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新课改对中学数学教育最大的触动是人们的教学理念发生明显的变化，在新授课的教学中不仅关注教学内容，更注重知识发生与发现的过程，关注学生的参与程度与相应情感的变化，突出学生的主体地位与作用.这些方面既有专家引领，又有很多一线老师参与，同时很多专业杂志积极配合，形成了好多优秀的案例包括经典的课堂教学实录，充满了活力.但在解题教学尤其是复习教学中，却相对比较沉闷，因受教学容量、教学进度等因素的影响，常常又很容易回到老路上，不是用教学案就是用PPT一道接着一道地往前讲，有时学生还没有把题目的意思完全弄明白，就已经到了下一个题目，把学生晾在了一边.作为老师，该讲的虽然都讲了，但有不少学生有时却是一头雾水，似懂非懂，效果自然不会好.我们认为，作为数学教学的一种基本课型——数学解题课教学也需要注入活水，开展理论与实践方面的研究.数学解题课堂教学，首先是要选题，现在教学资料满天飞，题目五花八门，选题的首要条件是体现课程标准和考试说明；其次是一定要符合学生的实际学情；再次是需要注意所选题目有一定的思考价值，具有代表性和典型性.在具体的教学过程中，不只是一个题目给了一个解答就算完事了，要引导所有同学都参与到条件的分析与寻找思路的过程中去，给各种不同的想法发表见解的机会，鼓励一题多解，既促进个性发展，又拓宽解题思路，增加课堂思维的容量，进行不同知识板块间的联系与整合，同时进行变式训练，以变求新，以变求实效，提升数学素养和能力,这样才能实现高效率课堂教学，有利于构建活泼、生动与高效的课堂教学模式，提升数学教学的质量.
一、一题多解、纵横联系，让思维活起来
同一道题，我们从不同的角度出发，可以产生各种各样不同的解法，这样既能激发学生的学习热情，鼓励学生各抒己见，调动思考的积极性，充分体现学生的主体地位，又可以开阔视野，增加知识容量，有效训练基本技能技巧，提高课堂效率.这里选题尤其重要，既要难度适中，能够让学生动起来，又利于“借题发挥”，发挥老师的主导作用.如向量的综合运用，我们选择了例1进行训练与研究，收到比较好的课堂教学效果.
例1 如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，D是边BC的中点，则AD•BC=.
解法1 常规方法：先选择好基向量，用基向量表示出BC和AD，然后用向量数量积的定义进行计算.
令AB=a，AC=b，则BC=AC-AB=b-a，
AD=12(a+b)，∴AD•BC=12(b2-a2）=-72.
这里解法1是处理这类问题的通法，基本出发点利用平面向量基本定理，将AD和BC用基向量AB，AC表示出来，然后用向量数量积的定义计算.
解法2 用余弦定理处理：设AD=m，BD=DC=n，∠BDA=θ，则在△ABD中,
42=AB2=m2+n2-2mncosθ.
又 在△ADC中，
32=AC2=m2+n2-2mncos(π-θ)
=m2+n2+2mncosθ，
以上两式相减，得mncosθ=-74.
∴AD•BC=m•2ncosθ=2mncosθ=-72.
二、类比联想、点面结合，让题目变起来
例2 已知数列{an}前n项的和是Sn.若{an}是等差数列，比较Sn+1+Sn-1(n≥2)与2Sn的大小.
分析 设{an}的公差是d,则Sn=na1+n(n-1)2d,
于是Sn+1+Sn-1-2Sn=d(n≥2).
所以当d=0时,Sn+1+Sn-1=2Sn，等价于数列{Sn}成等差数列.
当d>0时,Sn+1+Sn-1>2Sn;
当d<0时,Sn+1+Sn-1<2Sn.
即d≠0时，数列{Sn}不能成等差数列，这里n-1，n，n+1成等差数列,推广一下有什么结论?
