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摘要：对称思想是一类非常重要的数学思想，它指的是用具体的方式去寻找或展现问题中的次序.从而将简化乃至解决问题。本文将从几何对称，代数对称和多项式不等式对称这三个方面，阐述对称思想在初等数学解题中的应用。
关键词：对称思想; 初等数学; 解题
中图分类号：G42 文献标识码：A 文章编号：1009-0118（2011）-06-0-02
一、对称的定义及应用时应注意的问题
我们都对对称有一种直观的感受，然而，如果能用一种正式的方式去定义对称的话，这将有助于加深我们对它的理解。如果通过一次或多次非平凡的行为使一个物体没有变化，我们就称这个物体是对称的。为什么对称思想是一类非常重要的数学思想呢？因为它能起到简化问题的作用，这对于进一步分析问题是很有价值的。
但我们在解决问题时，考虑是否使用对称思想时应该还需要注意以下两点：
（一）应在一些不太可能的地方寻找对称，不要担心原来的问题并不对称。
（二）对称的另一非正式定义是”和谐”。不论何时你观察一个问题的时候，看一看和谐和美，即便你不知如何定义这个词，但是，当你使得自己做得东西更加和谐或更加美的时候，则表明着你已经走上了正确的道路。
本文将分别讨论对称思想在几何问题，代数问题和多项式和不等式问题上的应用。
二、几何对称
例1. 有一条河的走向是至西向东的，你家在这条河的北部距该河2英里的地方，你奶奶的家在你家的西方12英里北方1英里的地方。每天你都会从自己家到你奶奶家去，途中要到这条河（为你奶奶担水），问怎样选择路径才会使走的路程最短？
问题分析与求解： 首先，作图。将你家所在的位置记为点Y，你奶奶家所在的位置记为点G，你所到达的河的位置记为A 该问题表面上看似乎没有对称性可言，但是河实际上提供了映射的作用，我们画一个简单路径，如图：
Y＇和G＇分别为你家的房子和你奶奶家的房子关于小河折叠对称的映射。对于你到达河边然后担水到奶奶家所走的路径，我们在河的南面做出一条关于小河对称的路径。注意到AG=AG＇，所以你到你奶奶家房子的对称点与到你奶奶家的路径长度不会变，因此。在这两点间的最短距离是直线。最终你选择的路径则是先走YB，再走BG。YBG的长度与的长度是相等的。该长度刚好是是一个直角边长分别是12英里，5英里的直角三角形的斜边长，因此答案是13英里。
例2 .有四个小虫子分别位于单位正方形的四个顶点上。突然，每个虫子都按逆时针的方向朝它相邻的虫子所在的位置爬去。已知每只虫子的爬行速度为1个单位长度每分钟，那么经过多长时间四只虫子可以在某一位置相遇？
问题分析与求解：这是一种有关旋转对称的问题，由于所有虫子的运动速度是一致的。如果他们开始的形状是个正方形，然后它们将会一直保持着那种形状。这是问题的关键所在，相信与否这都是个非常有效的突破口。随着时间一点一滴的过去，这些小虫子们的爬行路径形成了一个按逆时针方向收缩的正方形。但是正方形的中心点仍未改变。这个中心点是个很”特殊”的点，所以下面我们就来分析一下这个点。一旦我们将注意的焦点转移到自然参照系上，许多看似棘手的问题就会变得容易。在这种情况下，我们应考虑极坐标系，比如说，我们可以挑出其中的一只小虫子，观察从正方形的中心到这个小虫子两点间的线段。这个线段将会按逆时针方向旋转，（更重要的是）且这条线段逐渐收缩。当它收缩到0时，这只虫子刚好与另一只虫子相遇。那么这个线段收缩的速度是多少呢？此时我们似乎已经忘掉了线在转动的这个事实。从这条辐形线观点来看，这只小虫总是按照45€敖窃谛薪Ｒ阎〕娴男薪俾适?个单位长度每分钟，那么它的径向分速度则是1€譪os45€?个单位长度每分钟，也就是说，该射线是以这个速率在收缩。已知该辐形线的原始的长度是，所以这些小虫一分钟后就能够相遇。
三、代数对称
在代数问题中，有一个闻名于世的高斯对偶定理，下面我们看一个非常出名的”洛克问题”.该问题的求解就可以借助高斯对偶定理。
例3.证明d(n)是奇数当且仅当n是完全平方数时。这里d(n)表示的是n的约数个数，包括1和n本身。
问题分析与求解.这里的对称关系是，例如，当n=28时，它的约数显然包括2和14。
