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摘 要：本文以初中数学《函数的概念》教学为例，探讨数学核心素养在初中概念教学中的应用意义。初中《函数的概念》教学设计从以下四个方面展开：教师设计恰当的生活情境，让学生领悟“万物皆变”之道理;探究变量关系，从而引出用“解析式”法表示变量关系;设置对应问题，再次引导学生发现函数的“表格”“图像”表示法;引导学生形成概念，自主概括归纳概念的本质。最后，对《函数的概念》教学设计进行反思。
关键词：概念教学;数学核心素养;函数的概念
一、对数学核心素养下的数学概念教学的理解
“概念”不能简单地从字面上理解为人们对某些事物概括或总结后的想法。在科学研究上，这种说法是不严谨。逻辑学上认为：“概念主要是用来反映客观对象的某些本质属性的一种思维形式”[1]。而“数学概念是数学思维品质与关键能力的集中体现，把握数学概念教学就是落实数学学科核心素养的重要策略”[2]。“数学概念教学”是在教学中向学生讲授数学概念的名称、定义、属性、本质内涵等相关内容的教学活动。数学概念教学是引领学生打开数学知识大门的第一步，可以培养学生的数学核心素养，同时激发学生的数学兴趣、丰富学生的数学文化底蕴、培养学生的优秀品质。
“歌德表示，不能产生行动的思想是一种疾病。在教育领域，这样的疾病比比皆是，知易行难。我们何曾缺少过理论和理念？缺少的是精彩的案例”[3]。因此，本文以初中《函数的概念》的教学设计为例，将数学核心素养的教学理念融入概念教学中，以供一线教师借鉴和参考。
二、教学案例设计与分析——以初中《函数的概念》为例
函数是初中数学核心内容之一。学习函数要从函数概念开始，学好函数概念是应用函数知识解决问题的前提。函数概念比较抽象，理解起来有一定的困难。如何能让初中生熟练掌握函数概念的本质和外延，如何在函数概念教学中融入数学核心素养是每一位初中数学教师要思考的问题。下面以初中数学中《函数的概念》的教学为例，谈一谈基于核心素养的数学概念教学案例设计与分析。
活动一：创设生活情境、发现数学现象
生活情境：大气温度随时间变化而变化;液体的沸点随着大气压的变化而变化;行星在宇宙中的位置随着时间的变化而变化;人类的记忆保存量随时间变化而变化;等等。这就是所谓的“万物皆变”的道理。
设计意图：为接下来给出量、变量、函数等定义的形成做好铺垫，我们创设“万物皆变”这一生活情境，让学生发现生活中的现象和数学中的变量有着密切的关系。
活动二：探究变量关系、引出“关系式”法
问题1：请说出下列问题①—⑤中所涉及的两个变量之间的关系，并说一说同一问题中的两个变量之间是如何变化的？
①一列“复兴号”在京沪高铁上以350千米/小时的速度匀速行驶着，规定高铁的行驶路程为s千米，行驶时间为t小时;②某市的自来水价为6元/吨。小明家1月份用水量为x吨，应交水费为m元;③电影《唐人街探案3》正在万达电影院上映，售价为35元/张，假设售出x张电影票，则票房收入为y;④把石头投进平静的池塘会激起美丽的涟漪，圆形的水波向外扩散，这中间蕴含着数学知识，将圆的面积设为S，半径设为r;⑤乐乐想用32米长的栅栏围成一个长方形的菜园，如图1所示，假设菜园的长为x，宽为y。
设计意图：让学生通过实际问题情境了解到现实生活中处处存在着变量，使学生准确地找出实际问题中的变量。随后，让学生给出两个变量之间的关系。这些教学活动使学生熟悉变量的符号表示，初步体验问题情境中两个变量之间是彼此相关的特征。教师通过问题①来引导学生思考、探究，培养学生积极思考的习惯，为学生独自解决问题②—⑤做出示范。
问题2：在问题①中，变量s（路程）是如何随着变量t（时间）的变化而相应变化的？能不能用s与t的数学关系式表达呢？
问题3：请参照问题2的解答，分析问题②—⑤中的变量分别是什么？在同一个问题中，变量之间的关系又是什么？
设计意图：通过对问题①中变量及变量间的关系的深入分析与讨论，引导学生自主思考问题②、③、④、⑤中的变量关系。在学生自主解决问题①的基础上，逐步提升学生对变量及其关系的认知，进而更加熟练地分析之后的问题。以上问题的讨论注重培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力，让学生初步感受数学抽象、直观想象等素养的运用，让学生会用数学眼光观察生活、会用数学符号表达生活现象。经过学生对问题②、③、④、⑤的自主分析及小组讨论，引导学生发现变量之间的相互关系的共同特征，得出一般情况下的变量之间的关系。
