论文部分内容阅读
【摘要】数学思想是数学的灵魂，而化归思想是一切数学思想方法的核心，贯穿于整个高中数学教材之中.作为数学教师，我们应该挖掘教材中的化归因素，展现思维历程，培养学生的问题意识，从而培养学生数学思想意识，特别是化归思想意识.
【关键词】化归思想；问题意识；思维历程
2008～2010年江苏省考试说明都一再强调“突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查”.这就要求我们在教学中，要注重数学思想方法的养成教育.化归思想是一切数学思想方法的核心，在高考中占有十分重要的地位.所谓“化归”，就是转化和归结.在解决数学问题时，人们常常将待解决的问题甲，通过某种转化过程，归结为一个已经解决或者比较容易解决的问题乙，然后通过乙问题的解答返回去求得原问题甲的解答，这就是化归方法的基本思想.具体地说,即未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.
下面，我通过一个例题的解决过程来谈谈化归思想的培养.
例 （2009年盐城市第二次高三质量调研数学试卷第20题）在正项数列{an}中，令Sn=∑ni=11ai+ai+1.
(1)若{an}是首项为25，公差为2的等差数列，求S100.
(2)若Sn=npa1+an+1(p为正常数)对正整数n恒成立，求证：{an}为等差数列.
(3)给定正整数k，正实数M，对于满足a21+a2k+1≤M的所有等差数列{an}，求T=ak+1+ak+2+…+a2k+1的最大值.
此题主要结合等差数列、不等式等基础知识处理求函数最值的问题.其中第（3）小题综合性强，能力要求较高，学生的答题情况并不理想，大多数同学不知道如何来解决.下面是命题者给出的参考答案：
记t=ak+1，公差为d，则T=ak+1+ak+2+…+a2k+1=(k+1)t+k(k+1)2d，则Tk+1=t+kd2，M≥a21+a2k+1=t2+(t-kd)2=410t+kd22+110(4t-3kd)2≥410t+kd22=25Tk+12，则T≤(k+1)10M2，当且仅当4t=3kd，M=25t+kd22，即ak+1=t=3M10，d=4kM10时等号成立.
说明：由答案可以求出a1=-M10，这与数列{an}为正项数列相矛盾.故第三小问中应加上条件“在等差数列{an}中”.此解答运用了放缩的思想方法，技巧性较强，学生难于理解与掌握.在试卷讲评时，我思索良久，此解答中把ak+1，d看作变量，能否把a1，ak+1看作变量呢？想到了化归思想.于是，在课堂上师生合作，得到了下面的解法.
师：我们在解决数学问题时常常用到化归思想.化归的原则是什么呢？
生：熟悉化原则、简单化原则、直观化原则.
师：由此题中的条件a21+a2k+1≤M能联想到什么？
生：（思考良久，欲言又止.）
师：若将a1=x,ak+1=y条件变为x2+y2≤M(M>0)，此时有什么想法？
生：（兴奋异常）圆的方程！不，圆的内部！
师：能不能更准确呢？
生：以原点为圆心，M为半径的圆周以及内部.
师：以前我们遇到这样的条件，通常选用什么方法处理呢？
生：（思考后，众说纷纭）三角换元！线性规划……
师:要求的结论又变成了什么呢？注意用x，y来表达.
生：因为{an}为等差数列，则结论变为求T=(k+1)(ak+1+a2k+1)2=(k+1)(3ak+1-a1)2=(k+1)(3y-x)2的最大值.
师：下面大家分别用线性规划的知识与三角函数知识来解此题.
（把学生分为两组，一组用线性规划的知识，另一组用三角函数知识.让每组的学生综合整理后，得到了如下的解法一、解法二.）
解法一 (用线性规划的知识解决)问题变为已知x2+y2≤M(M>0)，y=x3+2T3(k+1)，求T的最大值.作出可行域如图阴影部分，则求T的最大值就转化为求直线y=x3+z纵截距的最大值.
由图可知，当直线y=x3+z与圆x2+y2=M相切时，纵截距分别取得最大、最小值.可以求出zmax=10M3,所以Tmax=(k+1)10M2，此时x=-M10，y=3M10.
解法二 （用三角换元法解决）因为x2+y2≤M(M>0)，可以设x=Mcosθ，y=Msinθ，此时T=(k+1)(3y-x)2=(k+1)M(3sinθ-cosθ）2=10M(k+1)sin(θ-φ)2(其中tanφ=13)，所以当sin(θ-φ)=1时，T取最大值且Tmax=(k+1)10M2.
师：由以上的分析我们知道要求T=(k+1)(ak+1+a2k+1)2=(k+1)(3ak+1-a1)2的最大值，只要求3ak+1-a1的最大值，即求3×ak+1+(-1)×a1的最大值.
本题主要考查了化归思想，本题的解答灵活地运用相关的知识技能，将原问题等价转化为自己所熟知的问题加以解决.在本题的解决过程中，由于用化归思想驾驭了教学内容，给学生创造了一个发挥自己思维水平的氛围和参与教学的机会.因而学生发言踊跃，思维开阔，注意力集中，从而达到了集思广益的教学目的，并且拓宽了解题思路，培养了学生分析问题和解决问题的能力.