因此，当我们找到n所有的约数时，会注意到任何一个约数都有和它唯一”配对”的另一个约数，但当n是一个完全平方数时除外。在任何时候都有与其本身配成一对。例如，28的约数是1,2,4,7,14,28，它们可以被重新排列为（1，28）、（2，14）、（4，7），这种成对的关系，显然，d(28)是个偶数。从另一点来说，完全平方数36的约数是1,2,3,4,6,9,12,18,36，它们配成对的形式为（1，36）、（2，18）、（3，12）、（4，9）、（6，6），注意到6是和6本身配成一对的，所以它实际的约数个数是个奇数（因为在这个例子里6只能算一个约数）。所以我们可以得到结论：d(n)是奇数当且仅当n是完全平方数时。
上面所讨论的方法在下例中几乎可以完美的重复使用。虽然是在一个完全不同的内容上，那就是证明下面在代数理论中非常有名的威尔逊定理。
例4.（威尔逊定理）证明对于所有的素数p，都存在以下的关系：
（p-1）!≡-1（modp）
问题分析与求解：由于p是一个素数，故没有任何一个因数是0模p的余数。同样的，没有任何次乘是0的余数。从另一点来说，任何非零数都有唯一的乘法的反的模p，比如说，如果不是p的倍数，那么就存在唯一的∈{1，2，3...，p-1}使得≡-1（modp）。有了上述的知识，我们就可以处理这个疑难问题了：将所有的数∈{1，2，3...，p-1}与它相匹配的数∈{1，2，3...，p-1}相乘有≡-1（modp）。例如p=13，假设 ，相匹配的对为(1, 1), (2, 7), (3, 9), (4, 10), (5, 8), (6, 11), (12, 12) 可以写为：
1·(2·7)(3·9)(4·10)(5·8)(6·11)12 ≡ 1·1·1·1·1·12 =-1（mod13）
注意到，1和12是唯一和自身配对的元素。也注意到12≡-1(mod13)。我们把它推广到一般的情形：如果是它自身的乘法反模p当且仅当，这容易理解：如果2≡-1（modp），那么我们把它推广到一般的情形：如果是它自身的乘法反模p当且仅当。这容易理解：如果2≡-1（modp），那么2-1=（-1）（+1）≡0（modp），因为p是素数，这意味着或者是-1或+1是p 的一个倍数；因此≡€?（modp），是唯一的可能了。
四、不等式与多项式中的对称
代数学中常会涉及到具有多个变量或者是高次的问题，这些问题往往是很难处理的，但我们可以利用题中内在的对称关系来解题。
例5. 证明：对任意的正数，，不等式（+）（+）（+）＞8，当且仅当==时等号成立。
问题分析与求解：可以观察到上述的不等式是存在对称关系的。这就暗示了，我们没必要把左边的式子全都乘出来。而只要去观察各个乘数项，对于序列+，+，+，我们只要看项+，然后做循环置换→，→，→即可，而由含有两个变量的算术-几何平均不等式知：
将上述三个不等式相乘，即得所要不等式。
对上述所说轮换，定义如下：
对于含有几个变量的函数，其循环和为：
例如，假设变量是，则有
下面我们就用这个概念并结合对称思想来分解一个三变量对称立方式。
例6.分解多项式。
问题分析与求解：从题中的对称关系估计上式分解后同样存在对称的关系，最简单的估
计是其中一个因子可能是与，所以将与做乘积，就能得到立方项，同时会得到一些误差项，有
事实上，对称思想在初等数学中的应用非常广泛，除了在几何，代数，不等式中的应用，对称思想在解决函数问题，立体几何问题，组合数学问题上都有着广泛的应用。并且对称的思想对极限原理，分类原理的提出也起着重要帮助。通过上述几例的分析说明, “对称思想”在解题中的作用是不言而喻的。它不仅本身具有奇妙之用, 而且既能培养学生的良好思维品质又能提高学生的创新能力。这正是当前素质教育所倡导的。
参考文献：
[1]黎智尼.对称思想在解题中的应用[J].中学生数学,2002,8(8):16-17.
[2]蔺守臣,蔡恒录.对称思想及解题[J].天水师专学报[J].2000,20(10):64-66.
[3]龚长青.例谈对称思想在解题中的应用[J].成都教育学院学报,2000,14(9):61-62.
[4]门德荣.利用对称思想解函数综合题[J].数理化学习,2005,(9):7-9.