问题4：同学们，请问在问题①、②、③、④、⑤中，变量之间的关系具有什么样的共同特点？
设计意图：让学生知道问题①—⑤均可通过“数学关系式”来表示变量间的对应关系，锻炼学生善于发现问题的共同特征及准确归纳的能力。使学生运用数学关系式表达变量间关系的能力得到培养，为建立函数解析式创设条件。
活动三、设置对应问题、运用“表格”“图像”法
问题5：旅游业将春暖花开。预计2021年国庆期间我国的旅游人数将创历史新高。下表为2021年10月1日至8日期间预计参观故宫的旅客量情况，设日期为变量x，当天的游客量为y，那么表中的x（日期）和y（游客量）之间有什么关系呢？
设计意图：让学生发现变量间关系除了可以“用式子表示变量之间关系”的建立，还能借助“用表格表示变量之间关系”来表达。一旦确定其中一个变量（日期）的值时，通过查表就可以唯一确定与之对应的另一个变量（游客量）的值，让学生进一步明晰函数的本质特性，摆脱“用式子表示变量之间关系”这一束缚，使学生掌握函数表示的第二种表示方法——表格式。
问题6：上海市某天9时—24时的降雨量的变化情况如图2所示，你能说出10点、16點、19点、23点的降雨量吗？ 設计意图：构建图像表示变量之间的关系例子，突出函数概念的本质。让学生掌握确定变量之间的关系的方法除了可以“用式子表示变量之间关系”和“用表格表示变量之间关系”外，还可以用图像来表示，使学生更加深入理解函数的概念本质属性。
活动四、引导生成概念、概括归纳本质
问题7：通过分析上述实际问题中两个变量之间的关系，当其中一个变量确定时，确定另外一个变量有几种方式？你们能归纳出什么共同特点吗？
师生活动：教师组织学生分小组讨论，小组归纳总结出如下结论：对于以上所有的问题情境中的变化过程，均有两个变量，并且当取定其中一个变量值时，都有唯一的确定值，即另一个变量和它对应。这两个变量间的关系可以用数学解析式法、表格法、图像法等表示。有了上面的铺垫之后，教师引导学生自己概括出函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
三、《函数的概念》教学设计反思
由于函数的具有较强的抽象性，对于一些抽象能力较弱的初中生容易出现函数概念理解不透彻的问题。为了更好地落实核心素养下的函数概念的教学，对《函数的概念》的教学设计反思如下：
（1）教师只有对概念教学充分关注，在把函数概念讲清楚、讲准确的同时，让学生深刻理解函数概念的内涵与外延，才能从根本上提高学生分析和解决问题的能力，进而提升思维品质。
（2）教师在课堂教学中要加强引导，采用多元化教学方式，增强课堂上师生的互动性，培养学生数形结合的思想，从而让学生更深层次地了解函数的概念，实现抽象实像的相互转化，使学生更快地掌握函数知识，从而达到学以致用的目的。
（3）初中数学是采用“变量说”得到函数的概念，相对高中数学采用“对应说”给函数下定义来说较易理解。这为学生在高中阶段进一步学习函数的概念奠定基础。围绕培养学生的直观想象、数学抽象等数学核心素养来设计每个教学环节使教学设计始终以突出函数本质为目标。同时，通过函数的概念的教学，对学生数学情感、学习习惯和个人品质的形成都有深远的影响。这些也是培养学生数学核心素养不可忽视的重要内容。
（4）教学设计运用“问题驱动式”推动教学进行[4]，用衔接紧密的问题串诱导学生思考、推动课堂，使学生的认知产生冲突、新知的探索欲望得到激发，引导学生形成概念以及对概念的同化。为了符合初中生的认知发展，在教学设计中要保证教学情境与教学内容、各个教学内容之间的融洽连接。这对学生认知经验的迁移起至关重要的作用。
（5）始终秉持“以学生为中心”的原则设计教学[5]。为了多角度锻炼学生用数学语言交流、阐明自己的观点，课堂上教师要给学生留足时间去思考，积极引导学生用数学语言对问题进行归纳与概括。同时，在教学活动中运用小组合作、探究的学习方式培养学生的团队合作意识和沟通能力。
参考文献：
[1]李兵，王静.初中数学概念教学策略[J].学周刊，2011（16）：21.
[2]王志刚.数学核心素养更需要在数学核心概念的教学中落实——以“导数概念”（第一课时）教学为例[J].数学教学通讯，2019（05）：20-23.
[3]汪晓勤，栗小妮.数学史与初中数学教学——理论、实践与案例[M].上海：华东师范大学出版社，2019.