变题1 若{an}是等差数列，n 分析 易知Sn+Sk-2Sm=(n-k)2d4，结论与原题相同.
将等差数列与等比数列类比又有什么结论?
变题2 若{an}是等比数列， n 分析 设等比数列{an}的公比是q,数列n,m,k的公差是d.
则q=1时，Sn=n，SnSk-S2m=-(n-k)24<0；
q≠1时,Sn=a1(1-qn)1-q,设a11-q=A，则
Sn•Sk-S2m=A(1-qn)•A(1-qk)-A2(1-qm)2
=A2(-qn-qk+2qm)
=A2(-qn)(1+q2d-2qd)
=-a21qn(1-qd)2(1-q)2.
当qn<0时，SnSk-S2m>0；
当qn>0时，SnSk-S2m<0.
显然，数列{Sn}不能成等比数列.将数列{an}中的项作点微调便有精彩的变题：
变题3 设{an}满足a1=1，a2=2，anan-1=qn-2(n≥3，q>0)，若{Sn}成等比数列，求q的值.
分析 由条件a1=1，a2=2，
当n≥3时，Sn=2n-1(q=1)，1+21-q-21-qqn-1(q≠1)，
当q=1时，{Sn}显然不成等比数列；
当q≠1时，
S2n+1-Sn•Sn+2
=3-q1-q-21-q•qn2-3-q1-q-21-q•qn-1• 3-q1-q-21-q•qn+1
=2(3-q)•qn-1.
所以当q=3时，SnSn+2=S2n+1，数列{Sn}是等比数列.
当q>0且q≠3时，显然Sn-1Sn+1≠S2n.
三、及时反思、揭示本质，让知识长起来
例3 已知定义在R上的偶函数f(x)满足条件：f(x+1)=-f(x)，且在［-1，0］上是增函数，给出下列关于f(x)的命题：
①f(x)是周期函数.
②f(x)的图像关于x=1对称.
③f(x)在［0，1］上是增函数.
④f(x)在［1，2］上是减函数.
⑤f(2)=f(0).
其中真命题的序号是.
分析 由f(x+1)=-f(x)推出f(x+2)=f(x)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，所以f(1-x)=f(2-(1+x))=f(1+x)，即f(x)的图像关于直线x=1对称.故真命题的序号是：①②⑤.
本例中函数f(x)的图像有一条对称轴x=0，当推出其是周期函数时，我们推出其又有另一条对称轴x=1.那么函数的周期性与图像对称性是否有必然的联系呢？学生在老师的引导下进行反思，不难发现以下规律：
结论1 一般地，函数y=f(x)是周期为T的周期函数且有一条对称轴x=a,则它必有另一条对称轴x=b，且T=2|a-b|.
事实上，f(b+x)=f［b+x+2(a-b)］
=f［a+(a-b+x)］
=f［a-(a-b+x)］=f(b-x)，
所以x=b是函数f(x)图像的一条对称轴.
上述命题的逆命题是：函数y=f(x)有两条对称轴x=a,x=b，则它是周期为T的周期函数且T=2|a-b|.此命题亦为真，与结论1互相为逆定理.类似地，我们还可以引导学生发现：
结论2 函数y=f(x)满足：
(1)f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称,反之亦然.
（2）f(a-x)=f(b+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a+b2对称,反之亦然.
(3)f(a-x)+f(a+x)=m，则函数y=f(x)的图像关于点a,m2对称,反之亦然.
(4)f(a-x)+f(b+x)=m，则函数y=f(x)的图像关于点a+b2，m2对称,反之亦然.
四、灵活转化、辩证思考，让思路宽起来
例4 已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，若AF+BF=8，过两点A，B的动圆C恒过定点Q(6,0)且QC⊥AB，求抛物线的方程.