[5]毛建国.注意平几中对称思想的应用[J].数学教学通讯,2004,213(8):52-53.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
关键词：对称思想; 初等数学; 解题
中图分类号：G42 文献标识码：A 文章编号：1009-0118（2011）-06-0-02
一、对称的定义及应用时应注意的问题
我们都对对称有一种直观的感受，然而，如果能用一种正式的方式去定义对称的话，这将有助于加深我们对它的理解。如果通过一次或多次非平凡的行为使一个物体没有变化，我们就称这个物体是对称的。为什么对称思想是一类非常重要的数学思想呢？因为它能起到简化问题的作用，这对于进一步分析问题是很有价值的。
但我们在解决问题时，考虑是否使用对称思想时应该还需要注意以下两点：
（一）应在一些不太可能的地方寻找对称，不要担心原来的问题并不对称。
（二）对称的另一非正式定义是”和谐”。不论何时你观察一个问题的时候，看一看和谐和美，即便你不知如何定义这个词，但是，当你使得自己做得东西更加和谐或更加美的时候，则表明着你已经走上了正确的道路。
本文将分别讨论对称思想在几何问题，代数问题和多项式和不等式问题上的应用。
二、几何对称
例1. 有一条河的走向是至西向东的，你家在这条河的北部距该河2英里的地方，你奶奶的家在你家的西方12英里北方1英里的地方。每天你都会从自己家到你奶奶家去，途中要到这条河（为你奶奶担水），问怎样选择路径才会使走的路程最短？
问题分析与求解： 首先，作图。将你家所在的位置记为点Y，你奶奶家所在的位置记为点G，你所到达的河的位置记为A 该问题表面上看似乎没有对称性可言，但是河实际上提供了映射的作用，我们画一个简单路径，如图：
Y＇和G＇分别为你家的房子和你奶奶家的房子关于小河折叠对称的映射。对于你到达河边然后担水到奶奶家所走的路径，我们在河的南面做出一条关于小河对称的路径。注意到AG=AG＇，所以你到你奶奶家房子的对称点与到你奶奶家的路径长度不会变，因此。在这两点间的最短距离是直线。最终你选择的路径则是先走YB，再走BG。YBG的长度与的长度是相等的。该长度刚好是是一个直角边长分别是12英里，5英里的直角三角形的斜边长，因此答案是13英里。
例2 .有四个小虫子分别位于单位正方形的四个顶点上。突然，每个虫子都按逆时针的方向朝它相邻的虫子所在的位置爬去。已知每只虫子的爬行速度为1个单位长度每分钟，那么经过多长时间四只虫子可以在某一位置相遇？
问题分析与求解：这是一种有关旋转对称的问题，由于所有虫子的运动速度是一致的。如果他们开始的形状是个正方形，然后它们将会一直保持着那种形状。这是问题的关键所在，相信与否这都是个非常有效的突破口。随着时间一点一滴的过去，这些小虫子们的爬行路径形成了一个按逆时针方向收缩的正方形。但是正方形的中心点仍未改变。这个中心点是个很”特殊”的点，所以下面我们就来分析一下这个点。一旦我们将注意的焦点转移到自然参照系上，许多看似棘手的问题就会变得容易。在这种情况下，我们应考虑极坐标系，比如说，我们可以挑出其中的一只小虫子，观察从正方形的中心到这个小虫子两点间的线段。这个线段将会按逆时针方向旋转，（更重要的是）且这条线段逐渐收缩。当它收缩到0时，这只虫子刚好与另一只虫子相遇。那么这个线段收缩的速度是多少呢？此时我们似乎已经忘掉了线在转动的这个事实。从这条辐形线观点来看，这只小虫总是按照45€敖窃谛薪Ｒ阎〕娴男薪俾适?个单位长度每分钟，那么它的径向分速度则是1€譪os45€?个单位长度每分钟，也就是说，该射线是以这个速率在收缩。已知该辐形线的原始的长度是，所以这些小虫一分钟后就能够相遇。
三、代数对称
在代数问题中，有一个闻名于世的高斯对偶定理，下面我们看一个非常出名的”洛克问题”.该问题的求解就可以借助高斯对偶定理。
例3.证明d(n)是奇数当且仅当n是完全平方数时。这里d(n)表示的是n的约数个数，包括1和n本身。
问题分析与求解.这里的对称关系是，例如，当n=28时，它的约数显然包括2和14。