【关键词】化归思想；问题意识；思维历程
2008～2010年江苏省考试说明都一再强调“突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查”.这就要求我们在教学中，要注重数学思想方法的养成教育.化归思想是一切数学思想方法的核心，在高考中占有十分重要的地位.所谓“化归”，就是转化和归结.在解决数学问题时，人们常常将待解决的问题甲，通过某种转化过程，归结为一个已经解决或者比较容易解决的问题乙，然后通过乙问题的解答返回去求得原问题甲的解答，这就是化归方法的基本思想.具体地说,即未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.
下面，我通过一个例题的解决过程来谈谈化归思想的培养.
例 （2009年盐城市第二次高三质量调研数学试卷第20题）在正项数列{an}中，令Sn=∑ni=11ai+ai+1.
(1)若{an}是首项为25，公差为2的等差数列，求S100.
(2)若Sn=npa1+an+1(p为正常数)对正整数n恒成立，求证：{an}为等差数列.
(3)给定正整数k，正实数M，对于满足a21+a2k+1≤M的所有等差数列{an}，求T=ak+1+ak+2+…+a2k+1的最大值.
此题主要结合等差数列、不等式等基础知识处理求函数最值的问题.其中第（3）小题综合性强，能力要求较高，学生的答题情况并不理想，大多数同学不知道如何来解决.下面是命题者给出的参考答案：
记t=ak+1，公差为d，则T=ak+1+ak+2+…+a2k+1=(k+1)t+k(k+1)2d，则Tk+1=t+kd2，M≥a21+a2k+1=t2+(t-kd)2=410t+kd22+110(4t-3kd)2≥410t+kd22=25Tk+12，则T≤(k+1)10M2，当且仅当4t=3kd，M=25t+kd22，即ak+1=t=3M10，d=4kM10时等号成立.
说明：由答案可以求出a1=-M10，这与数列{an}为正项数列相矛盾.故第三小问中应加上条件“在等差数列{an}中”.此解答运用了放缩的思想方法，技巧性较强，学生难于理解与掌握.在试卷讲评时，我思索良久，此解答中把ak+1，d看作变量，能否把a1，ak+1看作变量呢？想到了化归思想.于是，在课堂上师生合作，得到了下面的解法.
师：我们在解决数学问题时常常用到化归思想.化归的原则是什么呢？
生：熟悉化原则、简单化原则、直观化原则.
师：由此题中的条件a21+a2k+1≤M能联想到什么？
生：（思考良久，欲言又止.）
师：若将a1=x,ak+1=y条件变为x2+y2≤M(M>0)，此时有什么想法？
生：（兴奋异常）圆的方程！不，圆的内部！
师：能不能更准确呢？
生：以原点为圆心，M为半径的圆周以及内部.
师：以前我们遇到这样的条件，通常选用什么方法处理呢？
生：（思考后，众说纷纭）三角换元！线性规划……
师:要求的结论又变成了什么呢？注意用x，y来表达.
生：因为{an}为等差数列，则结论变为求T=(k+1)(ak+1+a2k+1)2=(k+1)(3ak+1-a1)2=(k+1)(3y-x)2的最大值.
师：下面大家分别用线性规划的知识与三角函数知识来解此题.
（把学生分为两组，一组用线性规划的知识，另一组用三角函数知识.让每组的学生综合整理后，得到了如下的解法一、解法二.）
解法一 (用线性规划的知识解决)问题变为已知x2+y2≤M(M>0)，y=x3+2T3(k+1)，求T的最大值.作出可行域如图阴影部分，则求T的最大值就转化为求直线y=x3+z纵截距的最大值.
由图可知，当直线y=x3+z与圆x2+y2=M相切时，纵截距分别取得最大、最小值.可以求出zmax=10M3,所以Tmax=(k+1)10M2，此时x=-M10，y=3M10.
解法二 （用三角换元法解决）因为x2+y2≤M(M>0)，可以设x=Mcosθ，y=Msinθ，此时T=(k+1)(3y-x)2=(k+1)M(3sinθ-cosθ）2=10M(k+1)sin(θ-φ)2(其中tanφ=13)，所以当sin(θ-φ)=1时，T取最大值且Tmax=(k+1)10M2.
师：由以上的分析我们知道要求T=(k+1)(ak+1+a2k+1)2=(k+1)(3ak+1-a1)2的最大值，只要求3ak+1-a1的最大值，即求3×ak+1+(-1)×a1的最大值.
本题主要考查了化归思想，本题的解答灵活地运用相关的知识技能，将原问题等价转化为自己所熟知的问题加以解决.在本题的解决过程中，由于用化归思想驾驭了教学内容，给学生创造了一个发挥自己思维水平的氛围和参与教学的机会.因而学生发言踊跃，思维开阔，注意力集中，从而达到了集思广益的教学目的，并且拓宽了解题思路，培养了学生分析问题和解决问题的能力.