摘 要 在高中数学新课标下,课堂教学应以培养学生的创新思维能力为主导方向。数学思维能力是数学素质的体现。本文就怎样充分应用“逆向思维”能力来培养学生的创新思维能力的问题作了探讨。
　　关键词 高中数学 逆向思维 创新能力
　　中图分类号:G40-012文献标识码:A
　　
　　数学解题教学中,有时发现学生缺少科学思维能力,对具体问题不能进行具体分析,从而形成思维的“断路”现象。因此,为了培养学生的创新思维能力,积极有效的引导学生的“逆向思维”,让学生从正常思维中跳出来,“反过去”考虑,由根索源,激发学生的创新意识。
　　例1已知抛物线和双曲线交于,求的斜率的取值范围。
　　分析:设的坐标分别为,则,下面需要设法求出的表达式。为此,将的坐标分别代入抛物线方程与双曲线方程,相减并化简得:(1)与=(2),设的中点坐标为则由(1)式得(3) 由(2)式得=(4)但无论是(3)式还是(4)式,都无法直接求出的取值范围,于是思路受阻,这时应该“逆向”思维,暂时不求而去求,即将暂时看成常量,为此,联立(3),(4)解之,得,。
　　但此还不能求出的取值范围。为此再次进行“逆向”思维并“化数为形”,借助几何直观考虑问题。由几何直观可知,的中点在抛物线的内域,因此其坐标应满足下列不等到式0。化简并解之得,,这就是弦的的斜率的取值范围。
　　不难看出,正是基于“逆向”思维,才使我们绕过一道道障碍,并胜利地达到彼岸。足见“逆向”思维是学生冲破障碍的重要手段。因此我们应当通过解题注意这方面的训练,以培养学生的思维灵活性。要克服思维的单一性,就要打破常规,勇于探索,并能不断创新。为此,就必须克服思维定势,采用“逆向”思维。如:
　　例2设直线的参数方程是(为参数),椭圆的参数方程式是(是参数),问应满足什么条件,使得对于任意的值来说,直线与椭圆总有公共点?
　　分析:这是一道综合题,当时一般考生的思路是,先消参数得普通方程,再消去得如下的一元二次方程:
　　。Q为实数,
　　∴ (1)
　　由此不等到式出发,利用二次函数值非负的充要条件即可求得结果。由于该不等式次数较高,计算起来比较复杂,可能难倒许多学生。因此必须引导学生转换思维,不消参数而改消。于是原参数方程,得acos,sin,联立两式并消去,得cos)sin。将其按正、余弦归类整理得:
　　sin=cos=;将其与已知的三角公式类比,得sin()=;(其中tan)于是有=|sin(|≤1。化简整理,得(2)不等到式(2)比不等式(1)简单多了,由此求解毫无困难。由二次函数值非负的充要条件,即得。及综合,得这就是所需满的条件。
　　学生从中体会到解法的新鲜与思维的独特。这时趁热打铁,再提出运用逆向思维突破数式转换的束缚,改从图形直观入手,则由直线与轴的交点必在椭圆内或椭圆上这一几何特点,可以更加简便地求得上述结果。将椭圆的参数方程化为普通方程,得。Q直线与轴的交点为(0,),而该点在椭圆内或椭圆上,∴应有下式成立:。即得,所以就有。因此创新思维的结果给数学带来了生机。
　　创新思维还表现在思维的发散上,因此运用“逆向”思维进行发散思维的训练。如:
　　例3已知,求证:。
　　分析:比较条件,发现两者的差异只是将互换,于是根据“逆向思维”应该设法消去差异。为此,必须有sinsin,coscos,从而有tantan。下面只需设法证明这些猜想结论即可。
　　思考1 首先将条件式中的正弦转为正余割,得再化为,最后化为于是有。
　　思考2上述证法是在原式次数较高的情况下作出的,因而运算较繁,我们不应满足于此,而应通过回顾去灵找较简的证法。要做不予考虑这一点,降次是个有效的途径。
　　为此,将条件式化为,通分化简,得。
　　思考 3 以上的做法均是从局部考虑入手的,如果改从整体考虑入手,则还可以另辟蹊径。由于从整体上看,条件与结论都成平方和等到于1的形式,因此可与圆的方程类比。从而过()在圆上,因此点的切线的方程为。
　　设有点,则点在圆上,又点坐标满切线的方程,故点在上,所以两点重合。从而,。即,。
　　逆向思维是创新的动力与源泉,在数学解题中合理地运用逆向思维,将大大地提高学生的创新思维能力。