因此，当我们找到n所有的约数时，会注意到任何一个约数都有和它唯一”配对”的另一个约数，但当n是一个完全平方数时除外。在任何时候都有与其本身配成一对。例如，28的约数是1,2,4,7,14,28，它们可以被重新排列为（1，28）、（2，14）、（4，7），这种成对的关系，显然，d(28)是个偶数。从另一点来说，完全平方数36的约数是1,2,3,4,6,9,12,18,36，它们配成对的形式为（1，36）、（2，18）、（3，12）、（4，9）、（6，6），注意到6是和6本身配成一对的，所以它实际的约数个数是个奇数（因为在这个例子里6只能算一个约数）。所以我们可以得到结论：d(n)是奇数当且仅当n是完全平方数时。
上面所讨论的方法在下例中几乎可以完美的重复使用。虽然是在一个完全不同的内容上，那就是证明下面在代数理论中非常有名的威尔逊定理。
例4.（威尔逊定理）证明对于所有的素数p，都存在以下的关系：
（p-1）!≡-1（modp）
问题分析与求解：由于p是一个素数，故没有任何一个因数是0模p的余数。同样的，没有任何次乘是0的余数。从另一点来说，任何非零数都有唯一的乘法的反的模p，比如说，如果不是p的倍数，那么就存在唯一的∈{1，2，3...，p-1}使得≡-1（modp）。有了上述的知识，我们就可以处理这个疑难问题了：将所有的数∈{1，2，3...，p-1}与它相匹配的数∈{1，2，3...，p-1}相乘有≡-1（modp）。例如p=13，假设 ，相匹配的对为(1, 1), (2, 7), (3, 9), (4, 10), (5, 8), (6, 11), (12, 12) 可以写为：
1·(2·7)(3·9)(4·10)(5·8)(6·11)12 ≡ 1·1·1·1·1·12 =-1（mod13）
注意到，1和12是唯一和自身配对的元素。也注意到12≡-1(mod13)。我们把它推广到一般的情形：如果是它自身的乘法反模p当且仅当，这容易理解：如果2≡-1（modp），那么我们把它推广到一般的情形：如果是它自身的乘法反模p当且仅当。这容易理解：如果2≡-1（modp），那么2-1=（-1）（+1）≡0（modp），因为p是素数，这意味着或者是-1或+1是p 的一个倍数；因此≡€?（modp），是唯一的可能了。
四、不等式与多项式中的对称
代数学中常会涉及到具有多个变量或者是高次的问题，这些问题往往是很难处理的，但我们可以利用题中内在的对称关系来解题。
例5. 证明：对任意的正数，，不等式（+）（+）（+）＞8，当且仅当==时等号成立。
问题分析与求解：可以观察到上述的不等式是存在对称关系的。这就暗示了，我们没必要把左边的式子全都乘出来。而只要去观察各个乘数项，对于序列+，+，+，我们只要看项+，然后做循环置换→，→，→即可，而由含有两个变量的算术-几何平均不等式知：
将上述三个不等式相乘，即得所要不等式。
对上述所说轮换，定义如下：
对于含有几个变量的函数，其循环和为：
例如，假设变量是，则有
下面我们就用这个概念并结合对称思想来分解一个三变量对称立方式。
例6.分解多项式。
问题分析与求解：从题中的对称关系估计上式分解后同样存在对称的关系，最简单的估
计是其中一个因子可能是与，所以将与做乘积，就能得到立方项，同时会得到一些误差项，有
事实上，对称思想在初等数学中的应用非常广泛，除了在几何，代数，不等式中的应用，对称思想在解决函数问题，立体几何问题，组合数学问题上都有着广泛的应用。并且对称的思想对极限原理，分类原理的提出也起着重要帮助。通过上述几例的分析说明, “对称思想”在解题中的作用是不言而喻的。它不仅本身具有奇妙之用, 而且既能培养学生的良好思维品质又能提高学生的创新能力。这正是当前素质教育所倡导的。
参考文献：
[1]黎智尼.对称思想在解题中的应用[J].中学生数学,2002,8(8):16-17.
[2]蔺守臣,蔡恒录.对称思想及解题[J].天水师专学报[J].2000,20(10):64-66.
[3]龚长青.例谈对称思想在解题中的应用[J].成都教育学院学报,2000,14(9):61-62.
[4]门德荣.利用对称思想解函数综合题[J].数理化学习,2005,(9):7-9.
[5]毛建国.注意平几中对称思想的应用[J].数学教学通讯,2004,213(8):52-53.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文