中学解题中有些数学问题可通过“数形结合”的思想加以解决。用“数形结合”的思想解题，具有直观性、灵活性、深刻性，而且可跨越各科的界线，有较强的综合性。一些数学问题可通过如下途径解决：将“形”转化为“数”（式），用代数方法研究几何问题；将“数”转化为“形”，根据给出的“数”（式）结构特点，构造出与它相应的几何图形，“数”上构“形”，用几何直观的方法解决代数问题。下面是中学数学中常用到“数形结合”思想解题的几个重要内容：
　　一、用“数形结合思想”研究函数问题
　　1、对称图形变换
　　⑴函数y＝f（x）图象关于原点对称推出x属于R，x属于M，且f（－x）＝－f（x）
　　⑵若函数y＝f（x）定义域为R，x属于R，f（x）＝f（2a－x），则图形关于x＝a对称。
　　⑶y＝f（x）的定义域为M，x属于M，a＋x，a－x均属于M，且f（a＋x）＝f（a－x），则：y＝f（x）的图形关于x＝a对称（反之也成立）。
　　⑷y＝f（x）在定义域上有反函数，y＝f（x）与y＝f－1（x）的图象关于y＝x对称。
　　2、函数图象变换
　　⑴平移变换，水平平移。f（x±a）（a＞0）的图象是将f（m）图象向左（或右）平移a个单位而得到上下平移。f（x）±A（A＞0）的图象是将f（x）的图象向上（或下）平移A个单位得到。
　　⑵伸缩变换。y＝f（ax）（a＞0）的图象是将y＝f（x）的图象上的每一点，横坐标压缩（a＞1）或伸长（0＜a＜1）到原来的倍，纵坐标不变而得到。y＝Af（x）（A＞0）的图象将f（x）的图象上的每一点纵坐标伸长（A＞0）或压缩（O＜A＜1）到原来的A倍，横坐标不变得到。
　　⑶图象的叠加。y＝g（x）±f（x）的图象是将f（x）与g（x）对于同一x的纵坐标相加（减）为纵坐标，横坐标不变的所有点构成的图象。
　　二、利用“数形结合”的思想解决数列问题
　　数列可视为定义在自然数集上的特殊函数。
　　⑴等差数列：an＝a1＋（n－1）d（a1，d常数视为n的常数视为n的常数）＝dn＋（a1－d）（n∈N* 为一次函数），Sn＝a1n＋d＝n2＋（a1－）n（n∈N*为二次函数）。
　　⑵等比数列：an＝a1qn－1（n∈N*）视为指数函数与常数的乘积。
　　Sn＝＝－可用指数函数图象研究。
　　例：已知Sn是等差数列{an}的前几项和，且Sp＝Sq（p≠q），求Sp＋q＝？
　　解：如图：
　　Sn＝n2＋（a1－）n为过原点的二次函数，不妨设d＜0，二次函数开口向下
　　∴Sp＋q＝0
　　三、用“数形结合”思想解方程和不等式
　　1、解决方程问题
　　将方程的解视为二次函数的交点，然后借助于函数图象的直观性研究交点问题，从而达到研究方程的根本目的。
　　例：已知：k属于R，讨论关于x的方程|x2－1|－x－k＝O的实根情况。
　　解：如右图，原方程为|x2－1|＝x＋k
　　令y＝|x－1|，y＝x＋k
　　为与y＝x平行的一族平行线。
　　①当k＜－1时，无交点，方程无解。
　　②当k＝－1时，有一交点，方程有两解。
　　③当－1＜k＜1时，有两交点，方程有两解。
　　④当k＝1时，有三交点，方程有三解。
　　⑤当1＜k＜时，有四交点，方程有四解。
　　2、解决不等式（分析条析、结论的几何
　　意义，从中找出解题方法）
　　例：设函数f（x）＝|lgx|，若0＜a＜b，
　　且f（a）＞f（b），求证：ab＜1
　　证明：如图所示：
　　①若a，b＞1，则f（a）＞f（b）不可能成立。
　　②若a，b＜1，则a，b＜1显然成立。
　　③若0＜a≤b，f（a）＝|lga|＝－lga，f（b）＝|lgb|＝lgb
　　∵f（a）＞f（b）
　　∴－lga＞lgb＞O＞lgb＋lga＝lgab
　　∵lg1＝0
　　∴1＞ab（大于1时为增函数）
　　四、利用“数形结合”思想解决三角问题
　　利用三角函数中的单位圆、三角函数图形解题。
　　例：解三角不等式：sinx＞
　　解：如图：
　　在单位圆中找出：sinx＝的边界角
　　然后写出区间解：2kπ＋π＜x＜2kπ＋π（k属于Z）
　　总之，利用“数形结合”的思想探究一些数学问题，用形探究数，用数研究形、数形结合，使问题变得直观简洁。因此，数形结合思想在中学解题中具有重要的意义。
　　
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