分析 这里AF，BF是抛物线的焦半径，抓住抛物线的定义，条件AF+BF=8可转化为xA+xB+p=8.而条件“过两点A，B的动圆C恒过定点Q(6,0)且QC⊥AB”等价于线段AB的中垂线恒经过定点Q(6,0)，则有多种转化途径.
转化1 设直线AB和抛物线的方程分别是y=kx+n(k≠0)，y2=2px(p>0).联立方程并消去x，得ky2-2py+2pn=0.
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中点T(x0,y0)，则
y1+y2=2pk，y1y2=2pnk，
∴x1+x2=1k(y1+y2-2n)=1k2pk-2n.
又 x1+x2=8-p，
∴有4-p2=pk2-nk.①
又 Tpk2-nk，pk，
∴AB中垂线的方程是y-pk=-1kx-pk2+nk，
把Q(6,0)代入，得pk2-nk=6-p.②
由①②，得p=4，∴抛物线的方程是y2=8x.
转化2 设抛物线的方程是y2=2px(p>0).
A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中点T(x0，y0)，则有
y21=2px1，①
y22=2px2.②
两式相减并整理，得y1-y2x1-x2=py0.
∴线段AB的中垂线方程是y-y0=-y0p(x-x0)，
把Q(6,0)代入，得x0=6-p.③
又 x1+x2=8-px0=4-p2.④
由③和④，得p=4，∴抛物线的方程是y2=8x.
转化2采用点参数结合点差法处理，巧用抛物线中点弦性质，过程流畅、简捷，是解决这类题型的通用方法，这种处理比转化1实用、方便.
转化3 设抛物线的方程是y2=2px(p>0)，
A(x1，y1)，B(x2,y2).由条件
|QA|=|QB|(x1-6)2+y21=(x2-6)2+y22(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.
又 x1≠x2，∴x1+x2-12+2p=0.
把x1+x2=8-p代入，得p=4.∴抛物线的方程是y2=8x.
这里线段AB的中垂线恒经过定点Q(6,0)有三种基本的转化途径.转化1思路自然，但参数个数多，处理难度大；转化2用点差法揭示弦中点坐标与弦斜率的关系，处理起来相对比较简便；转化3紧紧扣住条件|QA|=|QB|进行处理，实质上还是点差法，但表达更加方便.同一个条件有多种转化，不同的学生会选择不同的转化，只要能够解决问题，都是可以的，应该鼓励学生灵活转化.当然老师可以引导学生比较各种方法的长处与不足，在今后学习中借鉴.
解题教学是引导同学由知识上升为能力的重要途径，如何揭示方法的本质，举一反三，减轻学生负担，实施高效率的解题教学是我们追求的目标，这里无论是理论方面还是实践方面都有值得探讨的价值.我们提出让题目活起来，增强师生互动，可以更好地体现学生的主体地位，推动有效教学的展开，让学生学得轻松、高效.一直坚持做下来，我们的学生会更有灵气，更可爱.同时我们也希望学习到同行更好的做法，推动新课改不断走上新台阶.
一、一题多解、纵横联系，让思维活起来
同一道题，我们从不同的角度出发，可以产生各种各样不同的解法，这样既能激发学生的学习热情，鼓励学生各抒己见，调动思考的积极性，充分体现学生的主体地位，又可以开阔视野，增加知识容量，有效训练基本技能技巧，提高课堂效率.这里选题尤其重要，既要难度适中，能够让学生动起来，又利于“借题发挥”，发挥老师的主导作用.如向量的综合运用，我们选择了例1进行训练与研究，收到比较好的课堂教学效果.
例1 如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，D是边BC的中点，则AD•BC=.
解法1 常规方法：先选择好基向量，用基向量表示出BC和AD，然后用向量数量积的定义进行计算.
令AB=a，AC=b，则BC=AC-AB=b-a，
AD=12(a+b)，∴AD•BC=12(b2-a2）=-72.
这里解法1是处理这类问题的通法，基本出发点利用平面向量基本定理，将AD和BC用基向量AB，AC表示出来，然后用向量数量积的定义计算.
