学生的探究动机；自主探究，合作交流，指导学生的探究过程；抽象概括，归纳总结，和学生一起享受探究成功的乐趣；激励评价，延伸拓展，应用探究的结果解决实际问题……这些策略是一般性的策略，对于小学各学科学习都适用。小学数学根据其学科特点，应该有其相应的探究性学习策略。
一、在数学知识的发生点上探究--形成概念系统
小学数学概念涉及的大多是一些原始的概念，如数的概念、量的概念、空间与图形的概念等等，这些概念如果我们老师认为简单而采用“告诉”的方式教给学生，那么学生要么就形成不了相应的概念，而只会记住一些结论，要么形成的是不准确的概念，到应用概念解决问题时漏洞百出。相反地，如果给时间、给空间让学生亲身体验，自主探究，那么不仅会形成完整的概念，而且还会开发智力，发展个性。
我在教学《平行四边形的面积》这一内容时，是这样组织学生展开探究的。
开课即出示：平行四边形
师：拿出题单，请你用尺子量一量，试着算一算平行四边形的面积
生板书： 3X7 5X7 （5+7）X2
有效课堂基于学生的起点难点。全班参与动手，动笔。（有54人用邻边的积作为平行四边形的面积。2个孩子用底乘高）。学习起点的发现，因为长方形是特殊的平行四边形，学生很自然的把长方形的面积公式迁移到平行四边形。这节课就围绕，学生的3种解法展开。
二、在新旧知识的连结点上探究--自主建构知识体系
“自主建构”是指学生的精神世界是自主地，能动地生成建构的，而不是外部力量塑造而成的。因为任何学习都是一个积极主动的建构过程，学习者不是被动地接受外在信息，而是主动地根据先前认知结构有选择性的知觉外在信息，建构当前事物意义。数学知识的自主建构就是在已有的旧的知识结构上，建构新的知识。如何有效地帮助学生完成这个建构过程，这应该是我们教师匠心之所在。
我在教学“长方形正方形的周长”这一节时，不是按教材的编排先教学周长的概念，再推导长方形和正方形的周长计算公式，而是这样放手让学生进行自主建构的。 活动一：操作学具。每人把一根长30厘米左右的铁丝弯成一个平面图形，长方形、正方形均可，目的是以动手操作的形式回顾旧知识长方形、正方形的特征，为形成周长概念，探究长方形和正方形周长计算方法找连结点 。
活动二：选择工具测量。每人在事先准备的皮尺、毛线、直尺等工具中，根据自己的实际情况，自由的选择工具测量长方形或正方形的周长。有的学生有用皮尺围一圈，直接量出周长；有的用毛线围，然后展开在皮尺上量；有的用直尺量四边的长，求和算周长；还有的根据其特征用直尺量两邻边的长，乘以2求周长，等等。方法多种多样。
活动三：画长方形，量周长。每人根据长方形的特征，在纸上画一个长方形，然后量出它的周长。这时只有选择直尺量才比较方便。有的量四边，有的量两邻边。经过比较他们认为量两邻边最简便。由此自然而然得出求长方形周长的几种方法。正方形作为长方形的特例，其周长更容易求出。
可见，这节课在新旧知识的连节点上引导学生自由探究的策略是非常成功的。这个成功的教学案例至少给我们三点启示：一是新旧知识的连结点--长方形和正方形的特征就是学生认知的“最近发展区”，在这个“最近发展区”里引导学生探究，便于学生自主建构知识体系。二是在问题的探究过程中，新旧知识间双向的交互作用使得学习活动真正切入到学生的经验世界当中，而不是按照教学设计者预先确定的框架和路线来生成新旧知识间的联系。问题探究为新旧知识的同化和顺应提供了理想的平台。三是学生在探究的过程中不仅发现了知识间的内在联系，而且极大地享受到“探索--发现”的快乐。
三、在数学知识与实际问题的结合点上探究--提高数学素养
数学产生于现实生活，反过来又应用于现实生活，解决现实生活中的实际问题。如何从实际问题中抽象出数学模型，又利用数学模型解决实际问题，这是数学教学必须探讨的一个实质性的问题。就小学生而言，他们更为关注的是周围的现实生活，而不是枯躁无味的数学知识，找到数学知识与实际问题的结合点，引导学生在这个结合点上探究，就能化消极因素为积极因素，使学生体验到数学学习的无究乐趣，并学会用数学头脑思考和解决实际问题，与此同时发现数学，运用数学的能力随之提高。