[4]张奠宙，李士.数学教育学导论[M].北京：高等教育出版社，2003.
[5]徐斌艳.数学教育展望[M].上海：华东师范大学出版社，2001.
关键词：概念教学;数学核心素养;函数的概念
一、对数学核心素养下的数学概念教学的理解
“概念”不能简单地从字面上理解为人们对某些事物概括或总结后的想法。在科学研究上，这种说法是不严谨。逻辑学上认为：“概念主要是用来反映客观对象的某些本质属性的一种思维形式”[1]。而“数学概念是数学思维品质与关键能力的集中体现，把握数学概念教学就是落实数学学科核心素养的重要策略”[2]。“数学概念教学”是在教学中向学生讲授数学概念的名称、定义、属性、本质内涵等相关内容的教学活动。数学概念教学是引领学生打开数学知识大门的第一步，可以培养学生的数学核心素养，同时激发学生的数学兴趣、丰富学生的数学文化底蕴、培养学生的优秀品质。
“歌德表示，不能产生行动的思想是一种疾病。在教育领域，这样的疾病比比皆是，知易行难。我们何曾缺少过理论和理念？缺少的是精彩的案例”[3]。因此，本文以初中《函数的概念》的教学设计为例，将数学核心素养的教学理念融入概念教学中，以供一线教师借鉴和参考。
二、教学案例设计与分析——以初中《函数的概念》为例
函数是初中数学核心内容之一。学习函数要从函数概念开始，学好函数概念是应用函数知识解决问题的前提。函数概念比较抽象，理解起来有一定的困难。如何能让初中生熟练掌握函数概念的本质和外延，如何在函数概念教学中融入数学核心素养是每一位初中数学教师要思考的问题。下面以初中数学中《函数的概念》的教学为例，谈一谈基于核心素养的数学概念教学案例设计与分析。
活动一：创设生活情境、发现数学现象
生活情境：大气温度随时间变化而变化;液体的沸点随着大气压的变化而变化;行星在宇宙中的位置随着时间的变化而变化;人类的记忆保存量随时间变化而变化;等等。这就是所谓的“万物皆变”的道理。
设计意图：为接下来给出量、变量、函数等定义的形成做好铺垫，我们创设“万物皆变”这一生活情境，让学生发现生活中的现象和数学中的变量有着密切的关系。
活动二：探究变量关系、引出“关系式”法
问题1：请说出下列问题①—⑤中所涉及的两个变量之间的关系，并说一说同一问题中的两个变量之间是如何变化的？
①一列“复兴号”在京沪高铁上以350千米/小时的速度匀速行驶着，规定高铁的行驶路程为s千米，行驶时间为t小时;②某市的自来水价为6元/吨。小明家1月份用水量为x吨，应交水费为m元;③电影《唐人街探案3》正在万达电影院上映，售价为35元/张，假设售出x张电影票，则票房收入为y;④把石头投进平静的池塘会激起美丽的涟漪，圆形的水波向外扩散，这中间蕴含着数学知识，将圆的面积设为S，半径设为r;⑤乐乐想用32米长的栅栏围成一个长方形的菜园，如图1所示，假设菜园的长为x，宽为y。
设计意图：让学生通过实际问题情境了解到现实生活中处处存在着变量，使学生准确地找出实际问题中的变量。随后，让学生给出两个变量之间的关系。这些教学活动使学生熟悉变量的符号表示，初步体验问题情境中两个变量之间是彼此相关的特征。教师通过问题①来引导学生思考、探究，培养学生积极思考的习惯，为学生独自解决问题②—⑤做出示范。
问题2：在问题①中，变量s（路程）是如何随着变量t（时间）的变化而相应变化的？能不能用s与t的数学关系式表达呢？
问题3：请参照问题2的解答，分析问题②—⑤中的变量分别是什么？在同一个问题中，变量之间的关系又是什么？
设计意图：通过对问题①中变量及变量间的关系的深入分析与讨论，引导学生自主思考问题②、③、④、⑤中的变量关系。在学生自主解决问题①的基础上，逐步提升学生对变量及其关系的认知，进而更加熟练地分析之后的问题。以上问题的讨论注重培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力，让学生初步感受数学抽象、直观想象等素养的运用，让学生会用数学眼光观察生活、会用数学符号表达生活现象。经过学生对问题②、③、④、⑤的自主分析及小组讨论，引导学生发现变量之间的相互关系的共同特征，得出一般情况下的变量之间的关系。
问题4：同学们，请问在问题①、②、③、④、⑤中，变量之间的关系具有什么样的共同特点？