解法2 用余弦定理处理：设AD=m，BD=DC=n，∠BDA=θ，则在△ABD中,
42=AB2=m2+n2-2mncosθ.
又 在△ADC中，
32=AC2=m2+n2-2mncos(π-θ)
=m2+n2+2mncosθ，
以上两式相减，得mncosθ=-74.
∴AD•BC=m•2ncosθ=2mncosθ=-72.
二、类比联想、点面结合，让题目变起来
例2 已知数列{an}前n项的和是Sn.若{an}是等差数列，比较Sn+1+Sn-1(n≥2)与2Sn的大小.
分析 设{an}的公差是d,则Sn=na1+n(n-1)2d,
于是Sn+1+Sn-1-2Sn=d(n≥2).
所以当d=0时,Sn+1+Sn-1=2Sn，等价于数列{Sn}成等差数列.
当d>0时,Sn+1+Sn-1>2Sn;
当d<0时,Sn+1+Sn-1<2Sn.
即d≠0时，数列{Sn}不能成等差数列，这里n-1，n，n+1成等差数列,推广一下有什么结论?
变题1 若{an}是等差数列，n
将等差数列与等比数列类比又有什么结论?
变题2 若{an}是等比数列， n
则q=1时，Sn=n，SnSk-S2m=-(n-k)24<0；
q≠1时,Sn=a1(1-qn)1-q,设a11-q=A，则
Sn•Sk-S2m=A(1-qn)•A(1-qk)-A2(1-qm)2
=A2(-qn-qk+2qm)
=A2(-qn)(1+q2d-2qd)
=-a21qn(1-qd)2(1-q)2.
当qn<0时，SnSk-S2m>0；
当qn>0时，SnSk-S2m<0.
显然，数列{Sn}不能成等比数列.将数列{an}中的项作点微调便有精彩的变题：
变题3 设{an}满足a1=1，a2=2，anan-1=qn-2(n≥3，q>0)，若{Sn}成等比数列，求q的值.
分析 由条件a1=1，a2=2，
当n≥3时，Sn=2n-1(q=1)，1+21-q-21-qqn-1(q≠1)，
当q=1时，{Sn}显然不成等比数列；
当q≠1时，
S2n+1-Sn•Sn+2
=3-q1-q-21-q•qn2-3-q1-q-21-q•qn-1• 3-q1-q-21-q•qn+1
=2(3-q)•qn-1.
所以当q=3时，SnSn+2=S2n+1，数列{Sn}是等比数列.
当q>0且q≠3时，显然Sn-1Sn+1≠S2n.
三、及时反思、揭示本质，让知识长起来
例3 已知定义在R上的偶函数f(x)满足条件：f(x+1)=-f(x)，且在［-1，0］上是增函数，给出下列关于f(x)的命题：
①f(x)是周期函数.
②f(x)的图像关于x=1对称.
③f(x)在［0，1］上是增函数.
④f(x)在［1，2］上是减函数.
⑤f(2)=f(0).
其中真命题的序号是.
分析 由f(x+1)=-f(x)推出f(x+2)=f(x)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，所以f(1-x)=f(2-(1+x))=f(1+x)，即f(x)的图像关于直线x=1对称.故真命题的序号是：①②⑤.
本例中函数f(x)的图像有一条对称轴x=0，当推出其是周期函数时，我们推出其又有另一条对称轴x=1.那么函数的周期性与图像对称性是否有必然的联系呢？学生在老师的引导下进行反思，不难发现以下规律：
结论1 一般地，函数y=f(x)是周期为T的周期函数且有一条对称轴x=a,则它必有另一条对称轴x=b，且T=2|a-b|.
事实上，f(b+x)=f［b+x+2(a-b)］
=f［a+(a-b+x)］
=f［a-(a-b+x)］=f(b-x)，
所以x=b是函数f(x)图像的一条对称轴.
