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多元函数，特别是形如z=f （x，y）的二元函数的最值问题是近年来高考和数学竞赛的一个难点，多元函数的最值涉及到函数、不等式、线性规划等诸多重要的知识点，同时还体现了函数与方程，转化与化归，数形结合等核心数学思想，因此成为探索的热点.本文通过典型题例对解决多元函数的方法进行了一定的探究和归纳.
一、消元法
消元是处理多元问题常用的，最有效的数学技巧之一，常常能将多元函数问题转化为我们熟悉的一元函数，方程或不等式问题来处理，可以起到化繁为简的作用.常可以通过代入消元法、整体消元法、不等式的放缩、三角换元等方法来达到消元的目的.
例1 （2011年浙江（理））设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则
2x+y的最大值是.
分析：通过将所求问题整体换元，代入消元转化为一元二次方程，利用方程的思想求解最值问题，解题略.
例2 已知x，y，z∈R，且
x+y+z=1，x2+y2+z2=3，则xyz的最大值是.
分析：本题中含有三个字母，必须进行有效的转化，本题的核心是如何尽可能消元，减少变量，化为一元问题，解答略.
例3 已知x2+y2-xy=1，求x2-y2的最大值与最小值.
分析：本题不同于例1，例2，利用代入消元和不等式的放缩都很难达到消元的目的，我们可以考虑通过三角换元，利用参数方程来达到降低维数消元的目的.
解： 设z=x2-y2，令
x=ρcost
y=ρsint
（t∈R，ρ≥0），则
z=ρ2cos2t ①
x2+y2-xy=1转化为ρ2（1-0.5sin2t）=1 ②
将①除以②可得：z=cos2t
1-0.5sin2t，
利用三角有界法可求得：
z∈[-23/3，23/3].
点评：在求解最值问题时，特别是涉及圆和圆锥曲线的问题，我们经常考虑运用参数方程来达到降维的目的.
二、确定主元法，将问题转化为一元函数求最值
例4 设F（x，y）=（x+y）2+（x-2y-1）2，
x，y∈R且y≠0，求F（x，y）的最小值.
分析：对于二元函数可以考虑降维的思想，可以通过确定主元，树立主元意识，先将其中某一个元作为变量，其余元都作为常数，化归为常见一元函数求最值.
解：设F（x，y）=（x+y）2+（x-2y-1）2=
2x2+2（y-2y-1）x+y2+1+4y
+4y2，
则关于x的函数：
g（x）=2x2+2（y-2y-1）x+y2+1+4y
+4y2
=2[x+（y2-1y-12）]
2+12
（y+2y+1）2，
则
g（x）min=
12（y+
2y+1）2，利用基本不等式可求得：
F（x，y）min=
9-422.
三、基本不等式法
例5 （2013年山东（理））设正实数x，y，z满足
x2-3xy+4y2-z=0，则当xyz取得最大值时，
2x+1y-
2z的最大值为.
分析：利用基本不等式通常是解决多元函数最值的重要工具，通过不等式进行有效的放缩达到求最值的目的.
解：因为x2-3xy+4y2-z=0，所以z=x2-3xy+4y2，因为x，y，z都是正实数，
所以xyz
=xyx2-3xy+4y2≤xy4xy-3xy=1
，
当且仅当x=2y时，
（xyz）max=1.
则z=x2-3xy+4y2=2y2，
所以2x+
1y-2z
=22y+1y
-22y2
=-（1y-1）2+1≤1，
当且仅当
y=1，x=2，z=2时，
（2x
+1y
-2z）max=1.
四、数形结合法
求解多元函数最值时，常结合题目中的条件和目标函数的形式所对应的几何意义，将“数”化归为“形”，这是解决多元函数最值的又一利器.
例6 （2013年盐城二模 ）若实数a，b，c，d满足
a2-2lnab
=3c-4d=1，则
（a-c）2+（b-d）2的最小值为.