1.导学生从自己熟悉的现实原型中抽象出数学模型，再将它应用到新的实际问题的解决中去。
在学习圆柱的侧面积和表面积后：在解决两个高3厘米小圆柱拼成了一个大圆柱，表面积减少了25.12厘米?，这个大圆柱的表面积是多少？对于我们的学生来说是一个难点。一位老师就设计了这样的实验内容：一：把萝卜分两份，可以怎样切？猜一猜，切口是什么形状？动手验证。切后的萝卜的表面积和于原来的萝卜的表面积相比较会怎样？你能用字母公式来表示切后的两个萝卜的表面积和吗？问题有浅入深。同学们跃跃欲试。
实验内容二：你能把圆柱体通过切，拼等办法变成我们学过的一些立体图形吗？这一内容安排为后面学习图形的变换以及圆柱的体积推到做好认知的准备。
2.引导学生观察日常生活中的实际问题，并试图用数学知识去解决。
如：例如，西师版教材三册数学千米的认识教学中，千米到底有多远？怎样在学生头脑中建立千米的概念？如果在课堂教学中，我们把学生带到户外用脚步去丈量，去感受，这样的课堂设计不太现实，交通安全等因素都不利于这样的课堂教学实施。因此，我们在教学中，可以选择校园的长度，让学生用脚步去丈量，去感受。如果校园的长度是200米，那么学生来回走5次就是千米。同时，老师还可以以学校为出发点，向四周选取离学校一千米的直线位置，而且选取的位置应该选择学生都非常熟悉的地点，让学生进一步感受1千米的直线距离。
四、在思維的发散点上探究--激发创新精神
创新精神的核心是创造性思维，创造性思维包括直觉思维和发散思维，发展学生发散思维能力，要求教师创设发散思维的情景，提供发散思维的问题或事实，即引导学生在思维的发散点上深入探究。
在教学“圆的认识”这节课后，一位老师没有满足于认识圆的有关概念，了解圆的直径与半径的关系，掌握画圆的方法这些常规的教学目标，而是在引导学生求新、新异上下功夫。他设计了这样一道练习题：给你一个硬币，请你找出他的圆心，画出他的直径，量出直径的长度。为了激发学生求异思维，教师启发学生自己选择多种工具，设计多种测量方法，比一比谁的方法多，谁的方法好。
学生汇报：“我用直尺测量，最长的一条线段就是它的直径，直径的中点就是圆心”。另一学生提出：“我有一种更快的方法，把硬币放在直尺的边沿上，再用两个三角板的直角边在硬币的两边一夹，就可得出直径的长度，把硬币跟两边三角板的两个触点用线段连接起来，就是它的直径，再找出中点就是圆心。”还有个学生说：“我先在硬币外面画一个正方形，再画正方形的对角线找到圆心，通过圆心画出直径，用尺子量出直径的长度”等等，这一系列方法，充分体现了学生的创造性思维。
一位老师在六年级总复习时，把书上的一道练习题改造成这样一道发散思维训练题：圆柱沿直径竖直切成若干份，拼成一个长方体，已知长方体的长为9厘米，宽为6厘米，（∏取值3）.求圆柱的体积。经过互相启发，互相补充，找出了3种可能出现的情况。这道题为学生创造了发散思维的空间，给学生留下了钻研探究，遐思无穷的乐趣。
在小学数学教学实践活动中，我们每位教师要善于发现数学知识的发生点，注重新旧知识的连结点，找准数学与实际问题的结合点，挖掘思维的发散点，并在这些“点”上着力，引导学生进行探究性学习。抓住了这些“点”就等于抓住了探究性学习的源头活水，从而使小学数学教学不再是枯燥无味的讲解与训练，而真正成为充满发现，充满激情的具有人文精神的理智活动。
【参考文献】
[1]国家数学课程标准研制组.国家数学课程标准（[Z].北京。北京师范大学出版社.2011.
[2]（美）国家研究理事会. 戢守志等译.美国国家科学教育标准[Z].上海。 科学技术文献出版社.1999.1
[3]靳玉乐.新教学方式的实践艺术[M].四川.四川出版集团四川教育出版社.2009.6