上述命题的逆命题是：函数y=f(x)有两条对称轴x=a,x=b，则它是周期为T的周期函数且T=2|a-b|.此命题亦为真，与结论1互相为逆定理.类似地，我们还可以引导学生发现：
结论2 函数y=f(x)满足：
(1)f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称,反之亦然.
（2）f(a-x)=f(b+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a+b2对称,反之亦然.
(3)f(a-x)+f(a+x)=m，则函数y=f(x)的图像关于点a,m2对称,反之亦然.
(4)f(a-x)+f(b+x)=m，则函数y=f(x)的图像关于点a+b2，m2对称,反之亦然.
四、灵活转化、辩证思考，让思路宽起来
例4 已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，若AF+BF=8，过两点A，B的动圆C恒过定点Q(6,0)且QC⊥AB，求抛物线的方程.
分析 这里AF，BF是抛物线的焦半径，抓住抛物线的定义，条件AF+BF=8可转化为xA+xB+p=8.而条件“过两点A，B的动圆C恒过定点Q(6,0)且QC⊥AB”等价于线段AB的中垂线恒经过定点Q(6,0)，则有多种转化途径.
转化1 设直线AB和抛物线的方程分别是y=kx+n(k≠0)，y2=2px(p>0).联立方程并消去x，得ky2-2py+2pn=0.
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中点T(x0,y0)，则
y1+y2=2pk，y1y2=2pnk，
∴x1+x2=1k(y1+y2-2n)=1k2pk-2n.
又 x1+x2=8-p，
∴有4-p2=pk2-nk.①
又 Tpk2-nk，pk，
∴AB中垂线的方程是y-pk=-1kx-pk2+nk，
把Q(6,0)代入，得pk2-nk=6-p.②
由①②，得p=4，∴抛物线的方程是y2=8x.
转化2 设抛物线的方程是y2=2px(p>0).
A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中点T(x0，y0)，则有
y21=2px1，①
y22=2px2.②
两式相减并整理，得y1-y2x1-x2=py0.
∴线段AB的中垂线方程是y-y0=-y0p(x-x0)，
把Q(6,0)代入，得x0=6-p.③
又 x1+x2=8-px0=4-p2.④
由③和④，得p=4，∴抛物线的方程是y2=8x.
转化2采用点参数结合点差法处理，巧用抛物线中点弦性质，过程流畅、简捷，是解决这类题型的通用方法，这种处理比转化1实用、方便.
转化3 设抛物线的方程是y2=2px(p>0)，
A(x1，y1)，B(x2,y2).由条件
|QA|=|QB|(x1-6)2+y21=(x2-6)2+y22(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.
又 x1≠x2，∴x1+x2-12+2p=0.
把x1+x2=8-p代入，得p=4.∴抛物线的方程是y2=8x.
这里线段AB的中垂线恒经过定点Q(6,0)有三种基本的转化途径.转化1思路自然，但参数个数多，处理难度大；转化2用点差法揭示弦中点坐标与弦斜率的关系，处理起来相对比较简便；转化3紧紧扣住条件|QA|=|QB|进行处理，实质上还是点差法，但表达更加方便.同一个条件有多种转化，不同的学生会选择不同的转化，只要能够解决问题，都是可以的，应该鼓励学生灵活转化.当然老师可以引导学生比较各种方法的长处与不足，在今后学习中借鉴.
解题教学是引导同学由知识上升为能力的重要途径，如何揭示方法的本质，举一反三，减轻学生负担，实施高效率的解题教学是我们追求的目标，这里无论是理论方面还是实践方面都有值得探讨的价值.我们提出让题目活起来，增强师生互动，可以更好地体现学生的主体地位，推动有效教学的展开，让学生学得轻松、高效.一直坚持做下来，我们的学生会更有灵气，更可爱.同时我们也希望学习到同行更好的做法，推动新课改不断走上新台阶.