分析：通过对所求问题的结构分析，让我们联想到
A（a，b），B（c，d）两点之间的距离的平方，关键是要构造出两个曲线，将问题转化为两曲线间动点之间的关系，在图形中寻找出更有效的解决方法.
解：
因为a2-2lna
b=3c-4d
=1，所以b=a2-2lna，d=3c-4，可看为
y=x2-2lnx上的一点任意一点A（x0，x2-2lnx0）到直线
y=3x-4上的距离的最小值的平方.
y′=2x0-2x0
=3，因为x0>0，所以x0=2，所以A（2，4-2ln2）.
所以过A到直线y=3x-4的距离即为A（a，b），B（c，d）之间距离的最小值，即为
（2-2ln2）/10，但是所求为距离的平方，
所以[（a-c）2+（b-d）2]min=
2（1-ln2）2/5.
点评：通过目标函数的几何意义，将数与形的结合，问题可转化为距离、斜率、线性规划等方面来求解，这种转化的过程通常比较省时省力，可以提高我们解题的水平和能力.例4也可通过数形结合的方法求解.
五、柯西不等式法
柯西不等式通常是解决多元之间的不等关系，它的出现使得多元函数的最值问题又多了一条便捷有效的途径.
例7 （2013年湖南（理））已知a，b，c∈R，
a+2b+3c=6，则
a2+4b2+8c2的最小值.
分析：本题直接使用柯西不等式进行有效的放缩，可以简洁方便的求出最值.
解： 因为（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤
（12+12+12）×（a2+4b2+8c2）.
化简得：62≤3×（a2+4b2+8c2），
所以a2+4b2+8c2≥12，当且仅当
a=2，b=1，c=23时取得最小值.
以上题型揭示了多元函数的最值问题解题常用思路，处理方法主要有三种：（1）通过不同的方式（消元，换元，确立主元等）将多元转化为一元问题，利用熟知的一元函数的最值方法求解；（2）可考虑基本不等式，柯西不等式等不等关系进行适当的放缩达到求最值的目的；（3）尝试从构造的角度处理问题，赋予式子明显的几何意义，通过“形”达到由繁到简的目的.
一、消元法
消元是处理多元问题常用的，最有效的数学技巧之一，常常能将多元函数问题转化为我们熟悉的一元函数，方程或不等式问题来处理，可以起到化繁为简的作用.常可以通过代入消元法、整体消元法、不等式的放缩、三角换元等方法来达到消元的目的.
例1 （2011年浙江（理））设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则
2x+y的最大值是.
分析：通过将所求问题整体换元，代入消元转化为一元二次方程，利用方程的思想求解最值问题，解题略.
例2 已知x，y，z∈R，且
x+y+z=1，x2+y2+z2=3，则xyz的最大值是.
分析：本题中含有三个字母，必须进行有效的转化，本题的核心是如何尽可能消元，减少变量，化为一元问题，解答略.
例3 已知x2+y2-xy=1，求x2-y2的最大值与最小值.
分析：本题不同于例1，例2，利用代入消元和不等式的放缩都很难达到消元的目的，我们可以考虑通过三角换元，利用参数方程来达到降低维数消元的目的.
解： 设z=x2-y2，令
x=ρcost
y=ρsint
（t∈R，ρ≥0），则
z=ρ2cos2t ①
x2+y2-xy=1转化为ρ2（1-0.5sin2t）=1 ②
将①除以②可得：z=cos2t
1-0.5sin2t，
利用三角有界法可求得：
z∈[-23/3，23/3].
点评：在求解最值问题时，特别是涉及圆和圆锥曲线的问题，我们经常考虑运用参数方程来达到降维的目的.
二、确定主元法，将问题转化为一元函数求最值
例4 设F（x，y）=（x+y）2+（x-2y-1）2，
x，y∈R且y≠0，求F（x，y）的最小值.