设计意图：让学生知道问题①—⑤均可通过“数学关系式”来表示变量间的对应关系，锻炼学生善于发现问题的共同特征及准确归纳的能力。使学生运用数学关系式表达变量间关系的能力得到培养，为建立函数解析式创设条件。
活动三、设置对应问题、运用“表格”“图像”法
问题5：旅游业将春暖花开。预计2021年国庆期间我国的旅游人数将创历史新高。下表为2021年10月1日至8日期间预计参观故宫的旅客量情况，设日期为变量x，当天的游客量为y，那么表中的x（日期）和y（游客量）之间有什么关系呢？
设计意图：让学生发现变量间关系除了可以“用式子表示变量之间关系”的建立，还能借助“用表格表示变量之间关系”来表达。一旦确定其中一个变量（日期）的值时，通过查表就可以唯一确定与之对应的另一个变量（游客量）的值，让学生进一步明晰函数的本质特性，摆脱“用式子表示变量之间关系”这一束缚，使学生掌握函数表示的第二种表示方法——表格式。
问题6：上海市某天9时—24时的降雨量的变化情况如图2所示，你能说出10点、16點、19点、23点的降雨量吗？ 設计意图：构建图像表示变量之间的关系例子，突出函数概念的本质。让学生掌握确定变量之间的关系的方法除了可以“用式子表示变量之间关系”和“用表格表示变量之间关系”外，还可以用图像来表示，使学生更加深入理解函数的概念本质属性。
活动四、引导生成概念、概括归纳本质
问题7：通过分析上述实际问题中两个变量之间的关系，当其中一个变量确定时，确定另外一个变量有几种方式？你们能归纳出什么共同特点吗？
师生活动：教师组织学生分小组讨论，小组归纳总结出如下结论：对于以上所有的问题情境中的变化过程，均有两个变量，并且当取定其中一个变量值时，都有唯一的确定值，即另一个变量和它对应。这两个变量间的关系可以用数学解析式法、表格法、图像法等表示。有了上面的铺垫之后，教师引导学生自己概括出函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
三、《函数的概念》教学设计反思
由于函数的具有较强的抽象性，对于一些抽象能力较弱的初中生容易出现函数概念理解不透彻的问题。为了更好地落实核心素养下的函数概念的教学，对《函数的概念》的教学设计反思如下：
（1）教师只有对概念教学充分关注，在把函数概念讲清楚、讲准确的同时，让学生深刻理解函数概念的内涵与外延，才能从根本上提高学生分析和解决问题的能力，进而提升思维品质。
（2）教师在课堂教学中要加强引导，采用多元化教学方式，增强课堂上师生的互动性，培养学生数形结合的思想，从而让学生更深层次地了解函数的概念，实现抽象实像的相互转化，使学生更快地掌握函数知识，从而达到学以致用的目的。
（3）初中数学是采用“变量说”得到函数的概念，相对高中数学采用“对应说”给函数下定义来说较易理解。这为学生在高中阶段进一步学习函数的概念奠定基础。围绕培养学生的直观想象、数学抽象等数学核心素养来设计每个教学环节使教学设计始终以突出函数本质为目标。同时，通过函数的概念的教学，对学生数学情感、学习习惯和个人品质的形成都有深远的影响。这些也是培养学生数学核心素养不可忽视的重要内容。
（4）教学设计运用“问题驱动式”推动教学进行[4]，用衔接紧密的问题串诱导学生思考、推动课堂，使学生的认知产生冲突、新知的探索欲望得到激发，引导学生形成概念以及对概念的同化。为了符合初中生的认知发展，在教学设计中要保证教学情境与教学内容、各个教学内容之间的融洽连接。这对学生认知经验的迁移起至关重要的作用。
（5）始终秉持“以学生为中心”的原则设计教学[5]。为了多角度锻炼学生用数学语言交流、阐明自己的观点，课堂上教师要给学生留足时间去思考，积极引导学生用数学语言对问题进行归纳与概括。同时，在教学活动中运用小组合作、探究的学习方式培养学生的团队合作意识和沟通能力。
参考文献：
[1]李兵，王静.初中数学概念教学策略[J].学周刊，2011（16）：21.
[2]王志刚.数学核心素养更需要在数学核心概念的教学中落实——以“导数概念”（第一课时）教学为例[J].数学教学通讯，2019（05）：20-23.
[3]汪晓勤，栗小妮.数学史与初中数学教学——理论、实践与案例[M].上海：华东师范大学出版社，2019.
[4]张奠宙，李士.数学教育学导论[M].北京：高等教育出版社，2003.
[5]徐斌艳.数学教育展望[M].上海：华东师范大学出版社，2001.