分析：对于二元函数可以考虑降维的思想，可以通过确定主元，树立主元意识，先将其中某一个元作为变量，其余元都作为常数，化归为常见一元函数求最值.
解：设F（x，y）=（x+y）2+（x-2y-1）2=
2x2+2（y-2y-1）x+y2+1+4y
+4y2，
则关于x的函数：
g（x）=2x2+2（y-2y-1）x+y2+1+4y
+4y2
=2[x+（y2-1y-12）]
2+12
（y+2y+1）2，
则
g（x）min=
12（y+
2y+1）2，利用基本不等式可求得：
F（x，y）min=
9-422.
三、基本不等式法
例5 （2013年山东（理））设正实数x，y，z满足
x2-3xy+4y2-z=0，则当xyz取得最大值时，
2x+1y-
2z的最大值为.
分析：利用基本不等式通常是解决多元函数最值的重要工具，通过不等式进行有效的放缩达到求最值的目的.
解：因为x2-3xy+4y2-z=0，所以z=x2-3xy+4y2，因为x，y，z都是正实数，
所以xyz
=xyx2-3xy+4y2≤xy4xy-3xy=1
，
当且仅当x=2y时，
（xyz）max=1.
则z=x2-3xy+4y2=2y2，
所以2x+
1y-2z
=22y+1y
-22y2
=-（1y-1）2+1≤1，
当且仅当
y=1，x=2，z=2时，
（2x
+1y
-2z）max=1.
四、数形结合法
求解多元函数最值时，常结合题目中的条件和目标函数的形式所对应的几何意义，将“数”化归为“形”，这是解决多元函数最值的又一利器.
例6 （2013年盐城二模 ）若实数a，b，c，d满足
a2-2lnab
=3c-4d=1，则
（a-c）2+（b-d）2的最小值为.
分析：通过对所求问题的结构分析，让我们联想到
A（a，b），B（c，d）两点之间的距离的平方，关键是要构造出两个曲线，将问题转化为两曲线间动点之间的关系，在图形中寻找出更有效的解决方法.
解：
因为a2-2lna
b=3c-4d
=1，所以b=a2-2lna，d=3c-4，可看为
y=x2-2lnx上的一点任意一点A（x0，x2-2lnx0）到直线
y=3x-4上的距离的最小值的平方.
y′=2x0-2x0
=3，因为x0>0，所以x0=2，所以A（2，4-2ln2）.
所以过A到直线y=3x-4的距离即为A（a，b），B（c，d）之间距离的最小值，即为
（2-2ln2）/10，但是所求为距离的平方，
所以[（a-c）2+（b-d）2]min=
2（1-ln2）2/5.
点评：通过目标函数的几何意义，将数与形的结合，问题可转化为距离、斜率、线性规划等方面来求解，这种转化的过程通常比较省时省力，可以提高我们解题的水平和能力.例4也可通过数形结合的方法求解.
五、柯西不等式法
柯西不等式通常是解决多元之间的不等关系，它的出现使得多元函数的最值问题又多了一条便捷有效的途径.
例7 （2013年湖南（理））已知a，b，c∈R，
a+2b+3c=6，则
a2+4b2+8c2的最小值.
分析：本题直接使用柯西不等式进行有效的放缩，可以简洁方便的求出最值.
解： 因为（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤
（12+12+12）×（a2+4b2+8c2）.
化简得：62≤3×（a2+4b2+8c2），
所以a2+4b2+8c2≥12，当且仅当
a=2，b=1，c=23时取得最小值.
以上题型揭示了多元函数的最值问题解题常用思路，处理方法主要有三种：（1）通过不同的方式（消元，换元，确立主元等）将多元转化为一元问题，利用熟知的一元函数的最值方法求解；（2）可考虑基本不等式，柯西不等式等不等关系进行适当的放缩达到求最值的目的；（3）尝试从构造的角度处理问题，赋予式子明显的几何意义，通过“形”达到由繁到简的目的.